分级练(65)　统计模型（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

分级练(65)　统计模型 分级一　提能强化 1．设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数为r，y关于x的经验回归方程为＝kx＋b，则(　　) A．k与r的符号相同 B．b与r的符号相同 C．k与r的符号相反 D．b与r的符号相反 A　解析：因为相关系数r为正，表示正相关，经验回归直线上升；r为负，表示负相关，经验回归直线下降，所以k与r的符号相同．故选A. 2．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi，yi)(i＝1，2，…，20)得到如图所示的散点图： 由此散点图判断，在10至40 ℃之间，下列四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是(　　) A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx2 C．y＝a＋bex D．y＝a＋b ln x D　解析：根据散点图，用光滑的曲线把图中各点依次连起来(图略)，并结合选项可排除A，B，C. 3．(2024·山东聊城一模)根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到χ2＝6.147.依据α＝0.01的独立性检验(x0.01＝6.635)，结论为(　　) A．变量x与y不独立 B．变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01 C．变量x与y独立 D．变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01 C　解析：按照独立性检验的知识及比对的参数值，当χ2＝6.147，我们可以下结论变量x与y独立．故排除选项A，B；依据α＝0.01的独立性检验(x0.01＝6.635)，6.147<6.635，所以我们不能得到“变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01”这个结论．故C正确，D错误．故选C. 4．(2025·南平质检)某互联网公司借助某手机应用平台推广自己的产品，对今年前5个月的月平台推广费用x(单位：百万元)与月利润额y(单位：百万元)进行了初步统计，得到下列表格中的数据： 经计算，月平台推广费用x与月利润额y满足经验回归方程＝6.5x＋17.5，则p的值为(　　) A．50 B．56.5 C．60 D．70 A　解析：由于经验回归直线过样本中心点，＝5，＝，代入经验回归方程得＝6.5×5＋17.5，解得p＝50.故选A. 5．(多选)以下四个命题中正确的是(　　) A．已知两个变量具有线性相关关系，其经验回归方程为＝＋x，若＝2，＝1，＝3，则＝1 B．两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于0 C．在经验回归方程＝0.2x＋12中，当变量x每增加一个单位时，则变量平均增加0.2个单位 D．以模型y＝cekx去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设z＝ln y，将其变换后得到回归方程＝0.3x＋4，则c＝e4，k＝0.3 ACD　解析：对于选项A，＝2，＝1，＝3代入经验回归方程＝＋x，即3＝＋2，则＝1，正确；对于选项B，两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1，错误；对于选项C，在经验回归方程＝0.2x＋12中，当变量x增加一个单位时，则变量＝0.2(x＋1)＋12＝0.2x＋12＋0.2，平均增加0.2个单位，正确；对于选项D，对y＝cekx两边取对数得ln y＝ln c＋kx，设z＝ln y，则z＝kx＋ln c，与z＝0.3x＋4比较得，则4＝ln c，k＝0.3，即c＝e4，正确． 6．某研究性学习小组调查研究学生玩手机对学习的影响，部分统计数据如下表： 经计算χ2的值，则有________%的把握认为玩手机对学习有影响． 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. 答案：99.5　解析：由表中数据，计算得到χ2＝＝10，且10>7.879，则有99.5%的把握认为玩手机对学习有影响． 7．(2025·福建莆田二中模拟)已知变量y关于x的回归方程为＝ebx－0.5，若对y＝ebx－0.5两边取自然对数，可以发现ln y与x线性相关，现有一组数据如下表所示，x＝5时，预测y值为________． 8．为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位：μg/m3)，得下表： (1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率； (2)根据所给数据，完成下面的2×2列联表： (3)根据(2)中的列联表，依据α＝0.01的独立性检验，分析该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度是否有关． 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. 