分级练(10)　函数性质的综合问题（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

分级练(10)　函数性质的综合问题 分级一　提能强化 1．(2024·河北张家口高三期末)已知函数f(x)＝，则(　　) A．函数f(x)是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增 B．函数f(x)是奇函数，在区间(－∞，0)上单调递减 C.函数f(x)是偶函数，在区间(0，＋∞)上单调递减 D．函数f(x)非奇非偶，在区间(－∞，0)上单调递增 A　解析：由题意得函数f(x)的定义域为R，－f(－x)＝－＝－＝＝f(x)，故f(x)是奇函数．又f(x)＝＝1－，令g(x)＝－，则g′(x)＝>0在R上恒成立，所以函数g(x)在R上单调递增，由复合函数的单调性可知f(x)在R上单调递增． 2．已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，若f(ln x)<f(2)，则x的取值范围是(　　) A．(0，e2) B．(e－2，＋∞) C．(e2，＋∞) D．(e－2，e2) D　解析：根据题意知，f(x)为偶函数且在[0，＋∞)上单调递增，则f(ln x)<f(2)⇔|ln x|<2，即－2<ln x<2，解得e－2<x<e2，即x的取值范围是(e－2，e2). 3．(2024·江西宜春模拟预测)已知函数f(x)＝2x－2－x，则不等式f(2x)＋f(x2－x)>0的解集为(　　) A．(0，1) B．(－3，0) C．(－∞，－1)∪(0，＋∞) D．(－∞，0)∪(3，＋∞) C　解析：函数f(x)＝2x－2－x的定义域为R，f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数，且在R上是增函数，则f(2x)＋f(x2－x)>0⇔f(x2－x)>f(－2x)，于是得x2－x>－2x，解得x<－1或x>0，所以所求不等式的解集是(－∞，－1)∪(0，＋∞). 4．(2024·山东济南二模)设f(x)为偶函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x－1，则使f(x)>0的x的取值范围是(　　) A．{x|x>1} B．{x|－1<x<0} C．{x|x<－1或x>1} D．{x|－1<x<0或x>1} C　解析：∵当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x－1是增函数， 且f(x)为偶函数，∴可以作出f(x)的图象如图所示． f(x)>0⇒f(x)>f(1)或f(x)>f(－1)，根据奇偶性和单调性可知f(x)>0的取值范围为{x|x<－1或x>1}． 5．(2025·福建莆田模拟)已知函数y＝f(2x＋1)是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x＝1对称，则(　　) A．f(－3)＝0 B．f(－1)＝0 C．f(0)＝0 D．f(2)＝0 A　解析：依题意知函数y＝f(2x＋1)是定义在R上的奇函数，所以f(2×0＋1)＝f(1)＝0，又因为图象关于直线x＝1对称，所以f(－3)＝f(2×(－2)＋1)＝－f(2×2＋1)＝－f(2×0＋1)＝－f(1)＝0，f(－1)，f(0)，f(2)的函数值无法确定． 6．设函数f(x)是定义在实数集上的奇函数，在区间[－1，0)上是增函数，且f(x＋2)＝－f(x)，则有(　　) A．f()<f()<f(1) B．f(1)<f()<f() C．f(1)<f()<f() D．f()<f(1)<f() A　解析：∵f(x)为奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，∴f()＝－f(－)，f(1)＝－f(－1)，f()＝f(－＋2)＝－f(－)，又－1<－<－<0，且函数在区间[－1，0)上是增函数，∴f(－1)<f(－)<f(－)<0，∴－f(－1)>－f(－)>－f(－)，∴f(1)>f()>f(). 7．(2025·湖南邵阳模拟)若f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0，)上单调递减，则函数f(x)的解析式可以为f(x)＝________．(写出符合条件的一个即可) 答案：－x2(答案不唯一)　解析：若f(x)＝－x2，则f(－x)＝－(－x)2＝－x2＝f(x)，故f(x)为偶函数，且易知f(x)在(0，＋∞)上单调递减，故f(x)在(0，)上单调递减，符合条件． 