第3章 第2节 第❷课时 函数的极值、最值与导数（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

第❷课时　函数的极值、最值与导数 考点1 已知图象判断函数的极值、最值(自悟通) 1.(多选)已知函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则(　　) A.函数f(x)有极大值f(2) B．函数f(x)有极大值f(－2) C．函数f(x)有极小值f(－2) D．函数f(x)有极小值f(2) BD　解析：由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－2<x<1时，f′(x)<0；当1<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值． 2．(多选)如图是函数y＝f(x)的导函数的图象，下列结论中正确的是(　　) A．f(x)在[－2，－1]上是增函数 B．当x＝3时，f(x)取得最小值 C．当x＝－1时，f(x)取得极小值 D．f(x)在[－1，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数 CD　解析：根据题图知，当x∈(－2，－1)，x∈(2，4)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(－1，2)，x∈(4，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，故A错误，D正确；当x＝－1时，f(x)取得极小值，C正确；当x＝3时，f(x)不是取得最小值，B错误． 导函数图象的应用策略 (1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点； (2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性，进而研究函数的极值、最值． 考点2 求简单函数的极值、最值(自悟通) 1.函数f(x)＝的最大值为(　　) A. B． C. e D．0 B　解析：由题意得f′(x)＝＝(x>0).令f′(x)>0，解得0<x<；令f′(x)<0，解得x>.所以函数f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，＋∞)，所以函数f(x)＝的最大值为f()＝＝. 2．(多选)(2024·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝(x－1)2(x－4)，则(　　) A．x＝3是f(x)的极小值点 B．当0<x<1时，f(x)<f(x2) C．当1<x<2时，－4<f(2x－1)<0 D．当－1<x<0时，f(2－x)>f(x) ACD　解析：因为f(x)＝(x－1)2(x－4)，所以f′(x)＝2(x－1)(x－4)＋(x－1)2＝3(x－1)(x－3)，令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝3，当x<1或x>3时，f′(x)>0，当1<x<3时，f′(x)<0，所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，1)，(3，＋∞)，单调递减区间为(1，3)，故x＝1是函数f(x)的极大值点，x＝3是函数f(x)的极小值点，所以A正确． 当0<x<1时，x－x2＝x(1－x)>0，即0<x2<x<1，又函数f(x)在(0，1)上单调递增，所以f(x2)<f(x)，所以B错误． 当1<x<2时，1<2x－1<3，函数f(x)在(1，3)上单调递减，所以－4＝f(3)<f(2x－1)<f(1)＝0，所以C正确． 当－1<x<0时，f(2－x)－f(x)＝(2－x－1)2(2－x－4)－(x－1)2(x－4)＝(x－1)2(－x－2)－(x－1)2(x－4)＝(x－1)2(－2x＋2)＝－2(x－1)3>0，所以f(2－x)>f(x)，所以D正确． 综上，选ACD. 3．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2，2]上有最大值3，那么此函数在[－2，2]上的最小值是________． 答案：－37　解析：∵f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，∴f(x)在(－2，0)上为增函数，在(0，2)上为减函数，∴当x＝0时，f(0)＝m最大，∴m＝3.∵f(－2)＝－37，f(2)＝－5，∴此函数在[－2，2]上的最小值为－37. 4．函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的最小值为________.　 答案：1　解析：当x＞时，f(x)＝2x－1－2ln x，f′(x)＝2－＝.令f′(x)＞0，得x＞1；令f′(x)＜0，得＜x＜1，所以f(x)在(，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(1)＝1.当0＜x≤时，f(x)＝1－2x－2ln x，f′(x)＝－2－＝＜0，所以f(x)在(0，]上单调递减，所以f(x)min＝f()＝－2ln ＝2ln 2＞1.所以f(x)的最小值为1. 1.求函数的极值或极值点的步骤 (1)求导数f′(x)，不要忘记函数f(x)的定义域； (2)求方程f′(x)＝0的根； (3)检验在方程的根的左右两侧f′(x)的符号，确定极值点或函数的极值． 2．求函数f(x)在[a，b]上的最值的方法 (1)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(或递减)，则f(a)为最小(大)值，f(b)为最大(小)值． (2)若函数在区间[a，b]内有极值，则要先求出函数在(a，b)内的极值，再与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成． 提醒：函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到． 考点3 已知函数解析式求函数极值问题(精研通) 【例1】 已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R). (1)当a＝时，求f(x)的极值； (2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数．解：(1)当a＝时，f(x)＝ln x－x，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)且f′(x)＝－＝. 令f′(x)＝0，得x＝2，于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表． x (0，2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － f(x) ↗ ln 2－1 ↘ 故f(x)在定义域上的极大值为f(2)＝ln 2－1，无极小值． (2)由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a＝(x>0). 