第2章 第2节 第❷课时 函数的奇偶性、周期性与对称性（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

第❷课时　函数的奇偶性、周期性与对称性 考点 判断函数的奇偶性(自悟通) 1.(2024·天津卷)下列函数是偶函数的是(　　) A.f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝ B　解析：通解　对于A选项，f(－x)＝＝≠f(x)，故f(x)不是偶函数；对于B选项，f(－x)＝＝＝f(x)，故f(x)是偶函数；对于C选项，f(x)的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，故f(x)不是偶函数；对于D选项，f(－x)＝＝＝－＝－f(x)，故f(x)是奇函数．故选B. 优解一(特殊值法)　对于A选项，f(1)＝＝，f(－1)＝＝，f(1)≠f(－1)，故f(x)不是偶函数；对于B选项，f(－x)＝＝＝f(x)，故f(x)是偶函数；对于C选项，f(x)的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，故f(x)不是偶函数；对于D选项，f(π)＝＝，f(－π)＝＝，f(π)≠f(－π)，故f(x)不是偶函数．故选B. 优解二(性质法)　易知y＝x2＋1与y＝e|x|均为偶函数，且恒为正． 对于A选项，由于y＝ex－x2是非奇非偶函数，所以f(x)也是非奇非偶函数；对于B选项，y＝cos x＋x2是偶函数，所以f(x)是偶函数；对于C选项，易知f(x)的定义域不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数；对于D选项，y＝sin x＋4x是奇函数，所以f(x)是奇函数，故选B. 2．(多选)设函数f(x)＝，则下列结论正确的是(　　) A．|f(x)|是偶函数 B．－f(x)是奇函数 C．f(x)|f(x)|是奇函数 D．f(|x|)f(x)是偶函数 ABC　解析：f(x)＝，则f(－x)＝＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，所以|f(x)|是偶函数，－f(x)是奇函数，所以f(x)|f(x)|是奇函数．因为f(|－x|)＝f(|x|)，所以f(|x|)是偶函数，所以f(|x|)·f(x)是奇函数． 3．已知函数f(x)＝则该函数的奇偶性是________． 答案：奇函数　解析：方法一　当x>0时，－x<0，f(－x)＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)；当x<0时，－x>0，f(－x)＝－x2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数． 方法二　作出f(x)的图象，由图象可知f(x)为奇函数． 判断函数奇偶性的常用方法 (1)定义法：即根据奇、偶函数的定义来判断． (2)图象法：即利用奇、偶函数的对称性来判断． (3)性质法：即利用在公共定义域内奇函数、偶函数的和、差、积的奇偶性来判断． 考点 函数奇偶性的简单应用(自悟通) 1.(2025·江西南昌模拟)若f(x)＝为奇函数，则g(－2)＝(　　) A．－8 B．－4 C．－2 D．0 A　解析：因为f(x)为奇函数，所以f(－2)＝－f(2)＝－4，又f(－2)＝g(－2)＋4，可得g(－2)＝－8. 2．(2023·全国乙卷)已知f(x)＝是偶函数，则a＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 D　解析：f(x)的定义域为{x|x≠0}，因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)，即＝ ，即e(1－a)x－ex＝－e(a－1)x＋e－x，即e(1－a)x＋e(a－1)x＝ex＋e－x，所以a－1＝±1，解得a＝0(舍去)或a＝2. 3．已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，则f(2 022)＋f(2 024)的值为________． 答案：0　解析：由题意得，g(－x)＝f(－x－1)，∵f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，f(－x)＝f(x)，∴f(x－1)＝－f(x＋1)，即f(x－1)＋f(x＋1)＝0.∴f(2 022)＋f(2 024)＝f(2 023－1)＋f(2 023＋1)＝0. 应用函数奇偶性可解决的问题及解题方法 (1)求函数值，将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． (2)求解析式，先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式． (3)求函数解析式中参数的值，利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的方程(组)，进而得出参数的值． 