第2章 第3节 第❶课时 指数与对数运算（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

第三节　指数函数、对数函数 第❶课时　指数与对数运算 课标解读 1.了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质． 2．理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数． 知识点一　指数 1．根式的性质 (1)()n＝a(a使有意义)； (2)当n是奇数时，＝a；当n是偶数时，＝|a|＝． 化简时，一定要注意区分n是奇数还是偶数．当n是奇数时，＝a；当n是偶数时，＝|a|. 2．分数指数幂的意义 (1)a＝；(2)a－＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1)； (3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． 3．有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q).　 知识点二　对数 对数的性质与运算法则 (1)对数的性质：①loga1＝0；②logaa＝1；③alogaN＝N；④logaan＝n(a>0，且a≠1). (2)对数的运算性质：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R). 1．换底公式的变形 (1)logab·logba＝1，即logab＝(a，b均大于0且不等于1). (2)logambn＝logab(a，b均大于0且不等于1，m≠0，n∈R). (3)logNM＝＝(a，b，N均大于0且不等于1，M >0). 2．换底公式的推广 logab·logbc·logcd＝logad(a，b，c均大于0且不等于1，d>0). 3．对数恒等式 alogaN＝N(a>0，且a≠1，N>0). 一、辨析正误(在括号内打“√”或“×”) 　(1)()＝()n＝a(n∈N*).(　　×　　) (2)分数指数幂a可以理解为个a相乘．(　　×　　) (3)loga(MN)＝logaM＋logaN.(　　×　　) (4)logax·logay＝loga(x＋y).(　　×　　) 二、版本互鉴 1．(人教A版必修第一册P109 T2)设a>0，则下列运算中正确的是(　　) A．aa＝a B．a÷a＝a C．aa－＝0 D．(a)4＝a 答案：D 2．(苏教版必修第一册P85 T2改编)设a＞0，将表示成分数指数幂，其结果是(　　) A.a B．a C．a D．a 答案：C 3．(人教A版必修第一册P127 T5改编)设lg 2＝a，lg 3＝b，则log1210＝(　　) A． B． C．2a＋b D．2b＋a A　解析：log1210＝＝＝. 考点 指数幂运算(自悟通) 1.若实数a>0，则下列等式成立的是(　　) A．(－2)－2＝4 B．2a－3＝ C．(－2)0＝－1 D．(a－)4＝ D　解析：(－2)－2＝，故A错误；2a－3＝，故B错误；(－2)0＝1，故C错误；(a－)4＝，故D正确． 2．若x＋x－＝3，求的值． 解：由x＋x－＝3，两边平方，得x＋x－1＝7， ∴x2＋x－2＝47，∴x2＋x－2－2＝45. 由(x＋x－)3＝33，得x＋3x＋3x－＋x－＝27， ∴x＋x－＝18，∴x＋x－－3＝15， ∴＝. 3．化简下列各式： (1)(2)0＋2－2×(2)－－(0.01)0.5 ； (2)a·b－2·(－3a－b－1)÷(4a·b－3)； (3). 解：(1)原式＝1＋×()－()＝1＋×－＝1＋－＝. (2)原式＝－a－b－3÷(4a·b－3)＝ －a－b－3÷(ab－)＝－a－·b－＝－·＝－. (3)原式＝＝a－－－·b＋－＝. 指数幂的运算技巧 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． 考点 对数式的化简与求值(自悟通) 1.(多选)(2024·广东汕头二模)设a，b，c都是正数，且4a＝6b＝9c，那么(　　) A．ab＋bc＝2ac B．ab＋bc＝ac C．＝＋ D．＝－ AD　解析：由题意，设4a＝6b＝9c＝M(M＞0)， 则a＝log4M，b＝log6M，c＝log9M， ∴＝logM4，＝logM6，＝logM9. ∵logM4＋logM9＝2logM6， ∴＋＝，即＝－， 整理得ab＋bc＝2ac，易知A，D正确，B，C错误． 2．(2025·河北唐山模拟)在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位：mol/L，记作[H＋])和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位：mol/L，记作[OH－])的乘积等于常数10－14.