第2章 第3节 第❸课时 对数函数（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

第❸课时　对数函数 课标解读 1.了解对数函数的概念及其单调性与特殊点． 2．知道对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)与指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)互为反函数． 知识点一　对数函数 　一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞). 知识点二　对数函数的图象与性质 y＝logax a＞1 0＜a＜1 图象 y＝logax a＞1 0＜a＜1 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性质 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是 增函数 在(0，＋∞)上是减函数 (1)注意对数函数图象在平面直角坐标系中的分布规律：在直线x＝1的右侧，当a＞1时，底数越大，图象越靠近x轴；当0＜a＜1时，底数越小，图象越靠近x轴，即“底大图低”． (2)底数a与1的大小关系决定了对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的单调性．因此若底数a的大小不确定，则需要分0<a<1和a>1两种情况讨论． 知识点三　反函数 一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． (1)函数f(x)＝loga(a>0且a≠1)为奇函数． (2)函数f(x)＝loga(x＋)(a>0且a≠1)为奇函数． 一、辨析正误(在括号内打“√”或“×”) 　(1)函数y＝log2(x＋1)是对数函数．(　　×　　) (2)对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(　　×　　) (3)函数y＝ln 与y＝ln (1＋x)－ln (1－x)的定义域相同．(　　√　　) (4)对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，(，－1)，函数图象只在第一、四象限．(　　√　　) 二、版本互鉴 1．(湘教版必修第一册P123 T19)与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的函数为(　　) A．y＝x B．y＝lg x C．y＝2x D．y＝ 答案：D 2．(人教B版必修第二册P27 例2)已知log0.7(2m)<log0.7(m－1)，则实数m的取值范围是________． 答案：m>1 3．(人教B版必修第二册P29 习题42A T7改编)函数y＝的定义域是________________________________________________________________________． 答案：(0, 2] 4．(苏教版必修第一册P158 T4改编)函数y＝log(3x－1)的单调递减区间为________． 答案：(，＋∞) 考点 对数型函数图象的辨析(自悟通) 1.若函数y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是(　　) B　解析：若函数y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则a＞1，故函数y＝loga|x|的图象大致如选项B所示． 2．在同一个平面直角坐标系中，函数f(x)＝与g(x)＝lg 的图象可能是(　　) A　解析：由题意知a>0且a≠1，所以函数g(x)＝lg 单调递减，故排除B，D；对于A，C，由函数f(x)＝的图象可知0<a<1，对于函数g(x)＝lg ，g(1)＝lg a<0，故A正确，C错误． 研究对数型函数图象的思路 研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，要注意底数a>1与0<a<1这两种不同情况． 考点 对数函数图象的应用(精研通) 【例1】 (1)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(　　) A．0<a－1<b<1 B．0<b<a－1<1 C．0<b－1<a<1 D．0<a－1<b－1<1 (2)当0＜x≤时，4x＜logax，则实数a的取值范围是(　　) A．(0，) B．(，1) C．(1，) D．(，2) (1)A　(2)B　解析：(1)由题图可知，f(x)为单调递增函数，故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)，由函数图象可知－1<logab<0，解得<b<1.综上有0<<b<1. (2)易知0＜a＜1，函数y＝4x与y＝logax的大致图象如图所示．由题意可知只需满足loga＞4，解得a＞，所以＜a＜1. 　若将本例(2)中的条件“4x＜logax”变为“4x＝logax有解”，则实数a的取值范围为________. 答案：(0，]　解析：若方程4x＝logax在(0，]上有解，则函数y＝4x与函数y＝logax的图象在(0，]上有交点．由图象可知解得0＜a≤，即实数a的取值范围为(0，]. 与对数型函数有关的方程或不等式问题常常结合对数函数的图象来解决，即数形结合法，应用时要准确画出图象，把方程的根、不等式的解等问题转化为函数图象之间的关系的问题． 1．已知函数f(x)＝关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________． 答案：a>1　解析：问题等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，结合函数图象(如图所示)可知a>1. 2．函数f(x)＝|log3x|在区间[a，b]上的值域为[0，1]，则b－a的最小值为________． 