8．写出一个同时具有下列性质①②的函数f(x)＝________． ①f(m＋n)＝f(m)f(n)；②f′(x)<f(x).　 答案：e－x(答案不唯一)　解析：依题意令f(x)＝e－x， 则f(m＋n)＝e－(m＋n)＝e－m－n，f(m)＝e－m，f(n)＝e－n， 所以f(m)f(n)＝e－m·e－n＝e－m－n＝f(m＋n)，故满足①； 又f′(x)＝－e－x，则f′(x)＝－e－x<e－x＝f(x)，故满足②. 9．(2025·山西太原阶段测评)偶函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，若f(4)＝2，则f(－2)＝________． 答案：2　解析：方法一　由函数f(x)为偶函数，得f(－2)＝f(2).由函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝3，得f(2)＝f(4)＝2，则f(－2)＝2. 方法二　由函数f(x)为偶函数及函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝3，得f(x)的周期T＝2×|3－0|＝6，则由周期性，得f(－2)＝f(4)＝2. 10．(2024·江苏阜宁中学高三期中)已知函数f(x)＝1－为奇函数，则函数f(x)在区间[0，1]上的最大值为________． 答案：　解析：因为函数f(x)＝1－的定义域为R，且函数f(x)＝1－为奇函数，所以f(x)＋f(－x)＝0，即1－＋1－＝0，解得m＝2，所以f(x)＝1－.又当x∈[0，1] 时，若x增加，则导致5x＋1增加，从而－增加，所以f(x)的值增加，所以函数f(x)在区间[0，1]上是增函数，所以函数f(x)在区间[0，1]上的最大值为f(1)＝1－＝. 分级二　知能探究 11．(多选)(2025·福建厦门模拟)若f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在[0，＋∞)上单调递增，则下列结论正确的是(　　) A．y＝|f(x)|是偶函数 B．对任意的x∈R都有f(－x)＋|f(x)|＝0 C．y＝f(－x)在(－∞，0]上单调递增 D．y＝f(x)f(－x)在(－∞，0]上单调递增 AD　解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，所以y＝|f(x)|是偶函数，故A正确；因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0，所以f(x)＝|f(x)|不一定成立，故B不正确；因为f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－∞，0]上单调递增，从而y＝f(－x)在(－∞，0]上单调递减，故C不正确；因为f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－∞，0]上单调递增，且f(x)≥f(0)＝0，因此y＝f(x)f(－x)＝－[f(x)]2在(－∞，0]上单调递增，故D正确． 12．函数f(x)对任意x∈R，都有f(x)＝f(x＋12)，y＝f(x－1)的图象关于(1，0)对称，且f(4)＝1，则f(2 024)＝(　　) A．1 B．－1 C．0 D．2 B　解析：因为函数f(x)对任意x∈R，都有f(x)＝f(x＋12)，所以函数f(x)的周期为T＝12.将y＝f(x－1)的图象向左平移1个单位长度可得y＝f(x)的图象，又y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，所以y＝f(x)的图象关于点(0，0)对称，故f(x)为R上的奇函数，所以f(2 024)＝f(168×12＋8)＝f(8)＝f(12－4)＝f(－4)＝－f(4)＝－1. 13．(多选)(2025·山东潍坊月考)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[－2，0]上是增函数，下面关于f(x)的判断正确的是(　　) A．f(x)的图象关于点P(1，0)对称 B．f(0)是函数f(x)的最大值 C．f(x)在[2，3]上是减函数 D．f(x0)＝f(4k＋x0)，k∈Z ABD　解析：∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)是以4为周期的函数，∵偶函数f(x)在[－2，0]上是增函数，∴f(x)在[0，2]上是减函数，∴f(x)在[－2，2]上，最大值为f(0)，∵f(x)是以4为周期的函数，∴f(0)是函数的最大值，故B正确；∵f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋2)＋f(－x)＝0，∴f(x)的图象关于点(1，0)对称，故A正确；∵f(x)在[－2，0]上是增函数，∴f(x)在[2，4]上是增函数，故C错误；∵T＝4，∴f(x0)＝f(4k＋x0)，k∈Z，故D正确． 