(九)曲线与方程，圆锥曲线的应用-【衡水金卷·先享题】2024-2025学年高二数学选择性必修1同步周测卷（新高考湘教版）

① 网，解答题本题共3小题，共8分。解容风写出必要的文字说明，正明过程或消算步露) 13,本小题清分20.分) 11,(本小题满分13分) 概团具有如下光学性质：从椰图的一个焦点发出的完线射向桶圆上任一点，经桶圆 已知两个定点A(一2,0)A(2,0),动点M清足直找MA:与直线MA的斜率之 反射后必经过另一个焦点.已知从椭圆C:号+芳=1(>>0)的左焦点F发出的 积为定值四（和<D),求动点M的轨迹曲线C的方程，并说明随m变化时，曲线C的 形状. 光线，经过两次反射之后回到点下，且光线经过的路程为8，椭网C的离心率为2 (1)求精圆C的标准方程： 《2)若精国C的右衡点为A,上厦点为B,动直线（交椭圆C于P,Q两点，且的终消 足OP⊥OO为坐标原点)，过点O作OM⊥PQ于点M,求Mi·M正的最大值. 12.(本小题满分15分) 已知曲线C上任意一点Px:)满足方程√x+)+了一√/r-+y -2. (1)求由找C的方程： (2)若过点(3,0)的直线与曲线C在y轴右侧交于点E,F,求线段EF的中点G的 轨迹方程. 数学（涌教服}头择性企修第一西第3真「共4页引 衡水会幕·究草最·喜二回步丽测卷九 监学（湘較极！选择性必修第一研第4页共4西引高二周测卷 ·数学（湘教版）选择性必修第一册· 高二同步周测卷/数学选择性必修第一册（九） 品题要素一览表 注： 1,能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力下，空间想象能力V.数据处理能力 T.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理 ③数学建模①直观想象⊙数学运算①数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 (主题内容) ②③ ④ 档次系数 1 选择题 5 由方程研究曲线的对 称性 易 0.80 2 选择题 利用方程确定曲线 形状 易 0.72 求两直线交点的轨迹 3 选择题 方程 易0.70 4 选择题 5 抛物线的实际应用 中 0.55 5 选择题 5 椭圆的实际应用 中 0.45 6 选择题 几何法求轨迹方程 中 0.30 7 选择题 6 对曲线与方程概念的 易 理解 0.75 8 选择题 6 抛物线的光学性质 中 0.35 9 填空题 参数法求轨迹方程 易 0.71 10 填空题 5 双曲线的实际应用 0 0.45 解答题 由直线的斜率求轨迹 13 0.60 方程 12 解答题 15 相关点代入法求轨迹 0.45 方程 中 13 解答题 20 椭圆的光学性质及 难 0.28 应用 香考答案及解析 一、选择题 x十xy十y2=1,得x2-xy十y≠1，所以曲线x十 1.C【解析】将点(x,一y),(一x,y)分别代入曲线 xy十y2=1不关于x轴和y轴对称，故AB错误：将 ·35· ·数学（湘教版）选择性必修第一册· 参考答案及解析 点(-x,一y)代入曲线x2十xy+y2=1,得x2十xy十 错误：直线：与直线x=一1相交于点D(一1，y), y=1,所以曲线x2+xy+y2=1关于原点对称，故C 所以直线OD的斜率为kw=一，又直线OA的斜 正确，D错误.故选C, 率kan=兰=兰=是=一，所以hD=ko,所以A, 2.B【解析】由题可得x=一|y一1≤0，当y≥1时， a yi y x十y-1=0,即y=-x十1，在区间（一oo,0]上单调 4 递减：当y<1时，x十1一y=0,即y=x十1，在区间 O,D三点共线，故C正确：直线l41与：间的距离d= (一∞，0]上单调递增，B选项符合题意，故选B |y1一3|=W√(y1+为)-4yy=√16t+16≥4， 3.A【解析】由直线l1,:的方程可得x一1=my,1 当t=0时，d取最小值4，故D正确.