分级练(11)　指数与对数运算（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

分级练(11)　指数与对数运算 分级一　提能强化 1．(2025·江苏句容碧桂园学校高三开学考试)下列等式中，正确的是(　　) A．＝a B．2－log23＝ C．＝(－5) D．＝2 D　解析：对于A，当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|，错误；对于B，2－log23＝log24－log23＝log2≠，错误；对于C，＝5≠(－5)，错误；对于D，＝(2)＝(8)＝(8)＝2，正确． 3．(2025·河南驻马店模拟)已知5a＝8，4b＝5，则ab＝(　　) A．2 B． C． D．1 B　解析：由题意得a＝log58，b＝log45，则ab＝log58·log45＝＝＝. 4．已知函数f(x)＝|ln x|，若f(m)＝f(n)(m>n>0)，则＋＝(　　) A． B．1 C．2 D．4 C　解析：由f(m)＝f(n)，m>n>0，可知m>1>n>0，所以ln m＝－ln n，即mn＝1，所以＋＝＝＝2. 5．(2025·天津塘沽一中模拟)若xlog23＝1，则3x＋3－x＝(　　) A． B． C． D． A　解析：因为xlog23＝1，所以x＝log32，所以3x＋3－x＝3log32＋3－log32＝2＋＝. 6．(2022·浙江卷)已知2a＝5，log83＝b，则4a－3b＝(　　) A．25 B．5 C． D． C　解析：由2a＝5两边取以2为底的对数，得a＝log25.又b＝log83＝＝log23，所以a－3b＝log25－log23＝log2＝＝2log4＝log4，所以4a－3b＝4log4＝. 7．已知x，y为正实数，则(　　) A．lg (x2·y)＝(lg x)2＋lg y B．lg (x·)＝lg x＋lg y C．eln x＋ln y＝x＋y D．eln x·ln y＝xy B　解析：A中，lg (x2·y)＝lg x2＋lg y＝2lg |x|＋lg y，故A不正确；B中，lg (x·)＝lg x＋lg ＝lg x＋lg y，故B正确；C中，eln x＋ln y＝eln x·eln y＝xy，故C不正确；D中，eln x·ln y＝(eln x)ln y＝xln y，故D不正确． 8．(2024·四川宜宾四中二模)桥梁由于自身结构的优势占地要比路基工程少，所以在平原区的高铁设计中大量采用桥梁代替普速铁路中常见的路基工程．在低桩承台对称竖直桩桩基基础刚度计算及有限元模拟中常用到三个公式Fc＝，Sc＝，Ic＝，其中Fc，Sc，Ic分别为承台地面以上水平方向地基系数c的图形面积和对底面的面积矩和惯性矩；cc表示承台底面处水平土的地基系数；hc表示承台底面埋入地面或局部冲刷下的深度．在设计某一桥梁时，已知Ic＝2.0×108，cc＝300，则Sc＝(　　) A．3.8×108 B．2.4×106 C．2.0×106 D．1.2×108 C　解析：根据题意，得2.0×108＝，解得hc＝200，所以Sc＝＝2.0×106. 9．(2025·河南郑州四中模拟)计算：1.10＋eln 2－0.5－2＋lg 25＋2lg 2＝________． 1　解析：原式＝1＋2－4＋2(lg 5＋lg 2)＝－1＋2＝1. 10．(2024·四川凉山三模)计算：()－2＋eln 3－(－1)0＋lg 4＋lg 0.25＝________． 18　解析：()－2＋eln 3－(－1)0＋lg 4＋lg 0.25＝42＋3－1＋lg (4×0.25)＝18. 分级二　知能探究 11．(2024·广西桂林二模)若正数a，b满足1＋loga＝2＋logb＝log(a－b)，则－的值为(　　) A．－3 B．－2 C．2 D．3 A　解析：令1＋loga＝2＋logb＝log(a－b)＝k，则a＝()k－1，b＝()k－2，a－b＝()k，所以－＝＝＝＝－3. 12．(多选)(2025·广东佛山艺术高级中学模拟)已知2a＝5b＝m，现有下面四个命题中正确的是(　　) A．若a＝b，则m＝1 B．若m＝10，则＋＝1 C．若a＝b，则m＝10 D．