第10章 第2节 排列与组合（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

第二节　排列与组合 课标解读 1.理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题． 2．理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题． 知识点一　排列、组合的定义 排列的 定义 从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象 按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同对象中取出m个对象的一个排列 组合的 定义 作为一组，叫做从n个不同对象中取出m个对象的一个组合 知识点二　排列数、组合数的定义、公式、性质 排列数 组合数 定义 从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的所有不同排列的个数 从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的所有不同组合的个数 公式 A＝n(n－1)(n－2)·…·(n－m＋1)＝ C＝＝＝ 性质 A＝n！，0！＝1 C＝1，C＝C， C＋C＝C (1)C＝C：从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的方法等于取出剩余(n－m)个对象的方法数． (2)C＝C＋C：从n＋1个不同对象中取出m(m≤n)个对象可分以下两种情况：①不含特殊对象A有C种情况；②含特殊对象A有C种情况． 一、辨析正误(在括号内打“√”或“×”) 　(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(　　×　　) (2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(　　√　　) (3)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序．(　　×　　) (4)kC＝nC.(　　√　　) (5)若组合式C＝C，则x＝m成立．(　　×　　) 二、版本互鉴 1．(多选)(人教B版选择性必修第二册P23练习B T1改编)下列计算结果正确的是(　　) A．A－2A＝6 608 B．＝252 C．C＝9 800 D．C＋C＋C＋C＋C＋C＝32 答案：ABD　 2．(人教A版选择性必修第三册P20 T3改编)一个停车场有8个停车位，如果每个车位只能停放1辆汽车，现要停放4辆不同的汽车，不同停放方法的种数为(　　) A．70 B．1 440 C．1 680 D．1 880 答案：C 3．[人教A版选择性必修第三册P26 习题T4(1)改编]从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是(　　) A．12 B．24 C．64 D．81 答案：B 4．(苏教版选择性必修第二册P88 T4改编)某单位要邀请10位教师中的6位参加一个会议，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则邀请的不同方法有________种． 答案：140 5．(北师大版选择性必修第一册P173 T3改编)某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法种数为________. 答案：30 考点 排列问题(自悟通) 1.(2023·新课标Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答). 答案：64　解析：方法一　由题意，可分三类：第一类，体育类选修课和艺术类选修课各选修1门，有CC种方案；第二类，在体育类选修课中选修1门，在艺术类选修课中选修2门，有CC种方案；第三类，在体育类选修课中选修2门，在艺术类选修课中选修1门，有CC种方案．综上，不同的选课方案共有CC＋CC＋CC＝64(种). 方法二　若学生从这8门课中选修2门课，则有C－C－C＝16(种)选课方案；若学生从这8门课中选修3门课，则有C－C－C＝48(种)选课方案．综上，不同的选课方案共有16＋48＝64(种). 2．有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数． (1)选5人排成一排； (2)排成前后两排，前排3人，后排4人； (3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾； (4)全体排成一排，女生必须站在一起； (5)全体排成一排，男生互不相邻． 解：(1)从7人中选5人排列，有A＝7×6×5×4×3＝2 520(种). (2)分两步完成：先选3人站前排，有A种方法，余下4人站后排，有A种方法，共有AA＝5 040(种). (3)方法一(特殊元素优先法)　先排甲，有5种方法，其余6人有A种排列方法，共有5×A＝3 600(种). 方法二(特殊位置优先法)　首尾位置可安排另6人中的两人，有A种排法，其他有A种排法，共有AA＝3 600(种). (4)(捆绑法)将女生看作一个整体，与3名男生一起全排列，有A种方法，再将女生全排列，有A种方法，共有AA＝576(种). (5)(插空法)先排女生，有A种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A种方法，共有A·A＝1 440(种). 排列应用问题的分类与解法 (1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法． (2)相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法，这些是解决有限制条件的排列问题的常用方法． 考点 组合问题(自悟通) 1.若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有(　　) A．