故选ACD. y=mx,所以x一r=mxy,y-y=mxy,所以x2-x 4 =y一y,即x2十y一x一y=0.故选A x=-1 4.A【解析】如图，AB为水面宽，BC为拱顶离水面的 高度，故|AB|=24.|BC|=12,故B(12,12).设 抛物线的方程为x=一2y(p>0),则144=一2p× (一12)，解得p=6,故焦点坐标为(0，一3).故选A 三、填空题 9号+y=1 【解析】令x=√cos,y=sin,所以 后=cos,y=sin0,故（方 +y'=cos'0+sin'0= 5,D【解析】设椭圆方程为二 方=1(a>6>0),根 1.即号+y=1. 器题意得a一(=R十无a十c=R十品解得a 10.7a 【解析】该塔筒的轴截面如图所示，以塔筒的 R=高R,故离心素=-六放选D 最细处所在直线为x轴，其垂直平分线为y轴建立 6.C【解析】由题可知圆心C(m,2),半径r= 平面直角坐标系， √m十I,设切点P的坐标为P(x,y),由切线的性质 可知OP12=OC-PC,因为|OP12=x2+y, 1OCP=m十4，PC中=r2=m十1，所以点P的轨 迹方程为x2十y=3.故选C. 二、选择题 7,BC【解析】根据题意，曲线C上的点的坐标都是方 程F(x,y)=0的解，故曲线C上的点都在方程 F(xy)=0的曲线上，故C选项正确：但以方程 F(x,y)=0的解为坐标的点不一定在曲线C上，举 出反例：曲线C是圆心为(0,0)，半径为1的圆位于 x轴上方的部分，则曲线C上的点的坐标是方程 设双曲线的方程为后一若=1a>0.b>0),山题意 x+y=1的解，但以x2十y=1的解为坐标的点 (0,一1)不在曲线C上，故D选项错误：由D选项的 可知双曲线的离心率=√十（名）=3，所以b 反例可知方程F(x,y)=0的曲线不一定是曲线C, 故A选项错误，B选项正确.故选BC 2a,所以双前线的方程为号一总=1，即8r 8.ACD【解析】由抛物线的光学性质可知，直线AB y=8a,因为上底直径为6cm,下底直径为8cm, 过抛物线的焦点F(1,0),设直线AB的方程为x 高为8cm,所以设双曲线过点(3，m),(4,m一8)， 1 +1.联立{，得y一4y二4=0.4= 则/72-m=8a 2 16(r+1)>0,所以y=-4:y十=4t,所以 128-(m-8)2=8a,解得 a=⑤7 ,则塔筒 8 =兰·兰=1，故A正确若点A(a)关于工 轴对称的点在直线上，则y:=一2，所以|y|= 最细处的直径为2a=西 em. |y|=2,即n|=2,不一定成立，故不合题意，故B ·36. 高二周测卷 ·数学（湘教版）选择性必修第一册· 四、解答题 (2)法一：由题可知A(2,0),B(0√5)， 11.解：设动点M(x,y),x≠±2， 当直线1的斜率为0时，点P,Q关于y轴对称， 依题意有中2‘产2平(m<0) (3分) 由OP⊥0Q,可得直线1的方程为y=±22I 7 整理得听-兰=1(m<0), 则M(0,±2)： (8分) 7 所以动点M的轨迹曲线C的方程为二 ￥=1 771 当直线1的斜率不为0时，设直线1的方程为x=my (x≠±2，m<0). (6分) +t,P(xy),Q(xg+y）, 当m∈（一4,0）时，曲线C是焦点在x轴上，且不包 (x=my十t 含A,A:两点的椭圆： (8分) 当m=一4时，曲线C是圆心为(0,0)，半径为2，且 联立+苦- 不包含A,A:两点的圆： (10分) 整理得(32+4)y十6ty十3t-12=0, 当m∈（一∞，一4）时，曲线C是焦点在y轴上，且不 △=(6t)2-4(3m十4)(3P-12)=48(3m°一t 包含A,A2两点的椭圆. (13分) 十4)>0， 12.