(三)数列综合-【衡水金卷·先享题】2024-2025学年高二数学选择性必修1同步周测卷（新高考湘教版）

高二周测卷 ·数学（湘教版）选择性必修第一册· 高二同步周测卷/数学选择性必修第一册（三） 命题要素一览表 注： 1,能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力下，空间想象能力V.数据处理能力 T.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模①直观想象⑤数学运算①数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 (主题内容) ① ② ③④⑤ 档次系数 1 选择题 5 数学归纳法的概念 易 0.80 2 选择题 5 分组求和法求和 易 0.72 3 选择题 5 数学归纳法的原理 易 0.70 4 选择题 5 倒序相加法求和 中 0.55 等比数列与基木不等 5 选择题 5 0.45 式的综合 么 6 选择题 5 等比数列的应用 中 0.30 7 选择题 6 数学归纳法的理解 分 0.68 8 选择题 分组求和法 难 0.28 9 填空题 并项求和法 中 0.55 10 填空题 5 数列的实际应用 中 0.35 11 解答题 13 数列的通项及前n项 和，证明不等式 中 0.60 12 解答题 15 等差数列的证明，错位 相减法求和 % 0.35 13 解答题 20 数列与不等式的综合 0.28 香考管案及解析 一、选择题 1.A【解析】因为n为正奇数，所以第二步归纳假设应 (3+安)+(5+)+(+安)++(2-1+》 写成：假设n=2k-1(k∈N”)成立，再推n=2k十1成 立.故选A. =心十1-.故选A 2.A【解析】数列1名3十5名7…的通项公 3D【解折】因为f(n)=1十子十号十…十，所以 式为a,=2m-1+(分)，所以S.=(1+)+ f)=1+号+吉十十安，共2项f+1)=1 ·9 ·数学（湘教版）选择性必修第一册· 参考答案及解析 +合十片十+十2十…十点，共2项， 1 所以S=38X(38+2)X(2X38-1业=9500，故D 12 所以f(k+1)比f(k)共增加了2+1-2=2项.故 正确：当n为奇数时，S,=S+1一a+1= 选D, (n+1)(n十3)(2n+1)1 4.C【解析】根据等比数列的性质及a1as=1,可得 12 (n+1)= aa,=1,即a=、”fx)=中7 (m-1)(n+1)(2m十3)，所以S。= ao2- 12 )+/()=+=结 19-1)×(19+1)×(2×19+3)=1230,故C错 1十x =4,令 12 误.故选ABD. T=f(a1)十了(a)+…十f(at),则T= 三、填空题 f(a:2s)+f(a:gt)十…十f(a1),∴.2T=f(a1)十 9.一2【解析】因为a.=(-1)”(3n一1)，所以Sw= f(a:)十f(a:)+f(a2o:)十…+f(a:s)十 (-2)+5+(-8)+11+…+(-56)十59= f(a)=4×2025,.T=4050.放选C (-2+5)+(-8+11)+…+(-56+59)=3×10 5.B【解析】设正项等比数列(a,}的公比为q,由题意 =30,则S:=S+a1=30-62=一32，故S。十 可得(2a1)'=a.·aw,即2ai=a1-1·a11,得 S21=-2. 10,10【解析】由题意设每个月的收入为数列{a.},其 =2,则+=3,所以品十-号（+ 前n项和记作S。,前6个月的收人成等比数列，且公 ·(m十n)= 合(1+”+”+4)≥÷(5+ 比为号，第7个月开始收入成等差数列，公差为2， 2√层·把)=3，当且仅当品=”，即m=1,m=2 则S. 20×[1-()] 100×() 100≈ 时等号成立，所以品十一的最小值为3.放选B 1-号 6.B【解析】设每年应该存入x万元，则2024年年初 198.6,又a,=a.+2=20×(号) +2≈51.76，则 存人的钱到2031年年初本利和为x(1+2%)?,2025 a=53.76,a,=55.76,a。=57.76,所以S≈ 年年初存入的钱到2031年年初本利和为 198.6十51.76+53.76+55.76=359.88，S6=5十 x(1十2%)“，…，2030年年初存入的钱到2031年年 a1a=417.64>400,所以该企业用所得收入偿还400 初本利和为x(1十2%)，则x(1+2%)十x(1+2%) 万元的无息贷款只需10个月. +…十x（1+2%)7=40,即1.02x-L022=40. 