考点3 函数的周期及应用(精研通) 【例1】 (2025·湖南六校联考)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋2)，当x∈(0，2]时，f(x)＝2x＋log2x，则f(2 024)＝(　　) A．5 B． C．2 D．－5 D　解析：由f(x)＝－f(x＋2)，得f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，所以f(2 024)＝f(506×4)＝f(0)＝－f(0＋2)＝－(22＋log22)＝－5. 函数周期性问题的求解策略 (1)判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T.利用周期性将自变量大小进行调整，进而利用已知条件求解．函数的周期性常与函数的其他性质综合命题． (2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期． 1．(多选)(2024·广东茂名统考一模)已知函数f(x)对∀x∈R，都有f(x)＝f(－x)，f(x＋1)为奇函数，且当x∈[0，1)时，f(x)＝x2，则下列结论正确的是(　　) A．函数f(x)的图象关于点(1，0)中心对称 B．f(x)是周期为2的函数 C．f(－1)＝0 D．f＝ ACD　解析：由f(x＋1)为奇函数，得f(－x＋1)＝－f(x＋1)，即f(－x)＋f(x＋2)＝0， 故f(x)的图象关于点(1，0)中心对称，故A正确； 由f(－x)＝f(x)，f(－x)＋f(x＋2)＝0得f(x)＝－f(2＋x)，∴f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x)是周期为4的函数，故B错误； 由f(－x＋1)＝－f(x＋1)，令x＝0，则f(1)＝－f(1)， ∴f(1)＝0， 故f(－1)＝f(1)＝0，故C正确； x∈[0，1)时，f(x)＝x2, ∵f(x)的周期为4，∴f＝f＝f＝，故D正确，故选ACD. 2．函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2，2]上，f(x)＝则f(f(15))的值为________． 答案：　解析：由题意易知函数f(x)的周期是4，所以f(15)＝f(－1)＝|－1＋|＝，所以f(f(15))＝f()＝cos ＝. 3．f(x)是定义在R上的奇函数且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 025)＝________． 答案：1　解析：∵对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即函数f(x)是以4为周期的周期函数．当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2，∴f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，而f(3)＝－f(1)＝－1，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 025)＝506[f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)]＋f(0)＋f(1)＝1. 考点4 函数图象的对称性(精研通) 【例2】 (1)已知函数f(2x＋1)在R上是奇函数，则函数y＝f(2x)的图象关于某个点成中心对称，这个点是(　　) A．(1，0) B．(－1，0) C．(，0) D．(－，0) (2)(多选)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)的图象关于直线x＝2对称 B．f(x)的图象关于点(2，0)对称 C．f(x)的最小正周期为4 D．y＝f(x＋4)为偶函数 (1)C　(2)ACD　解析：(1)f(2x＋1)是奇函数，所以其图象关于原点成中心对称，而f(2x)的图象是由f(2x＋1)的图象向右平移个单位长度得到的，故关于点(，0)成中心对称． (2)∵f(2＋x)＝f(2－x)，∴f(x)的图象关于直线x＝2对称，故A正确，B错误；∵函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴f(－x)＝f(x＋4)，又f(－x)＝f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴T＝4，故C正确；∵T＝4且f(x)为偶函数，∴y＝f(x＋4)为偶函数，故D正确． (1)求解与函数对称性有关的问题时，应根据题目特征和对称性的定义，求出函数的对称轴或对称中心． (2)解决函数对称性有关问题时，一般结合函数图象，利用对称性解决求值或参数问题． 　下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是(　　) A．y＝ln (1－x) B．y＝ln (2－x) C．y＝ln (1＋x) D．y＝ln (2＋x) B　解析：函数y＝ln x过定点(1，0)，(1，0)关于直线x＝1对称的点还是(1，0)，只有y＝ln (2－x)过此点． 学科网（北京）股份有限公司 $$