解：(1)设F1(-√3,0)，F(W3,0) 则十%=-新号 -6t (10分) 由√（红+3）+y-√(x-3)+y=2, 因为OP⊥OQ,所以OP.O0=0, 可得|IPF|-|PF:|I=2<|FF:|=2W3. 所以x1x+yy=(my十t)(mM十t)+y (4分) =(m+1)y为+t(y+y:)十 所以曲线C为以F,F:为焦点的双曲线，且实轴长 3E一1g十m·3m+4 =(m+1)·3m+4 一6nt +=0, 为2，焦距为25， 故曲线C的方程为-兰-1. 化简得7产=12(m2+1), (12分) (7分) 又OM⊥PQ, (2)设点E(x1),F(xgy),G(x,y） 则点O到直线PQ的距离为|OM|= 则-兰=1-艺- (少一当)（十边） 度=2I (14分) 两式作差得（红1一西）（十）一 7 12 =0. (9分) 设M(x,y),则x8十=气 又点G为线段EF的中点， 所以x=十至 所以点M的轨迹是以点O(0,0)为圆心，2四为半 2 2,y=十 2 所以2x(x-x:)一y(y1一4)=0. (10分) 径的圆， 由题意可知直线EF的斜率不为0， MA·MB=(2-x,-y)·(-x3-) 当直线EF的斜率存在且不为0时，易知点G的横 =xi-2x6十y-√3y 坐标x>3, 所以红=业二业=y-0, =x-1+(-号)-子 yx一xx-3 即2x2-6x-y=0(x>3): (12分) 表示点M与点(1，)的距离的平方，减去子的差， 当直线EF的斜率不存在时，G(3,0), (13分) (16分) 综上，点G的轨迹方程为2x2-6x-y=0(x≥3). (15分) 因为点00,0)与点(1，号)的距离为 2 13.解：(1)由椭圆的光学性质可知，光线经过的路程为 4a=8, 所以点M与点(1，)的距离的最大值 解得a=2, (3分) 又由椭圆C的离心率为宁， 为妈+2 可得==子： 则·的最大值为（+2）广-子 所以c=1, (5分) 号+2 (20分) 所以6=a2-c2=4-1=3, (6分) 故椭调C的标准方程为子+号=1 法二：由题可知A(2,0),B(0,√3)， (7分) 当直线1的斜率为0时，点P,Q关于y轴对称， ·37✉ 由OP⊥OQ,可得直线1的方程为y=±2四 7 √停-2 7 则M(0,±2)： (8分) 7 设M%),则x+= 7 当直线1的斜率不为0时，设直线（的方程为x 所以点M的轨迹是以O(0,0)为圆心，2T为半径 y十t,P(x1·y1),Q(xy2) 7 (r=my十t 的圆。 (14分) 联立+芳= 令n=2 7 ,设M(rcos0,rsim0),9e[0.2π)， 整理得(3m2十4)y2+6mty十3r-12=0, 所以MA·Mi=(2-rocos0,-r%sing)· △=(6mt)3-4(3m2+4)(3-12)=48(3m2-2 十4)>0. (-6os8w5-sn0)=号-2os0-5rs如0 则为十为一号 -6mt (10分) -号-疗·源(0+g)≤号+2万 因为0P10Q,所以O市.O成=0， 所以x1x十yy=(my十t)(my十t)十y为 (其中mg2): (18分) =(m2+1)yy十mt(y+)十t =(m+1…m·+r-0, 当且仅当+p=受am0=am(受9）=g 化简得7t=12(m2+1), (12分) 号时，取等号， 又OM⊥PQ, 故M,M的最大值为号+25。 (20分) 则点O到直线PQ的距离为|OM1= √1+m