当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，即函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点； 当a>0时，当x∈(0，)时，f′(x)>0，当x∈(，＋∞)时，f′(x)<0，故函数在x＝处有极大值． 综上，当a≤0时，函数f(x)无极值点；当a>0时，函数y＝f(x)有一个极大值点，且为x＝. 求解函数极值的两个注意点 (1)对于求解析式中含有参数的函数极值问题，一般要对方程f′(x)＝0的根的情况进行讨论，分两个层次讨论．第一层次，讨论在定义域内是否有根；第二层次，在有根的条件下，讨论根的大小． (2)对于涉及极值点的不等式证明问题，一般要进一步构造函数并借助导数研究函数的单调性，进而借助不等式解决． 考点4 已知函数解析式求函数最值问题(精研通) 【例2】 已知函数f(x)＝. (1)若a＝0，求y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程； (2)若函数f(x)在x＝－1处取得极值，求f(x)的单调区间，以及最大值和最小值． 解：(1)当a＝0时，f(x)＝，则f′(x)＝＝. 当x＝1时，f(1)＝1，f′(1)＝－4， 故y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－4(x－1)，整理得y＝－4x＋5. (2)f′(x)＝＝ . 若函数f(x)在x＝－1处取得极值，则f′(－1)＝＝0，解得a＝4. 经检验，当a＝4时，f(x)在x＝－1处取得极大值，符合题意．此时f(x)＝，函数定义域为R， f′(x)＝，令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝4. f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表． x (－∞，－1) －1 (－1， 4) 4 (4，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 故函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(4，＋∞)，单调递减区间为(－1，4). 极大值为f(－1)＝1，极小值为f(4)＝－. 又x＜时，f(x)＞0；x＞时，f(x)＜0， 所以函数f(x)的最大值为f(－1)＝1，最小值为 f(4)＝－. 求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值． 　(2025·山东菏泽模拟)设函数f(x)＝x2＋cos2x. (1)求曲线y＝f(x)在点(，f())处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)求函数f(x)在区间[0，π]上的最大值和最小值． 解：(1)由题意，函数f(x)＝x2＋cos2x，则f′(x)＝2x－2sinx cos x＝2x－sin 2x，可得f′()＝π，f()＝， 所以曲线y＝f(x)在点(，f())处的切线方程为y－2＝π(x－)，即y＝πx－，可得直线y＝πx－在x轴，y轴上的截距分别为，－， 所以所求三角形的面积为××＝. (2)令g(x)＝f′(x)＝2x－sin 2x，则g′(x)＝2－2cos 2x＝2(1－cos 2x)≥0， 所以函数f′(x)为增函数． 又f′(0)＝0，所以当x∈[0，π]时，f′(x)≥0，所以函数f(x)在[0，π]上单调递增， 所以函数f(x)在区间[0，π]上的最大值为f(π)＝π2＋1，最小值为f(0)＝1. 即函数f(x)在区间[0，π]上的最大值为π2＋1，最小值为1. 考点5 由函数的最值(极值)求参数问题(精研通) 【例3】 (2024·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ex－ax－a3. (1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 解：(1)当a＝1时，f(x)＝ex－x－1，则f′(x)＝ex－1， 则f′(1)＝e－1. f(1)＝e－2，所以切点坐标为(1，e－2)， 所以切线方程为y－(e－2)＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x－y－1＝0. (2)易知函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝ex－a. 当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)在R上单调递增，无极值； 当a>0时，由f′(x)>0，得x>ln a，由f′(x)<0，得x<ln a， 所以函数f(x)在区间(－∞，ln a)上单调递减，在区间(ln a，＋∞)上单调递增，所以f(x)的极小值为f(ln a)＝a－a ln a－a3. 由题意知a－a ln a－a3<0(a>0)，等价于1－ln a－a2<0(a>0). 方法一(导数法)　令g(a)＝1－ln a－a2(a>0)， 则g′(a)＝－－2a<0， 所以函数g(a)在(0，＋∞)上单调递减， 又g(1)＝0，故当0<a<1时，g(a)>0；当a>1时，g(a)<0. 故实数a的取值范围为(1，＋∞). 方法二(图象法)　由1－ln a－a2<0(a>0)， 得ln a>－a2＋1(a>0). 如图为函数y＝ln a与y＝－a2＋1在区间(0，＋∞)上的大致图象， 由图易知当a>1时，ln a>－a2＋1，即1－ln a－a2<0. 所以实数a的取值范围为(1，＋∞). 解决函数极值、最值综合问题的策略 (1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小． (2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论． (3)函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值． (2025·山东泰安模拟)已知函数f(x)＝ln x＋x2－ax＋a(a∈R). (1)若函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数，求实数a的取值范围； (2)若函数f(x)在x＝x1和x＝x2处取得极值，且x2≥x1(e为自然对数的底数)，求f(x2)－f(x1)的最大值． 解：(1)∵f′(x)＝＋x－a(x>0)， 又f(x)在(0，＋∞)上单调递增， ∴恒有f′(x)≥0，即＋x－a≥0恒成立， ∴a≤(x＋)min，而x＋≥2 ＝2， 当且仅当x＝，即x＝1时取等号，∴a≤2. 即所求实数a的取值范围是(－∞，2]. (2)∵f(x)在x＝x1和x＝x2处取得极值，且f′(x)＝＋x－a＝(x>0)， ∴x1，x2是方程x2－ax＋1＝0的两个实根，由根与系数的关系得x1＋x2＝a，x1x2＝1， ∴f(x2)－f(x1)＝ln ＋(x－x)－a(x2－x1)＝ln －(x－x)＝ln －(x－x)＝ln －(－)， 设t＝(t≥)，令h(t)＝ln t－(t－)(t≥)， 则h′(t)＝－(1＋)＝－<0， ∴h(t)在[，＋∞)上是减函数， ∴h(t)≤h()＝(1－＋)，故f(x2)－f(x1) 的最大值为(1－＋). [分级练(20)见P312] 学科网（北京）股份有限公司 $$