若m＝10，则＋＝ AB　解析：当a＝b时，由2a＝5b＝m，可得()a＝1，则a＝0，此时m＝1，所以A正确； 当m＝10时，由2a＝5b＝m，可得a＝log210，b＝log510，则＋＝lg 2＋lg 5＝1，所以B正确． 13．运载火箭在发射时会产生巨大的噪声，已知声音的声强级d(x)(单位：dB)与声强x(单位：W/m2)满足d(x)＝10lg .若人交谈时的声强级约为50 dB，且火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为109，则火箭发射时的声强级约为(　　) A．130 dB B．140 dB C．150 dB D．160 dB B　解析：由人交谈时的声强级约为50 dB，得50＝10lg ⇒＝105⇒x＝10－7，即人交谈时的声强为10－7 W/m2.因为火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为109，所以火箭发射时的声强为10－7×109＝100，因此火箭发射时的声强级为10lg ＝10lg 1014＝10×14＝140(dB). 14．(2024·山西大附中三模)某高山地区的大气压强p(单位：Pa)与海拔高度h(单位：m)近似满足函数关系p＝p0e－kh，其中k＝0.000 126，p0是海平面大气压强．已知在该地区甲、乙两处测得的大气压强分别为p1，p2，且＝，那么甲、乙两处的海拔之差约为(参考数据：ln 2≈0.693)(　　) A．4 900 m B．5 500 m C．6 200 m D．7 400 m B　解析：记甲、乙两处的海拔高度分别为h1，h2，则由题可知＝＝e－k(h1－h2)＝，则h1－h2＝≈＝5 500(m). 15．(2025·河南模拟预测)民以食为天，科学研究表明：适宜的进食温度在10 ℃到40 ℃左右．大量实验数据表明：把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1，空气的温度是θ0，那么t min后物体的温度θ(单位：℃)满足公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt(其中k为常数).现有60 ℃的物体放在20 ℃的空气中冷却，2 min后物体的温度是40 ℃.现将一盘出锅温度是100 ℃的美食放在20 ℃的空气中冷却，为达到适宜的进食温度，至少应冷却(　　) A．2 min B．3 min C．4 min D．5 min C　解析：∵现有60 ℃的物体放在20 ℃的空气中冷却，2 min后物体的温度是40 ℃，∴40＝20＋(60－20)e－2k，解得e－2k＝.① ∵适宜的进食温度在10 ℃到40 ℃左右，一盘出锅温度是100 ℃的美食放在20 ℃的空气中冷却，∴40＝20＋(100－20)e－kt，解得e－kt＝.② 联立①②解得t＝4，即至少应冷却4 min. 分级三　素能创新 16．因为运算，数的威力是无限的，没有运算，数就只能成为一个符号．把一些已知量进行组合，通过数学运算可以获得新的量，从而解决一些新的问题． (1)对数运算与指数幂运算是两类重要的数学运算，请你根据对数定义推导对数的一个运算性质：如果a>0，a≠1，M>0，n∈R，那么logaMn＝nlogaM；　 (2)请你运用上述对数运算性质，计算(＋)的值； (3)对数的运算性质降低了数学运算的级别，简化了数学运算，是数学史上的伟大成就．例如，因为210＝1 024∈(103，104)，所以210是一个4位数，我们取lg 2≈0.301 0，请你运用上述对数运算性质，判断250的位数是多少？ 解：(1)设M＝ax，则Mn＝anx. 根据对数定义有logaM＝x，logaMn＝nx， 因此logaMn＝nlogaM. (2)由logaMn＝nlogaM可得(＋)＝·(＋)＝(＋)＝×＋×＝＋＝. (3)设250的位数为k，则10k－1≤250≤10k，所以lg 10k－1≤lg 250≤lg 10k，即k－1≤50lg 2≤k. 因为lg 2≈0.301 0，所以50lg 2≈15.05. 由k－1≤15.05≤k得15.05≤k≤16.05. 因为k∈N*，所以k＝16.即250的位数是16. 学科网（北京）股份有限公司 $$