分级练(28)　三角函数的图象与性质（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

分级练(28)　三角函数的图象与性质 分级一　提能强化 1．(2025·八省高考综合改革适应性演练)函数f(x)＝cos (x＋)的最小正周期是(　　) A． B． C．π D．2π D　解析：依题意，f(x)的最小正周期T＝＝2π. 2．已知函数f(x)＝cos x－cos 2x，则该函数是(　　) A．奇函数，最大值为2 B．偶函数，最大值为2 C．奇函数，最大值为 D．偶函数，最大值为 D　解析：函数f(x)定义域为R，且f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数．又f(x)＝cos x－cos 2x＝cos x－(2cos2x－1)＝－2cos2x＋cosx＋1＝－2(cos x－)2＋，当cos x＝时，f(x)max＝. 3．(2024·广东华南师大附中三模)函数f(x)＝sin (2x＋φ＋)为偶函数的一个充分条件是(　　) A．φ＝ B．φ＝－ C．φ＝ D．φ＝－ C　解析：函数f(x)＝sin (2x＋φ＋)为偶函数，则有φ＋＝kπ＋，解得φ＝kπ＋，k∈Z，令k＝0，则有φ＝，则函数f(x)为偶函数的一个充分条件为φ＝. 4．(2025·福建泉州模拟)已知函数f(x)＝sin (－2x)，则f(x)(　　) A．在(0，π)单调递减 B．在(0，π)单调递增 C．在(－，0)单调递减 D．在(－，0)单调递增 D　解析：f(x)＝sin (－2x)＝cos 2x，故当x∈(0，π)时，2x∈(0，2π)，所以f(x)＝cos 2x不单调，A，B错误；当x∈(－，0)时，2x∈(－π，0)，f(x)＝cos 2x在2x∈(－π，0)上单调递增，故D正确． 5．(2025·江苏连云港模拟)如果函数f(x)＝cos (2x＋φ)满足f(x－)＝f(－x)，则|φ|的最小值是(　　) A． B． C． D． B　解析：因为函数f(x)＝cos (2x＋φ)满足f(x－)＝f(－x)，所以f(x)的图象关于x＝－对称，所以2×(－)＋φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝kπ＋，k∈Z，所以|φ|的最小值为. 6．(2025·山东高三开学考试)若函数y＝sin (πx－)在[0，m]上单调递增，则m的最大值为(　　) A． B． C． D．1 C　解析：由y＝sin (πx－)，可得当－＋2kπ≤πx－≤＋2kπ，k∈Z时函数单调递增，即x∈[－＋2k，＋2k]，k∈Z，当k＝0时，x∈[－，]，又函数在[0，m]，所以0<m≤，即m的最大值为. 7．(2025·湖北荆门模拟)若x＝是函数f(x)＝cos ωx(ω≠0)图象的对称轴，则f(x)的最小正周期的最大值是(　　) A． B． C． D． D　解析：因为x＝是函数f(x)＝cos ωx(ω≠0)图象的对称轴，所以ω×＝kπ，k∈Z，k≠0，故ω＝3k，k∈Z，k≠0，所以|ω|min＝3，故f(x)的最小正周期的最大值为＝. 8．(2025·湖南益阳模拟)已知函数f(x)＝sin (2x－)＋1，则(　　) A．函数f(x)的最小正周期为2π B．函数f(x)的图象关于直线x＝对称 C．函数f(x)的最小值为0 D．函数f(x)在(0，)上单调递增 C　解析：对于A，函数f(x)的最小正周期T＝＝π，A错误；对于B，当x＝时，此时sin (2x－)＝sin (－)＝0≠±1，B错误；对于C，由于sin (2x－)∈[－1，1]，故f(x)＝sin (2x－)＋1的最小值为0，C正确；对于D，当x∈(0，)时，2x－∈(－，)⊄(－，)，f(x)在(0，)上不是单调递增的，D错误． 9．(2025·湖北鄂南模拟)已知函数f(x)＝2sin (ωx＋)－1(ω>0)的两条相邻对称轴之间的距离为，则下列点为f(x)图象的对称中心的是(　　) A．点(，－1) B．点(，0) C．点(－，－1) D．点(－，0) C　解析：∵f(x)两条相邻对称轴之间的距离为， ∴f(x)最小正周期T＝＝π，解得ω＝2， ∴f(x)＝2sin (2x＋)－1，令2x＋＝kπ(k∈Z)， 解得x＝－(k∈Z)，此时f(x)＝－1， ∴f(x)的对称中心为(－，－1)(k∈Z)， ∴f(x)图象的一个对称中心为(－，－1). 10．(2025·河北邯郸模拟)请写出一个满足下列3个条件的函数：f(x)＝________． ①最小正周期T＝π；②在[－，]上单调递减；③奇函数． 答案：－sin 2x(答案不唯一)　解析：根据三角函数的图象与性质，可以写出y＝－sin 2x，y＝－tan x等函数表达式，都满足条件． 