分级练(19)　导数与函数的单调性（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

分级练(19)　导数与函数的单调性 分级一　提能强化 1.(2024·四川内江期末)如图所示为y＝f′(x)的图象，则函数y＝f(x)的单调递减区间是(　　) A．(－∞，－1) B．(－2，0) C．(－2，0)，(2，＋∞) D．(－∞，－1)，(1，＋∞) C　解析：当f′(x)<0时，f(x)单调递减，从图象可知，当x∈(－2，0)∪(2，＋∞)时，f′(x)<0，所以f(x)的单调递减区间为(－2，0)和(2，＋∞). 2．已知函数f(x)＝x2＋2cos x，若f′(x)是f(x)的导函数，则函数f′(x)的大致图象是(　　) A　解析：设g(x)＝f′(x)＝2x－2sin x，则g′(x)＝2－2cos x≥0，所以函数f′(x)在R上单调递增，结合选项知选A. 3．已知函数f(x)＝x3＋ax＋4，则“a＞0”是“f(x)在R上单调递增”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　解析： f′(x)＝x2＋a，当a≥0时，f′(x)≥0恒成立，故“a＞0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件． 4．(2024·广西桂林期末)设函数f(x)＝x2－9ln x在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A．(1，2] B．[4，＋∞) C．(－∞，2] D．(0，3] A　解析：∵f(x)＝x2－9ln x，∴f′(x)＝x－(x>0)，当x－≤0时，有0<x≤3；即f(x)在(0，3]上是减函数，∴a－1>0且a＋1≤3，解得1<a≤2. 5．(2025·河北张家口模拟)设函数f(x)＝a ln x＋bx2，若函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x，则函数y＝f(x)的增区间为(　　) A．(0，1) B．(0，) C．(，＋∞) D．(，1) C　解析：f(x)＝a ln x＋bx2的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋2bx，∵函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x，∴解得∴f′(x)＝－＋2x，令f′(x)＝－＋2x＞0，解得x>，即函数y＝f(x)的单调递增区间为(，＋∞). 6．(多选)若函数f(x)＝ax3－3x2＋x＋1恰好有三个单调区间，则实数a的值可以是(　　) A．－2 B．0 C．1 D．3 AC　解析：∵函数f(x)＝ax3－3x2＋x＋1，∴f′(x)＝3ax2－6x＋1.由函数f(x)恰好有三个单调区间，得f′(x)有两个不相等的零点，∴3ax2－6x＋1＝0满足a≠0，且Δ＝36－12a>0，解得a<3，且a≠0，∴a∈(－∞，0)∪(0，3).结合选项可知A，C符合题意． 7．函数f(x)＝x2－ln x的单调递减区间为________． 答案：(0，1)　解析：由题意知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，由f′(x)＝x－<0，得0<x<1，所以函数f(x)的单调递减区间为(0，1). 8．已知函数f(x)＝x3－x的值域为，则f(x)的定义域可以是________．(写出一个符合条件的即可) 答案：[－1，1](答案不唯一)　解析：f′(x)＝x2－1，令f′(x)＝0可得x＝－1或x＝1，所以当x＜－1或x＞1时，f′(0)＞0，当－1＜x＜1时，f′(0)＜0，故f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减，且f(－1)＝，f(1)＝－，由此可知定义域可以是[－1，1]. 9．已知函数f(x)＝x－(e为自然对数的底数)，若f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围． 解：f(x)＝x－，则f′(x)＝≥0在(0，＋∞)上恒成立，记φ(x)＝ex＋ax－a， 则φ(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，φ′(x)＝ex＋a. ①当a≥－1时，φ′(x)＝ex＋a>1＋a≥0，即φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴φ(x)>φ(0)＝1－a≥0，∴－1≤a≤1； ②当a<－1时，令φ′(x)＝ex＋a＝0，解得x＝ln (－a)，　 当0<x<ln (－a)时，φ′(x)<0，φ(x)在(0，ln (－a))上单调递减，当x>ln (－a)时，φ′(x)>0，φ(x)在(ln (－a)，＋∞)上单调递增． ∴φ(x)≥φ(ln (－a))＝－2a＋a ln (－a)≥0，解得－e2≤a<－1.综上，可得实数a的取值范围为[－e2，1]. 分级二　知能探究 10．已知函数y＝在其定义域上单调递减，则函数f(x)的图象可能是(　　) A　解析：∵函数y＝在其定义域上单调递减，∴′＝≤0在定义域上恒成立，且不恒为0，即f(x)≥f′(x)恒成立．结合图象及导数的几何意义知A正确． 11．已知函数f(x)＝x sin x，x1，x2∈(－，)，且f(x1)＜f(x2)，那么(　　) A．