分级练(17)　函数模型及其应用（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

分级练(17)　函数模型及其应用 分级一　提能强化 1．上高中的小华为弟弟解答《九章算术》中的一个题目：今有田广十五步，从十六步．问为田几何？翻译为：一块田地，宽15步，长16步，则这块田有多少亩？小华忘记了亩与平方步之间的换算关系，只记得一亩在200～250平方步之间，则这块田地的亩数是(　　) A． B．1 C． D．2 B　解析：总的面积为15×16＝240(平方步).因为一亩在200～250平方步之间，所以转化为亩数为[，]之间，即[，]之间，对照四个选项，只有B正确． 2．(2025·广东广州模拟)如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是(　　) B　解析：函数h＝f(t)是关于t的减函数，故排除C，D，一开始，h随着时间的变化，变化缓慢，水排出超过一半时，h随着时间的变化，变化加快，故对应的图象为B. 3．(2024·山东泰安一模)某食品的保鲜时间y(单位：h)与储存温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718 28…为自然对数的底数，k，b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192 h，在22 ℃的保鲜时间是48 h，则该食品在33 ℃的保鲜时间是(　　) A．16 h B．20 h C．24 h D．28 h C　解析：由题意，得即于是当x＝33时，y＝e33k＋b＝(e11k)3·eb＝()3×192＝24. 4．(2024·四川攀枝花三模)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 L汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是(　　) A．消耗1 L汽油，乙车最多可行驶5 km B．甲车以80 km/h的速度行驶1 h，消耗约10 L汽油 C．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 D．某城市机动车最高限速80 km/h，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 D　解析：对于A，当乙车速度大于40 km/h时，乙车每消耗1 L汽油行驶的里程都超过了5 km，所以A错误；对于B，甲车以80 km/h的速度行驶时，燃油效率为10 km/L，则行驶1 h消耗约8 L汽油，所以B错误；对于C，以相同速度行驶相同路程，燃油效率越高耗油越少，故三辆车中，甲车消耗汽油最少，所以C错误；对于D，机动车最高限速80 km/h，相同条件下，丙车比乙车燃油效率高，故更省油，所以D正确． 5．(2025·北京第十三中学高三开学考试)大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究发现鲑鱼的游速(单位：m/s)可以表示为v＝log3，其中Q表示鲑鱼的耗氧量．则鲑鱼以1.5 m/s的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的比值为(　　) A．2 600 B．2 700 C．26 D．27 D　解析：当一条鲑鱼静止时，v＝0，此时0＝log3，则＝1，即耗氧量为Q0＝100；当一条鲑鱼以1.5 m/s的速度游动时，v＝1.5，此时1.5＝log3，则＝27，即耗氧量为Q＝2 700，因此鲑鱼以1.5 m/s的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的比值为＝27. 6．(2025·广东执信中学模拟)已知某种垃圾的分解率为v，与时间t(单位：月)满足函数关系式v＝abt(其中a，b为正常数)，若经过12个月，这种垃圾的分解率为10%，经过24个月，这种垃圾的分解率为20%，那么这种垃圾完全分解，至少需要经过(参考数据：lg 2≈0.3)(　　) A．48个月 B．52个月 C．64个月 D．120个月 B　解析：由题意可得解得所以v＝·2，这种垃圾完全分解，即当v＝1时，有1＝·2，即2t＝2012，解得t＝log22012＝12log220＝24＋12log25＝24＋12×≈52. 7．某医院在成为某病毒感染检测定点医院并开展检测工作的第n天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时t(n)(单位：h)大致服从的关系为t(n)＝(t0，N0为常数).已知第16天检测过程平均耗时为16 h，第64天和第81天检测过程平均耗时均为8 h，那么可得到第36天检测过程平均耗时大致为(　　) A．12 h B．11 h C．10 h D．9 h B　解析：由第64天和第81天检测过程平均耗时均为8 h知，16<N0，所以＝16，得t0＝64，又由＝8得N0＝64，所以当n＝36时，t(36)＝＝≈11. 8．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间t(h)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝t－a(a为常数).根据图所提供的信息，回答下列问题： (1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(mg)与时间t(h)之间的函数关系式为________； (2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25 mg以下时，学生方可进教室，那么药物释放开始，至少需要经过________h后，学生才能回到教室． 答案：(1)y＝　(2) 解析：(1)依题意，当0≤t≤时，设y＝kt，则k＝1，解得k＝10， 当t>时，将代入y＝t－a可得－a＝1，解得a＝. 综上所述，y＝ (2)由题意可得y<0.25＝.