11．已知函数y＝3tan ωx＋1在内是减函数，则ω的取值范围是________． 答案：－≤ω<0　解析：函数y＝3tan ωx＋1在内是减函数， ∴ω<0且函数y＝3tan ωx＋1在内也是减函数，∴T＝≥－＝，∴|ω|≤， ∴－≤|ω|≤，又ω<0，∴－≤ω<0. 12．已知函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x. (1)求f()的值及f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在区间[0，]上的最大值和最小值． 解：(1) f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin (2x＋)，所以f()＝2sin (2×＋)＝2cos ＝，f(x)的最小正周期为T＝＝π. (2)因为x∈[0，]，则2x＋∈[，]，故当2x＋＝，即x＝时，f(x)取最大值f()＝2， 当2x＋＝，即x＝时，f(x)取最小值f()＝－1. 分级二　知能探究 13．(2025·湖北十堰模拟)已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)，若f(x)的图象在区间(0，π)上有且只有1个最低点，则实数ω的取值范围为(　　) A．(，] B．(，] C．[，＋∞) D．(，] D　解析：由题意得f(x)＝sin ωx－cos ωx＝2sin (ωx－).因为x∈(0，π)，所以ωx－∈(－，ωπ－)，因为f(x)的图象在(0，π)上有且只有1个最低点，所以<ωπ－≤，解得<ω≤. 14．(2024·河北保定一模)已知定义在x∈[－，]上的函数f(x)＝sin (x＋)＋sin 2x在x＝θ处取得最小值，则最小值为________，此时cos θ＝________． 答案：－　　解析：因为x∈[－，]，则x＋∈[－，]，令t＝sin (x＋)∈[－1，1]，则t＝(sin x＋cos x)， t2＝(1＋2sin x cos x)＝(1＋sin 2x)， 则sin 2x＝2t2－1， 所以f(t)＝t＋2t2－1＝2t2＋t－1， 所以，当t＝－时，函数y＝2t2＋t－1取得最小值， 即ymin＝－－1＝－，此时sin (θ＋)＝－， 由已知θ＋∈[－，]， 所以cos (θ＋)＝ ＝， cosθ＝cos [(θ＋)－]＝cos (θ＋)cos ＋sin (θ＋)sin ＝. 15．(2025·山东聊城高三开学考试)已知函数f(x)＝2sin cos (－)＋m(ω>0).在下列条件①、条件②、条件③这三个条件中，选择可以确定ω和m值的两个条件作为已知． 条件①：f(x)的最小正周期为π； 条件②：f(x)的最大值与最小值之和为0； 条件③：f(0)＝2. (1)求f()的值； (2)若函数f(x)在区间[0，a]上是增函数，求实数a的最大值． 解：(1)f(x)＝2sin cos (－)＋m＝2sin ·(cos cos ＋sin sin )＋m＝ 2sin (cos ＋sin )＋m＝sin cos ＋sin2＋m＝sin ωx＋·＋m＝sin (ωx－)＋＋m. 若选择①和②，则＝π，1＋＋m－1＋＋m＝0，解得ω＝2，m＝－， 所以f(x)＝sin (2x－)，所以f()＝sin (－)＝sin ＝. 若选择①和③，则＝π，f(0)＝sin (－)＋＋m＝2，解得ω＝2，m＝2，所以f(x)＝sin (2x－)＋＋2， 所以f()＝sin (－)＋＋2＝. 若选择②和③，则1＋＋m－1＋＋m＝0，且f(0)＝sin (－)＋＋m＝2，这样的m不存在，故无法选择②和③. (2)由(1)可知，若选择①和②，f(x)＝sin (2x－)， 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得 －＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以f(x)的增区间为[－＋kπ，＋kπ](k∈Z)， 因为函数f(x)在区间[0，a]上是增函数，所以实数a的最大值为. 若选择①和③，则f(x)＝sin (2x－)＋＋2， 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得 －＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以f(x)的增区间为[－＋kπ，＋kπ](k∈Z)， 因为函数f(x)在区间[0，a]上是增函数，所以实数a的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$