60种 B．63种 C．65种 D．66种 D　解析：9个整数中共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数或全为偶数或2个奇数和2个偶数，故不同的取法有C＋C＋CC＝66(种). 2．(2023·新课标Ⅱ卷)某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有(　　) A．C·C种 B．C·C种 C．C·C种 D．C·C种 D　解析：由题意，初中部和高中部学生人数之比为＝，所以抽取的60名学生中初中部应有60×＝40(人)，高中部应有60×＝20(人)，所以不同的抽样结果共有C·C种，故选D. 1.解决组合应用题的两个步骤 (1)整体分类要注意分类时，不重复不遗漏，用到分类加法计数原理； (2)局部分步用到分步乘法计数原理． 2．解含有附加条件的组合问题的两种方法 通常用直接法或间接法，应注意对“至少”“最多”“恰好”等词的含义的理解，对于涉及“至少”“至多”等词的组合问题，既可考虑反面情形即间接求解，也可以分类研究进行直接求解． 考点 排列、组合的综合问题(精研通) 考法1　相邻、相间及特殊元素(位置)问题 【例1】 (2022·新高考Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有(　　) A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 B　解析：因为丙、丁要在一起，先把丙、丁捆绑，看作一个元素，连同乙、戊看成三个元素排列，有3！种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙、丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有3！×2×2＝24种不同的排列方式．故选B. 解排列、组合问题要遵循的两个原则 (1)按元素(位置)的性质进行分类； (2)按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列、组合问题常以元素(位置)为主体，即先满足特殊元素(位置)，再考虑其他元素(位置). 考法2　定序问题 【例2】 某学校举行校庆文艺晚会，已知节目单中共有七个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地邀请了三位老校友演唱经典歌曲，并要将这三个不同节目添入节目单，而不改变原来的节目顺序，则不同的安排方式有________种． 720　解析：添入三个节目后共十个节目，故该题可转化为安排十个节目，其中七个节目顺序固定．这七个节目的不同安排方法共有A种，添加三个节目后，节目单中共有十个节目，先将这十个节目进行全排列，不同的排列方法有A种，而原先七个节目的顺序一定，故不同的安排方式共有＝720(种). 定序问题，消序处理，即先不考虑顺序限制，整体进行排列后，再除以定序元素的全排列． 考法3　分组、分配问题 【例3】 (1)3名大学生利用假期到2个山村参加扶贫工作，每名大学生只去1个村，每个村至少1人，则不同的分配方案共有(　　) A．4种 B．5种 C．6种 D．8种 (2)(2024·广东清远高三期末)为了推进疫苗接种进度，某医院准备将3名医生和6名护士分配到3所学校，设立疫苗接种点，免费给学校老师和学生接种疫苗，若每所学校分配1名医生和2名护士，则不同的分配方法共有________种． (1)C　(2)540　解析：(1)根据题意，可先将3名大学生分成2组，一组2人，一组1人，共有C＝3种分法，再将这两组分配到2个山村，有A＝2种分法，故共有3×2＝6种分法． (2)第一步，将6名护士平均分给3名医生组成三个小组，有·A＝90种不同的分法；第二步，将三个小组分配到3所学校，有A＝6种不同的分法．故不同的分配方法共有90×6＝540种． 分组、分配问题的求解策略 (1)对不同元素的分配问题：①对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数． ②对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数． ③对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数． (2)对于相同元素的“分配”问题，常采用的方法是“隔板法”． 1．(2023·全国乙卷)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有(　　) A．30种 B．60种 C．120种 D．240种 C　解析：甲、乙二人先选1种相同的课外读物，有C＝6(种)情况，再从剩下的5种课外读物中各自选1本不同的读物，有CC＝20(种)情况，由分步乘法计数原理可得共有6×20＝120(种)选法． 2．把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种． 答案：36　解析：将产品A与B捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共有AA种方法，将产品A，B，C捆绑在一起，且A在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有AA种方法．于是符合题意的摆法共有AA－AA＝36(种). 3．(2025·江苏南京一中高三开学考试)某校抽调志愿者，已知有4名教师志愿者和2名学生志愿者，要分配到3个不同的社区参加服务．每个社区分配2名志愿者，若要求两名学生不分在同一社区，则不同的分配方案有________种． 答案：72　解析：有4名教师志愿者和2名学生志愿者，要分配到3个不同的社区参加服务，每个社区分配2名志愿者，共有·A＝90(种)分配方案；若两名学生分在同一社区，则有C×C＝18(种)分配方案， 所以要使两名学生不分在同一社区，则不同的分配方案有90－18＝72种． [分级练(67)见P433] 学科网（北京）股份有限公司 $$