解：(1)根据抽查数据，该市100天空气中的PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150的天数为32＋18＋6＋8＝64， 因此，该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150的概率的估计值为＝0.64. (2)根据抽查数据，可得2×2列联表： (3)零假设为H0：该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度无关， 计算可知χ2＝≈7.484>6.635＝x0.010， 依据α＝0.010的独立性检验，推断H0不成立，即认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关． 9．为了构筑“绿色长城”，我国开展广泛的全民义务植树活动，有力推动了生态状况的改善，森林植被状况的改善，不仅美化了家园，减轻了水土流失和风沙对农田的危害，而且有效提高了森林生态系统的储碳能力．某地区统计了2015年到2024年十年中每年人工植树的成活数yi(i＝1，2，3，…，10)(单位：千棵)，用年份代码xi(i＝1，2，3，…，10)表示2015年，2016年，2017年，2018年，…，2024年，得到如图所示的散点图． 对数据进行回归分析发现，有两个不同的回归模型可以选择．模型一：＝x＋.模型二：＝e＋x，其中e是自然对数的底数． (1)根据散点图，判断所给模型哪个更适宜作为每年人工植树成活数y与年份代码x相关关系的回归分析模型(给出判断即可，不必说明理由)； (2)根据(1)中选定的模型，求出y关于x的回归方程； (3)利用(2)中所求回归方程，预测从哪一年开始每年人工植树成活棵数能够超过5万棵． 附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归直线＝x＋的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝－. 参考数据：＝385，＝13.5，iyi＝914.1，设zi＝ln yi(i＝1，2，3，…，10)，≈2.5，izi≈150.7，ln 2≈0.693，ln 5≈1.609. 解：(1)根据散点图可知，随着x的增长y呈指数型增长，故应选模型二：＝e＋x. (2)由已知＝e＋x，两边同时取对数可得ln ＝＋x，令＝ln ，则＝＋x， 由＝＝5.5，iyi≈150.7，≈2.5，　 ＝385可知， ＝≈＝0.16，＝－≈2.5－0.16×5.5＝1.62， 所以＝ln ＝1.62＋0.16x，即＝e1.62＋0.16x. (3)令＝e1.62＋0.16x>50，即1.62＋0.16x>ln 50＝ln 25＋ln 2＝2ln 5＋ln 2≈3.911，得x>14.319，预测从2029年开始每年人工植树成活棵树能够超过5万棵． 分级二　知能探究 10．(2022·全国甲卷)甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表： (1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率； (2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？ 附：χ2＝， 解：(1)根据表中数据，A共有班次260次，准点班次有240次， 设A家公司长途客车准点事件为M，则P(M)＝＝； B共有班次240次，准点班次有210次， 设B家公司长途客车准点事件为N，则P(N)＝＝. 故A家公司长途客车准点的概率为；B家公司长途客车准点的概率为. (2)列2×2联表得： 计算得到χ2＝＝ ≈3.205>2.706， 根据临界值表可知，有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关． 11．(2025·湖南长沙一中模拟)某芯片制造企业使用新技术对某款芯片进行试生产．在试产初期，该款芯片生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检． (1)在试产初期，该款芯片的批次M生产前三道工序的次品率分别为P1＝，P2＝，P3＝. ①求批次M芯片的次品率PM； ②第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行抽查检验．已知批次M的芯片智能自动检测显示合格率为98%，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率； (2)该企业改进生产工艺后生产了批次N的芯片．某手机生产厂商获得批次M与批次N的芯片，并在某款新型手机上使用．现对使用这款手机的用户回访，对开机速度进行满意度调查．据统计，回访的100名用户中，安装批次M有40部，其中对开机速度满意的有30人；安装批次N有60部，其中对开机速度满意的有58人．依据α＝0.005的独立性检验，能否认为芯片批次与用户对开机速度满意度有关？ 附：χ2＝. 解：(1)①批次M芯片的次品率为 PM＝1－[(1－P1)(1－P2)(1－P3)]＝1－××＝. ②设批次M的芯片智能自功检测合格为事件A，人工抽检合格为事件B， 由已知得P(A)＝，P(AB)＝1－PM＝1－＝， 则工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品为事件B|A， P(B|A)＝＝×＝. (2)零假设为H0：芯片批次与用户对开机速度满意度无关联． 由数据可建立2×2列联表如下：(单位：人) 根据列联表得 χ2＝＝ ≈10.67>7.879. 因此，依据α＝0.005的独立性检验，我们推断零假设H0不成立，即能认为芯片批次与用户对开机速度满意度有关联．此推断犯错误的概率不大于0.005. 学科网（北京）股份有限公司 $$