分级练(18)　导数的概念及运算（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

分级练(18)　导数的概念及运算 分级一　提能强化 1．(2024·广东广州一模)曲线f(x)＝x3＋1在点(－1，a)处的切线方程为(　　) A．y＝3x＋3 B．y＝3x＋1 C．y＝－3x－1 D．y＝－3x－3 A　解析：∵f(x)＝ x3＋1，∴f′(x)＝3x2，所以f′(－1)＝3，又当x＝－1时，a＝x3＋1＝－1＋1＝0，所以f(x)＝x3＋1在点(－1，a)处的切线方程为y＝3(x＋1)， 即y＝3x＋3. 2．已知函数f(x)＝3f′(1)x－x2＋ln x＋(f′(x)是f(x)的导函数)，则f(1)＝(　　) A．1 B．2 C． D．－ A　解析：由函数f(x)＝3f′(1)x－x2＋ln x＋，可得f′(x)＝3f′(1)－2x＋， 令x＝1，可得f′(1)＝3f′(1)－1，解得f′(1)＝， 则f(x)＝x－x2＋ln x＋，所以f(1)＝－1＋0＋＝1. 3.函数f(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　) A．f′(1)>f′(2)>0>f′(3) B．f′(1)<f′(2)<f′(3)<0 C．0<f′(1)<f′(2)<f′(3) D．f′(1)>f′(2)>f′(3)>0 D　解析：如图，作出函数f(x)在x＝1，2，3处的切线l1，l2，l3，可见三条切线的斜率依次递减，但是都大于零，由导数的几何意义可知，f′(1)>f′(2)>f′(3)>0，故选D. 4．(2025·山东潍坊模拟)已知直线y＝x－1与曲线y＝ln (x－a)相切，则a的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 B　解析：由题意，设切点为(x0，x0－1)，所以x0－1＝ln (x0－a)，y′＝，所以＝1⇒x0－a＝1，所以x0＝a＋1，则a＋1－1＝ln (a＋1－a)，即a＝0. 5．已知函数f(x)＝x2＋cos x，则其导函数f′(x)的图象大致是(　　) A　解析：f′(x)＝x－sin x，故f′(x)为奇函数，排除B，D，又f′()＝－sin ＝－＜0，排除C，故选A. 6．(2024·江西南昌新建区二中7月检测)若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln (x＋2)的切线，则b的值为(　　) A．0 B．1 C．0或1 D．0或－1 B　解析：设y＝kx＋b是y＝ln x＋2在点(a，ln a＋2)的切线，则 同理设y＝kx＋b是y＝ln (x＋2)在点(c，ln (c＋2))的切线，则 由方程组得c＋2＝a，代入解得 7．(2025·福建福州格致中学模拟)已知函数f(x)＝f′(0)ex＋x2－[f(0)－1]x，则函数f(x)＝____________． 答案：ex＋x2　解析：由题意得f(0)＝f′(0)，且f′(x)＝f′(0)ex＋2x－f(0)＋1，令x＝0，得f′(0)＝f(0)＝1，故f(x)＝ex＋x2. 8．(2024·湖南衡阳二模)函数f(x)＝x ln (－2x)，则曲线y＝f(x)在x＝－处的切线方程为____________． 答案：4x－2y＋e＝0　解析：由题可知f′(x)＝ln (－2x)＋1，所以f′(－)＝2，又f(－)＝－，故切线方程为y－(－)＝2[x－(－)]，即4x－2y＋e＝0. 9．(2025·江苏南京高三开学考试)已知函数f(x)＝a ln x＋＋x，g(x)＝f′(x).若g(1)＝g(3)＝0，则f(2)＝________． 答案：－4ln 2＋　解析：因为f(x)＝a ln x＋＋x，所以g(x)＝f′(x)＝－＋1＝，又g(1)＝g(3)＝0，即解得所以f(x)＝－4ln x－＋x，所以f(2)＝－4ln 2＋.　 分级二　知能探究 10．