已知pH值的定义为pH＝－lg [H＋]，健康人体血液的pH值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的可以为(参考数据： lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)(　　) A． B． C． D． C　解析：由题设有＝＝1014[H＋]2.因为10－7.45≤[H＋]≤10－7.35，所以10－0.9≤1014[H＋]2≤10－0.7， 所以－0.9≤lg 1014[H＋]2≤－0.7.又lg ≈－0.3，lg ≈－0.48，lg ≈－0.78，lg ＝－1，所以只有lg 在范围之中． 3．(2024·全国甲卷)已知a>1且－＝－，则a＝________． 答案：64　解析：根据题意有－＝－，即3loga2－＝－，设t＝loga2(a>1)，则t>0，故3t－＝－，得t＝(t＝－1舍去)，所以loga2＝，所以a＝2，所以a＝64. 4．计算下列各式的值： (1)log535＋2log－log5－log514； (2)[(1－log63)2＋log62·log618]÷log64. 解：(1)原式＝log535＋log550－log514＋2log2＝log5＋log2＝log553－1＝2. (2)原式＝[(log66－log63)2＋log62×log6(2×32)]÷log64＝÷log622＝[(log62)2＋(log62)2＋2log62×log63]÷2log62＝log62＋log63＝log6(2×3)＝1. 解决对数运算问题的常用方法 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行运算． (2)将同底对数的和、差、积合并． (3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用． (4)灵活利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1. 考点3 指数、对数运算的实际应用(精研通) 【例】 (2025·山东济南历城二中模拟)2024年11月，第十届通信和信息处理国际会议开幕，会议收到投稿论文涵盖移动通信、人工智能，下一代移动通信及关键技术等14个分论坛．香农公式C＝Wlog2(1＋)是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．若不改变带宽W，而将信噪比从11提升至499，则最大信息传递率C会提升到原来的(参考数据：log23≈1.58，log25≈2.32)(　　) A．2.4倍 B．2.5倍 C．2.6倍 D．2.7倍 B　解析：设提升前最大信息传递率为C1，提升后最大信息传递率为C2，则由题意可知，C1＝Wlog2(1＋11)＝Wlog212，C2＝Wlog2(1＋499)＝Wlog2500，所以＝＝＝＝＝≈＝≈2.5. 所以最大信息传递率C会提升到原来的2.5倍． 利用指数、对数解决应用问题 (1)列出指数关系式x＝ay，并根据实际问题确定变量的范围； (2)利用指对互化转化为y＝logax； (3)代入自变量的值后，利用对数的运算性质、换底公式计算． 1．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(参考数据：≈1.259)(　　) A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6 C　解析：由题意，得L＝5＋lg V＝4.9，所以lg V＝－0.1，所以V＝10－0.1＝≈≈0.8. 2．(2025·广东金山中学模拟)地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准．震级ML是据震中100 km处的标准地震仪(周期0.8 s，衰减常数约等于1，放大倍率2 800倍)所记录的地震波最大振幅值的对数来表示的．里氏震级的计算公式：ML＝lg ()，其中A0表示“标准地震振幅”(使用标准地震振幅是为了修正测振仪距离实际震中的距离造成的偏差)，Amax是指我们关注的这个地震在距震中100 km处接收到的地震波的最大振幅.4.5级地震给人的震感已比较明显，那么6.5级地震的最大振幅与4.5级地震的最大振幅的比值为(　　) A．e B．10 C．100 D．e2 C　解析：由于ML＝lg ()，所以Amax＝A010ML，所以6.5级地震的最大振幅与4.5级地震的最大振幅的比值为＝102＝100. [分级练(11)见P289] 学科网（北京）股份有限公司 $$