分级练(6)　均值不等式及其应用（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

分级练(6)　均值不等式及其应用 分级一　提能强化 1．已知f(x)＝，则f(x)在上的最小值为(　　) A． B． C．－1 D．0 D　解析：f(x)＝＝x＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＝，即x＝1时取等号．又1∈，所以f(x)在上的最小值是0. 2．已知正数a，b满足a2＋b2＝13，则a的最大值为(　　) A．6 B．8 C．4 D．16 B　解析：∵a2＋b2＝13，∴a≤＝＝8，当且仅当a＝时，等号成立，∴a的最大值为8. 3．(2025·重庆南开中学模拟)若实数x，y满足：x，y>0，3xy－x－y－1＝0，则xy的最小值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 A　解析：因为3xy－x－y－1＝0，所以3xy－1＝x＋y，由均值不等式可得3xy－1＝x＋y≥2，故3xy－2－1≥0，解得≥1或≤－(舍)，即xy≥1，当且仅当x＝y＝1时，等号成立，故xy的最小值为1. 4．(2025·山东临沂模拟)在下列各函数中，最小值等于2的函数是(　　) A．y＝x＋ B．y＝sin x＋(0<x<) C．y＝ D．y＝ex＋－2 D　解析：对于选项A，当x>0时，y＝x＋≥2 ＝2；当x<0时，y＝x＋≤－2，故A不合题意；对于选项B，由于0<x<，因此0<sin x<1，函数的最小值取不到2，故B不合题意；对于选项C，函数的关系式可转化为y＝＝＋≥2，但＝无实数解，即等号不成立，故C不合题意；对于选项D，y≥2－2＝2，当且仅当ex＝，即x＝ln 2时，等号成立，故D正确． 5．(多选)(2024·山东烟台三模)已知a>0，b>0且4a＋b＝2，则(　　) A．ab的最大值为 B．2＋的最大值为2 C．＋的最小值为6 D．4a＋2b的最小值为4 BC　解析：因为2＝4a＋b≥2＝4，所以ab≤，当且仅当a＝，b＝1时，等号成立，故A错误； 因为4a＋b≥4， 所以8a＋2b≥4＋4a＋b＝(2＋)2， 即(2＋)2≤4，2＋≤2，当且仅当a＝，b＝1时等号成立，故B正确； 由4a＋b＝2得a＝－，所以＋＝＋－， 因为＋＝(4a＋b)＝≥＝， 所以＋＝＋－≥－＝6，当且仅当a＝b＝时，等号成立，故C正确； 令a＝，b＝，则4a＋2b＝4＋2＝2×4<4，所以4a＋2b的最小值不是4，D错误．故选BC. 6．(2024·山东济南三模)已知正实数a，b满足ab＝4，则＋的最小值为________． 答案：3　解析：由题设，＋≥2 ＝＝3，当且仅当b＝9a＝6时，等号成立． 所以＋的最小值为3. 分级二　知能探究 7．(2025·湖北模拟)已知实数a，b满足a＋b＝ab(a>1，b>1)，则(a－1)2＋(b－1)2的最小值为(　　) A．2 B．1 C．4 D．5 A　解析：由a＋b＝ab(a>1，b>1)得a＋b－ab－1＝－1，因式分解得(a－1)(b－1)＝1，则(a－1)2＋(b－1)2≥2(a－1)(b－1)＝2，当且仅当a＝b＝2时，取得最小值． 8．司机甲、乙加油习惯不同，甲每次加定量的油，乙每次加固定钱数的油，恰有两次甲、乙同时加同单价的油，但这两次的油价不同，则从这两次加油的均价角度分析(　　) A．甲合适 B．乙合适 C．油价先高后低甲合适 D．油价先低后高甲合适 B　解析：设甲每次加m L油，乙每次加n元钱的油，第一次加油x元/L，第二次加油y元/L.甲的平均单价为＝，乙的平均单价为＝，因为x≠y，所以＝>＝1，即乙的两次平均单价低，乙的方式更合适． 9．(2025·山东日照模拟)设x>－1，y>0且x＋2y＝1，则＋的最小值为________．　 答案：　解析：因为x>－1，y>0， 所以x＋1>0，>0，>0， 因为x＋2y＝1，所以x＋1＋2y＝2， 所以＋＝(x＋1＋2y)＝(3＋＋)≥， 当且仅当＝，即x＝2－3，y＝2－时，取得最小值． 10．一批货物分别随17列货车从A市以v km/h的速度匀速直达B市，已知两地间铁路线长400 km，为了安全，两列货车的间距不得小于 km，则将这批货物全部运到B市，最快需要________h. 答案：8　解析：设将这批货物从A市全部运到B市需t h， 则t＝＝＋≥2＝8，当且仅当＝，即v＝100时，等号成立， 所以将这批货物全部运到B市，最快需要8 h． 分级三　素能创新 11．(多选)三元均值不等式：“当a，b，c均为正实数时，≥，即三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．”利用上面结论，判断下列不等式成立的有(　　) A．若x＞0，则x2＋≥3 B．若0＜x＜1，则x2(1－x)≤ C．若x＞0，则2x＋≥3 D．若0＜x＜1，则x(1－x)2≤ AC　解析：对于A，x＞0，x2＋＝x2＋＋≥3＝3，故A正确；对于B，因为0＜x＜1，所以1－x＞0，x2(1－x)＝x·x·(2－2x)≤()3＝，故B错误；对于C，x＞0，2x＋＝x＋x＋≥3＝3，故C正确，对于D，因为0＜x＜1，所以1－x＞0，x(1－x)2＝×2x(1－x)·(1－x)≤()3＝，故D错误．故选AC. 12．(2024·北京卷)已知(x1，y1)，(x2，y2)是函数y＝2x的图象上不同的两个点，则下列正确的是(　　) A．log2< B．log2> C.log2<x1＋x2 D．log2>x1＋x2 B　解析：因为(x1，y1)，(x2，y2)为函数y＝2x的图象上两个不同的点，所以y1＝2x1，y2＝2x2，且x1≠x2，则2x1≠2x2，所以y1＋y2＝2x1＋2x2>2＝2，所以>>0，所以log2>log2＝，故选B. 学科网（北京）股份有限公司 $$