x1－x2＞0 B．x1＋x2＞0 C．x－x＞0 D．x－x＜0 D　解析：由f(x)＝x sin x，得f′(x)＝sin x＋x cos x＝cos x(tan x＋x)，当x∈(0，)时，f′(x)＞0，即f(x)在(0，)上为增函数，又∵f(－x)＝－x sin (－x)＝x sin x＝f(x)，∴f(x)为偶函数，∴当f(x1)＜f(x2)时，有f(|x1|)＜f(|x2|)，∴|x1|＜|x2|，故x－x＜0. 12．已知a＝ln ，b＝e－1，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　) A．b>c>a B．a>c>b C．a>b>c D．b>a>c D　解析：依题意，得a＝ln ＝，b＝e－1＝，c＝＝.令f(x)＝，则f′(x)＝，易知函数f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减．所以f(x)max＝f(e)＝＝b，且f(3)＞f(8)，即a＞c，所以b＞a＞c. 13．(2025·湖南长沙模拟)若函数f(x)＝－x3＋ax2＋4x在区间(0，2)上单调递增，则实数a的取值范围为____________． 答案：[2，＋∞)　解析：f(x)＝－x3＋ax2＋4x，则f′(x)＝－3x2＋2ax＋4，若f(x)在区间(0，2)上单调递增，则－3x2＋2ax＋4≥0在(0，2)上恒成立，即a≥－在(0，2)上恒成立，令g(x)＝－，x∈(0，2)，则g′(x)＝＋＞0，g(x)在(0，2)上递增，故g(x)＜g(2)＝2，故a≥2，故实数a的取值范围为[2，＋∞). 14．已知函数f(x)＝ex－ax－1. (1)求f(x)的单调递增区间； (2)是否存在实数a，使f(x)在(－2，3)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由． 解：f′(x)＝ex－a， (1)若a≤0，则f′(x)＝ex－a>0，即f(x)在R上单调递增； 若a>0，令ex－a≥0，解得x≥ln a，即f(x)在[ln a，＋∞)上单调递增， 因此当a≤0时，f(x)的单调递增区间为R，当a>0时，f(x)的单调递增区间是[ln a，＋∞). (2)存在实数a满足条件． 因为f′(x)＝ex－a≤0在(－2，3)上恒成立，所以a≥ex在(－2，3)上恒成立． 又因为－2<x<3，所以e－2<ex<e3，要使a≥ex在(－2，3)上恒成立，只需a≥e3. 当a＝e3时，在(－2，3)上f′(x)＝ex－e3<0，即f(x)在(－2，3)上单调递减，所以a≥e3. 故存在实数a∈[e3，＋∞)，使f(x)在(－2，3)上单调递减． 15．已知f(x)＝ax－，g(x)＝ln x，x＞0，a∈R是常数． (1)求函数y＝g(x)的图象在点P(1，g(1))处的切线方程； (2)设F(x)＝f(x)－g(x)，讨论函数F(x)的单调性． 解：(1)因为g(x)＝ln x(x＞0)，所以g(1)＝0，g′(x)＝，g′(1)＝1， 故函数g(x)的图象在P(1，g(1))处的切线方程是y＝x－1. (2)因为F(x)＝f(x)－g(x)＝ax－－ln x(x＞0)，所以F′(x)＝a＋－＝a＋(－)2－. ①当a≥时，F′(x)≥0，F(x)在(0，＋∞)上单调递增；　 ②当a＝0时，F′(x)＝，F(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减； ③当0＜a＜时，由F′(x)＝0，得x1＝＞0，x2＝＞0，且x2＞x1， 故F(x)在(0，)，(，＋∞)上单调递增，在(，)上单调递减； ④当a＜0时，由F′(x)＝0，得x1＝＞0，x2＝＜0， F(x)在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减． 综上，当a≥时，F(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a＝0时，F(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减； 当0<a<时，故F(x)在(0，)，(，＋∞)上单调递增，在(，)上单调递减； 当a<0时，F(x)在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减． 分级三　素能创新 16．某地区为落实乡村振兴战略，带领村民致富，引入一种特色农产品种植，该农产品上市时间仅能维持5个月，预测上市初期和后期会因产品供应不足使价格持续上涨，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌．经研究其价格模拟函数为f(t)＝t(t－3)2＋n(0≤t≤5，其中t＝0表示5月1日，t＝1表示6月1日，以此类推).若f(2)＝6，为保护农户的经济效应，当地政府计划在价格下跌时积极拓宽外销，请你预测该农产品价格下跌的月份为(　　) A．5月和6月 B．6月和7月 C．7月和8月 D．8月和9月 B　解析：由f(2)＝2＋n＝6，解得n＝4，所以f(t)＝t(t－3)2＋4，t∈[0，5]，则f′(t)＝(t－3)2＋2t(t－3)＝3(t－1)(t－3)，则t∈[0，1)时，f(t)单调递增；t∈(1，3)时，f(t)单调递减；t∈(3，5]时，f(t)单调递增．则t＝1和2时，处在中期，出现价格下跌，即6月和7月． 学科网（北京）股份有限公司 $$