答案： 　解析：令|log3x|＝0，得x＝1；令|log3x|＝1，得x＝或x＝3.如图所示， 可知(b－a)min＝1－＝. 考点3 对数函数的性质(精研通) 考法1　比较大小问题 【例2】 若a>b>c>1且ac<b2，则(　　) A．logab>logbc>logca B．logcb>logba>logac C．logbc>logab>logca D．logba>logcb>logac B　解析：方法一　∵a>b>c>1，∴logab<logaa＝1，logca>logcc＝1，∴logab<logca，可排除A，C选项． ∵a>b>c>1，ac<b2，∴<，又∵c<b，∴logc>logb>logb，∴logcb>logba>1，而logac<1，∴logcb>logba>logac. 方法二(特殊值法)　令a＝4，b＝3，c＝2，可排除A，C.再令a＝6，b＝4，c＝2，可排除D. 利用对数函数单调性比较对数值的大小 (1)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较． (2)若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较． 　(2024·天津卷)若a＝4.2－0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．b>c>a B　解析：由函数y＝4.2x单调递增可知，0<a<1<b，又c＝log4.20.2<0，故b>a>c，选B. 考法2　解对数方程或不等式 【例3】 (1)方程log2(x－1)＝2－log2(x＋1)的解为x＝________． (2)设函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是________. 答案：(1)　(2)(－1，0)∪(1，＋∞)　解析：(1)原方程变形为log2(x－1)＋log2(x＋1)＝log2(x2－1)＝2，即x2－1＝4，解得x＝±，又x＞1，所以x＝. (2)由题意得或解得a＞1或－1＜a＜0. 简单对数不等式问题的求解策略 (1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解． (2)对数函数的单调性和底数a的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按0＜a＜1和a＞1进行分类讨论． (3)某些对数不等式可转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 　已知函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)满足f()<f() ，则f(2x－1)>0的解集为(　　) A．(0，1) B．(－∞，1) C．(1，＋∞) D．(0，＋∞) C　解析：方法一　因为函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上为单调函数，而<且f()<f()，所以f(x)＝logax在(0，＋∞)上单调递增，结合对数函数的图象与性质可得f(2x－1)>0⇒2x－1>1，所以x>1. 方法二　由f()<f()知loga<loga，所以loga2－1<loga3－1，所以loga2<loga3，所以a>1，由f(2x－1)>0得loga(2x－1)>0，所以2x－1>1，即x>1. 考法3　与对数函数有关的复合函数问题 【例4】 若函数f(x)＝log2(x2－ax－3a)在区间(－∞，－2]上是减函数，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，4) B．(－4，4] C．(－∞，－4)∪[－2，＋∞) D．[－4，4) D　解析：由题意得x2－ax－3a>0在区间(－∞，－2]上恒成立且函数y＝x2－ax－3a在(－∞，－2]上单调递减，则≥－2且(－2)2－(－2)×a－3a>0，解得实数a的取值范围是[－4，4). 求解与对数函数有关的复合函数单调性的步骤 一求 求出函数的定义域，所有问题都必须在定义域内讨论 二判 判断对数函数的底数与1的关系，分a＞1与0＜a＜1两种情况 判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性 1．(2024·河南新乡二模)已知函数f(x)＝log3(9x＋1)＋mx是偶函数，则不等式f(x)＋4x<log32的解集为(　　) A．(0，＋∞) B．(1，＋∞) C．(－∞，0) D．(－∞，1) C　解析：由函数f(x)＝log3(9x＋1)＋mx是偶函数，得f(－x)＝f(x)，即log3(9－x＋1)＋m(－x)＝log3(9x＋1)＋mx，变形可得m＝－1，即f(x)＝log3(9x＋1)－x，设g(x)＝f(x)＋4x＝log3(9x＋1)＋3x，易得g(x)在R上为增函数，且g(0)＝log3(90＋1)＝log32，则f(x)＋4x<log32⇒g(x)<g(0)，则有x<0，即不等式的解集为(－∞，0).　 2．已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是____________． 答案：(1，)　解析：当a>1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1，2]上是减函数，由f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，知f(x)min＝f(2)＝loga(8－2a)>1，且8－2a>0，解得1<a<；当0<a<1时，f(x)在[1，2]上是增函数，由f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，知f(x)min＝f(1)＝loga(8－a)>1，且8－2a>0，∴a>4，且a<4，故a不存在．综上可知，实数a的取值范围是(1，). [分级练(13)见P294] 学科网（北京）股份有限公司 $$