四、解答题 1-1.02 11.解：(1)设数列{a.}的公差为d,d≠0， 解得x≈5,3，枚选B. ∴.a.=1十(n1)d, 二、选择题 .a4=3d+1,a4=5d+1,a=8d+1, (3分》 7.ABC【解析】对于A,若f(3)≥9成立，由题意只 aa6a,成等比数列， 可得出当k≥3时，总有∫(k)≥k成立，故A错误： ∴.(5d+1)=(3d+1)(8d+1), 对于B,若∫(5)≥25成立，则当k≥5时，总有 即d-d=0, f(k)≥k2成立，故B错误：对于C,因为∫(7)<49 解得d=1或d=0(舍)， (6分) 不满足题设条件，所以不能得出相应结论，故C错误； .an=. (7分) 对于D,若f(4)=25>16成立，则当k≥4时，总有 (2)由(1)可知a.=n, 「(k)≥k2成立，故D正确.故选ABC. S.=(n十1) (8分) 8,ABD【解析】由题意可知当n为奇数时，a。= 2 子D=2(日)： 1 2 是（矿一1）：当n为偶数时，4=之，当m=20时， (10分) aw=号×20=20，故A正确：当N=39时，an= 号×(39-1)=760，故B正确：当n为偶数时，S, 点)=21-)2 (13分) 号×1-10+号×2+号×(3-1)+…+ 12.解：(1)因为数列{a。}的前n项积为b., (n≥2)： 2[m-1-1]+合m=2×1+2++m) 所以a.一。一 -”=n(n+1)(2m+1)-”=n(n+2)(2n-12 12 4 12 化简可得b.一b-1=2(n≥2)： (3分) ·10✉ 因为b=a1· 因为2>0，-2号<0， 放当=1时，层十合=1部得么=3， (5分) 所以不存在奇数n满足2=一2宁 (6分)】 所以{b}是首项为3，公差为2的等差数列.(7分) 综上所述，不存在正整数n,使得a.=a+1十a+成 (2)由(1)可得b.=3+2(n一1)=2n十1， (8分) 立. (7分) 所以c.=b-1=2·2-1十1=2"+1， (2)由题意可得a.=2↓。 (8分)】 故n(c.一1)=n·2", (10分) 则Sw=a1十ae十…十am 令数列《n(c。一1)}的前n项和为T。, =(a1十a十…十am-1)十(a:十a4十十agm) =(1十3十…十2n-1)十(2十2十…十2-1) 则T.=1X2+2×2+3×2+…+n·2①， 2T.=1×22+2×2+3×2+…+(n-1)·2+n =n1+(2m-1)]+1-2 2 +1-2=n+2-1.(13分) ·2+1②. Sm>aaw,即n2+2-1>入·2-1， 由①-②得-T.=2+2+23++十2"-n·2+1 =(1-m)·2+1-2, (14分) 即<”十2”-」 2 (15分) 所以T.=2十(n-1)·2+ (15分) 13.解：(1)假设存在正整数n,使得a。=a+1十a+, 令6=”+2-1 2 当”为偶数时， 则64-6=n+1)+21-1m2+2-1 因为a+:=a。一a+1,所以2宁=2宁-n-1. 2+1 2=1 即-21-1=n十1 =二(n-1)2+3 2 因为-2号1<0，n十1>0， 当n≥3时，b1一b.<0:当1≤n≤2时，b+1一b.> 所以不存在偶数n满足一2分1=n十1： (3分) 0, (18分) 当n为奇数时， 故当n=3时，b.取得最大值b,=4 因为a+=a一a+1,所以n十2=n-2早， 故1∈(-四，4). (20分) 即2=-2早.① 粒学（涵教服}选择性企修第一面第1夏「共4面引 衡水会幕·究草要·商二同步两测卷耳 监学〔湘较极引选择性必修第一研第2页{共4西引 网，解答题（木题共3小题，共48分。解答风写必要的文字说明，正明过程或前算步露） 11.(本小题满分13分) 已知数列{从.1是公差不为0的等差数列，=1，且，a4.@:成等比数列. 1)求数列4.的通项公式： 《②记数列的衡现程为5证明：写名…叶十气<2 12.(本小圈满分15分) 已知数列a,的能项积为五，且是+1-L, (1)证明：{从是等差夏列： 〔2)从{d)中依次取出第1项，第2项，第4项，，第2'项，按原来顾序组成一个 新数列(.，求数列((C.一1)1的前#项和， 数学（涵教版}选择性企修第一面第3夏「共4面1 衡水会幕·先享题· 13,木小题满分20.分) 已知数列a的前n项和为5.，且4.2一，。为得要 (1是否存在正整数n,便得4。一。1十藏立！若存在，求出r的值：若不存在。 请说明理山： 《2)若存在正整数n,使得S,>Aa.成立，求实数a的取值范同 离二同步丽测花三 监学〔湘较极引选择性必修第一研第1面{共4面引