若曲线y＝f(x)＝ln x＋ax2(a为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是(　　) A．(－，＋∞) B． C．(0，＋∞) D．[0，＋∞) D　解析：f′(x)＝＋2ax＝(x>0)，根据题意有f′(x)≥0(x>0)恒成立，所以2ax2＋1≥0(x>0)恒成立，即2a≥－(x>0)恒成立，所以a≥0，故实数a的取值范围为[0，＋∞). 11．已知函数f(x)＝，且f′(1)＝1，则a＝________，曲线y＝f(x)在x＝e处的切线方程为________________． 答案：0　y＝　解析：由f(x)＝，则f′(x)＝，因为f′(1)＝1，即＝1，解得a＝0，所以f(x)＝，f′(x)＝，所以f(e)＝，f′(e)＝0，所以曲线y＝f(x)在x＝e处的切线方程为y＝. 12．写出曲线y＝ex的一条切线方程为____________. 答案：y＝x＋1(答案不唯一)　解析：设曲线y＝ex任意一点处的坐标为(x0，ex0)，由y＝ex可得y′＝ex，则该曲线在点(x0，ex0)处的切线斜率为k＝ex0，所以在该点处的切线方程为y－ex0＝ex0(x－x0)，即y＝ex0x＋(1－x0)ex0，不妨取x0＝0，则y＝x＋1. 13．(2025·广东执信中学模拟)已知f(x)＝ex－1(e为自然对数的底数)，g(x)＝ln x＋1，则f(x)与g(x)的公切线条数为________． 答案：2　解析：根据题意，设直线l与f(x)＝ex－1相切于点(m，em－1)，与g(x)相切于点(n，ln n＋1)，对于f(x)＝ex－1，其导数为f′(x)＝ex，则有k＝f′(m)＝em，则直线l的方程为y＋1－em＝em(x－m)，即y＝emx＋em(1－m)－1，对于g(x)＝ln x＋2，其导数为g′(x)＝，则有k＝g′(n)＝，则直线l的方程为y－(ln n＋1)＝(x－n)，即y＝ x＋ln n，直线l是f(x)与g(x)的公切线，则可得(1－m)(em－1)＝0， 则m＝0或m＝1，故直线l的方程为y＝x或y＝ex－1，则f(x)与g(x)的公切线条数是2条． 14．已知曲线y＝ex＋a与y＝x2恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围是________． 答案：(－∞，2ln 2－2)　解析：由题意可设直线y＝kx＋b(k>0)为两条曲线的公切线，联立可得x2－kx－b＝0，由Δ＝k2＋4b＝0，① 对y＝ex＋a求导可得y′＝ex＋a，令ex＋a＝k，可得x＝ln k－a，∴切点坐标为(ln k－a，k ln k－ak＋b)， 代入y＝ex＋a可得k＝k ln k－ak＋b.② 联立①②可得k2＋4k＋4ak－4k ln k＝0，化简得4＋4a＝4ln k－k.令g(k)＝4ln k－k，则g′(k)＝－1，令g′(k)＝0，得k＝4，令g′(k)>0，得0<k<4，令g′(k)<0，得k>4.∴g(k)在(0，4)内单调递增，在(4，＋∞)内单调递减，∴g(k)max＝g(4)＝4ln 4－4，∵有两条公切线，∴方程4＋4a＝4ln k－k有两解，∴4＋4a<4ln 4－4，∴a<2ln 2－2. 分级三　素能创新 15．我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设f(x)＝ln (1＋x)，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为________，用此结论计算ln 2 022－ln 2 021≈________． 答案：y＝x　　解析：函数f(x)＝ln (1＋x)，则f′(x)＝，f′(0)＝1，f(0)＝0，∴切线方程为y＝x.∴ln 2 022－ln 2 021＝ln (1＋)＝f()，根据“以直代曲”，x＝也非常接近切点x＝0.∴可以将x＝代入切线近似代替f()，即f()≈，即ln 2 022－ln 2 021≈. 学科网（北京）股份有限公司 $$