因为药物释放过程中室内药量一直在增加， 即使药量小于0.25 mg，学生也不能进入教室， 所以只有当药物释放完毕，室内药量减少到0.25 mg以下时学生方可进入教室， 即解得t>， 故至少需要经过 h后，学生才能回到教室． 9．某科研小组研制钛合金产品时添加了一种新材料，该产品的性能指标值y是这种新材料的含量x(单位：g)的函数．研究过程中的部分数据如下表： x(单位：g) 0 2 6 10 … y －4 8 8 … 已知当x≥7时，y＝x－m，其中m为常数．当0≤x<7时，y和x的关系为以下三种函数模型中的一个：①y＝ax2＋bx＋c；②y＝k·ax(a>0且a≠1)；③y＝klogax(a>0且a≠1)，其中k，a，b，c均为常数． (1)选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系，并求出其解析式； (2)求该新材料的含量x的值为多少时，产品的性能达到最大． 解：(1)由表格知当x＝0时，y＝－4， 若选①y＝ax2＋bx＋c，则c＝－4， 若选②y＝k·ax(a>0且a≠1)，则k＝－4， 此时y＝－4ax(a>0且a≠1)不满足x＝2时，y＝8， 故不选， 若选③y＝klogax(a>0且a≠1)，x＝0时无意义，故不选， 所以选①的函数模型来描述x，y之间的关系． 由题意当0≤x<7时，由y＝ax2＋bx＋c， 且x＝0，y＝－4得c＝－4； 当x＝2，y＝8时得4a＋2b＝12； 当x＝6，y＝8时得36a＋6b＝12； 联立解得 所以当0≤x<7时，y＝－x2＋8x－4. (2)由(1)可知当0≤x<7时，y＝－x2＋8x－4， 又当x≥7时，y＝x－m， 将x＝10，y＝代入上式有＝10－m， 即3－2＝3m－10， 解得m＝8，即当x≥7时，y＝x－8， 综上，有y＝ 当0≤x<7时，y＝－x2＋8x－4＝－(x－4)2＋12， 所以当x＝4时，取到最大值ymax＝12， 当x≥7时，y＝x－8单调递减， 所以当x＝7时，ymax＝7－8＝3， 故当新材料的含量x的值为4时，产品的性能达到最大． 分级二　知能探究 10.(多选)如图，某池塘里浮萍的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系为y＝at，关于下列说法正确的是(　　) A．浮萍每月的增长率为1 B．第5个月时，浮萍面积就会超过30 m2 C．浮萍每月增加的面积都相等 D．若浮萍蔓延到2 m2，3 m2，6 m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3 ABD　解析：因为图象过点(1，2)，所以2＝a1，即a＝2，故题中函数关系为y＝2t.对于A，＝1，故A正确；对于B，当t＝5时，y＝25＝32>30，故B正确；对于C，第二个月比第一个月增加y2－y1＝22－2＝2，第三个月比第二个月增加y3－y2＝23－22＝4≠y2－y1，故C错误；对于D，因为2＝2t1，3＝2t2，6＝2t3，所以t1＝log22，t2＝log23，t3＝log26，所以t1＋t2＝log22＋log23＝log26＝t3，故D正确． 11．(2024·云南曲靖二模)我国于2020年9月22日在联合国大会提出，二氧化碳排放力争于2030年前实现碳达峰，争取在2060年前实现碳中和．为了响应党和国家的号召，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关：把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．经测算，该技术处理总成本y(单位：万元)与处理量x(单位：t，x∈[120，500])之间的函数关系可近似表示为y＝要使每吨的平均处理成本最低，每月处理量为(　　) A．120 t B．200 t C．240 t D．400 t D　解析：由题意得二氧化碳每吨的平均处理成本为S＝当x∈[120，144)时，S＝x2－80x＋5 040＝(x－120)2＋240，则当x＝120时，S取得最小值240；当x∈[144，500]时，S＝x＋－200≥2 －200＝200，当且仅当x＝，即x＝400时取等号，此时S取得最小值200.综上，当每月处理量为400 t时，每吨的平均处理成本最低． 分级三　素能创新 12．(2025·福建福州模拟预测)折纸是我国民间的一种传统手工艺术．现有一张长10 cm、宽8 cm的长方形的纸片，将纸片沿着一条直线折叠，折痕(线段)将纸片分成两部分，面积分别为S1，S2.若S1∶S2＝1∶3，求折痕长的最大值． 解：由题意得长方形纸片的面积为10×8＝80(cm2)， 又S1∶S2＝1∶3，∴S1＝20 cm2，S2＝60 cm2. ①当折痕如图①所示时， 设AE＝x，AF＝y，则得∴EF2＝x2＋y2＝x2＋，令x2＝t∈[25，100]，则f(t)＝t＋(25≤t≤100)，∵f(t)在(25，40)上单调递减，在(40，100)上单调递增， 又f(25)＝25＋64＝89，f(100)＝100＋16＝116，f(40)＝40＋40＝80，∴f(t)∈[80，116]，∴EF∈[4，2 ]；　 ②当折痕如图②所示时，设AE＝x，DF＝y，则解得∴EF2＝(x－y)2＋64＝(2x－5)2＋64， 令g(x)＝(2x－5)2＋64(0≤x≤5)，则g(x)在(0，)上单调递减，在(，5)上单调递增， 又g(0)＝25＋64＝89，g()＝64，g(5)＝25＋64＝89， ∴g(x)∈[64，89]，∴EF∈[8，]； ③当折痕如图③所示时， 设AF＝x，BE＝y，则 解得 ∴EF2＝(x－y)2＋100＝(2x－4)2＋100， 令h(x)＝(2x－4)2＋100(0≤x≤4)，则h(x)在(0，2)上单调递减，在(2，4)上单调递增， 又h(0)＝16＋100＝116，h(2)＝100，h(4)＝16＋100＝116，∴h(x)∈[100，116]，∴EF∈[10，2 ]. 综上所述，折痕长的取值范围为[8，2 ]， ∴折痕长的最大值为2 cm. 学科网（北京）股份有限公司 $$