14．(2024·陕西长安区10月月考)已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，若y＝f(2x＋1)的最小正周期为1，则下列说法中正确的有(　　) ①f＋f＝0；②f＋f＝0； ③f(x)的一个对称中心为(1，0)；④f(x)的一条对称轴为x＝. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 B　解析：因为y＝f(2x＋1)的最小正周期为1，所以f(2(x＋1)＋1)＝f(2x＋1)， 即f(2x＋3)＝f(2x＋1)，所以2是f(x)的最小正周期． 因为f(x)为奇函数，所以f＋f＝f＋f＝0，②正确； f＋f＝f＋f＝f－f，不一定为零，①不正确； 因为f(x＋2)＝f(x)＝－f(－x)，所以f(x)的一个对称中心为(1，0)，③正确； 通过题目条件无法得出f(x)的一条对称轴为x＝，④不正确．故选B. 15．已知函数f(x)满足f(2－x)＋f(2＋x)＝6，g(x)＝ ，且f(x)与g(x)的图象交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x8，y8)，则x1＋x2＋…＋x8＋y1＋y2＋…＋y8的值为(　　) A．20 B．24 C．36 D．40 D　解析：由于函数f(x)满足f(2－x)＋f(2＋x)＝6，当x＝0时，f(2)＝3，所以f(x)的图象关于点(2，3)中心对称．由于g(x)＝ ＝ ＝3＋，所以g(x)的图象关于点(2，3)中心对称．故f(x)和g(x)的图象都关于点(2，3)中心对称．所以f(x)与g(x)的图象交点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x8，y8)两两关于点(2，3)对称．所以x1＋x2＋…＋x8＋y1＋y2＋…＋y8＝8×2＋8×3＝40. 16．已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x＋1)＝f(x－1)，f(1－x)＋f(x)＝1，则f(x)的最小正周期为________，f(x)的一个解析式可以为__________________________________ ____________________________________________________． 答案：2　f(x)＝＋cos πx(答案不唯一)　解析：因为f(x＋1)＝f(x－1)，所以f(x)＝f(x－2)，所以f(x)是周期为2的周期函数．因为f(1－x)＋f(x)＝1，所以函数f(x)的图象关于点(，)对称，满足图象关于点(，)对称以及周期为2的方程可以为f(x)＝＋cos πx. 17．已知函数f(x)＝是定义在R上的奇函数，且f(1)＝1. (1)求a，b的值； (2)用定义法证明f(x)在[2，6]上的单调性，并求出在[2，6]上的最大值和最小值． (1)解：根据题意，函数f(x)＝是定义在R上的奇函数， 则必有f(0)＝b＝0， 又由f(1)＝1，得f(1)＝＝1，解得a＝1， 则f(x)＝是R上的奇函数，符合题意． 故a＝1，b＝0. (2)证明：由(1)可知f(x)＝， 设2≤x1＜x2≤6，则f(x1)－f(x2)＝－＝， 由2≤x1＜x2≤6，得f(x1)－f(x2)＞0， 则函数f(x)在区间[2，6]上为减函数， 则f(x)max＝f(2)＝，f(x)min＝f(6)＝. 分级三　素能创新 18．函数y＝[x]的函数值表示不超过x的最大整数，例如，[－3.5]＝－4，[2.1]＝2.则对于函数f(x)＝|x－[x]|，有下列说法：①f(x)的值域为[0，1)；②f(x)是以1为周期的周期函数；③f(x)是偶函数；④f(x)在区间[1，2)上是单调递增函数．其中，正确的说法序号为________． 答案：①②④　解析：当x∈[n，n＋1)(n∈Z)时，[x]＝n，f(x)＝|x－n|＝x－n，所以f(x)∈[0，1)，故①④正确；当x∈[n，n＋1)时，x＋1∈[n＋1，n＋2)，[x＋1]＝n＋1，f(x＋1)＝|x＋1－[x＋1]|＝|x＋1－(n＋1)|＝|x－n|＝f(x)，故②正确；f(－)＝＝，f()＝＝，所以③错误． 学科网（北京）股份有限公司 $$