第一章数列（期中知识清单）高二数学上学期湘教版

第一章 数列　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 数列的概念与表示 1.1 数列的定义 按照一定顺序排成的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项。 排在第一位的数叫作数列的首项，或叫作数列的第 项；排在第二位的数叫作数列的第 项；…；排在第 位的数叫作数列的第 项。所以数列的一般形式可以写成 简记为 。 示例：正整数 组成一个数列，其中 是首项， 是第 项，简记为 。 1.2 数列的分类 项数有限的数列称为有穷数列；项数无限的数列称为无穷数列。 示例： 是有穷数列； 是无穷数列。 1.3 数列与函数的关系 数列可以看成以正整数集 （或它的有限子集 ）为定义域的函数 ，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值 。 注意：数列是一种特殊的函数，它的自变量 只能取正整数（或前 个正整数）。 1.4 数列的通项公式 如果数列 的第 项 可以用关于 的一个公式表示，那么这个公式就称为数列 的通项公式。从函数的观点看，数列的通项公式就是数列的解析表达式。 示例：数列 的一个通项公式是 。 注意：根据数列的前若干项写出的通项公式不一定是唯一的。 1.5 数列的递推公式 如果数列 的任一项 与它的前一项 之间的关系可用一个公式来表示，即 那么这个公式就叫作数列 的递推公式（ 称为数列 的初始条件）。 示例：由 且 ，可得 ，，…，数列为 。 注意：由递推公式和初始条件可确定数列 ，这是表示数列的一种重要方法。 1.6 数列的单调性 一般地，对于一个数列 ： · 如果从第 项起，每一项都大于它的前一项，即 ，那么这个数列叫作递增数列； · 如果从第 项起，每一项都小于它的前一项，即 ，那么这个数列叫作递减数列； · 如果从第 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，那么这个数列叫作摆动数列； · 各项都相等的数列叫作常数列。 示例：数列 是递增数列； 是递减数列； 是摆动数列； 是常数列。 2. 等差数列 2.1 等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数，那么这个数列称为等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，公差通常用字母 表示。 示例：数列 中，从第 项起每一项与前一项之差都等于 ，所以它是公差 的等差数列。 2.2 等差数列的通项公式 一般地，如果数列 的首项为 ，公差为 ，那么等差数列 的通项公式是 示例：首项 、公差 的等差数列，通项公式为 ，第 项 。 2.3 等差中项 三数成等差数列的充要条件是 。 在两个数 之间插入数 ，使 成等差数列，则 称为 与 的等差中项。 示例：由 知， 与 的等差中项是 ，因为 成等差数列。 2.4 等差数列与一次函数的关系 等差数列 的通项公式 可变形为 ，它是关于 的一次式（ 时）。 当 时，等差数列的通项公式对应一次函数 ，等差数列的图象是这条直线上横坐标为正整数 的孤立点 ；当 时， 为常数，数列是常数列。 示例：等差数列 的图象是直线 上横坐标为正整数的孤立点。 2.5 等差数列的前 项和 设等差数列 的前 项和为 ，即 等差数列 的前 项和公式为 又因为 ，所以上述公式又可以写成 示例：求 ：。 注意：第一个公式可由首项、末项和项数唯一确定；第二个公式可由首项、公差和项数唯一确定。 3. 等比数列 3.1 等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数，那么这个数列称为等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母 表示（）。 示例：数列 中，从第 项起每一项与前一项之比都等于 ，所以它是公比 的等比数列。 3.2 等比数列的通项公式 一般地，如果数列 的首项为 ，公比为 ，那么等比数列 的通项公式是 示例：首项 、公比 的等比数列，通项公式为 ，第 项 。 3.3 等比中项 非零实数 成等比数列的充要条件是 。 在两个数 之间插入数 ，使 成等比数列，则 称为 与 的等比中项。 示例：由 知， 与 的等比中项 满足 ，所以 。 注意：两个正数的等比中项有两个，互为相反数。 3.4 等比数列与指数函数的关系 当公比 且 时，等比数列 的通项公式 ，可以看成非零常数 与指数函数 的乘积；等比数列的图象是指数型函数 的图象上横坐标为正整数 的孤立点 。 示例：等比数列 的图象是函数 的图象上横坐标为正整数的孤立点。 3.5 等比数列的前 项和 设公比为 的等比数列 的前 项和为 。等比数列 的前 项和公式为： 当 时， 当 时， 又因为 ，所以当 时，上述公式又可以写成 示例：等比数列 的前 项和 。 注意：用等比数列前 项和公式求和时，必须先判断公比 是否为 。 4. 数学归纳法 4.1 数学归纳法的两个步骤 在证明一个与正整数有关的命题时，可采用下面两个步骤： 1. 证明 时命题成立； 1. 假设 时命题成立，证明 时命题也成立。 只要完成这两个步骤，就可以知道：对任何从 开始的正整数 ，命题成立。 这种证明方法叫作数学归纳法。 注意：数学归纳法的两个步骤缺一不可：第一步是证明的基础，第二步是证明的递推。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 等差数列通项公式的推广 等差数列 中，从第 项到第 项有 ，即 。 【使用提醒】用 求公差时，前提是 确为等差数列。 1.2 等比数列通项公式的推广 等比数列 中，，即 。 1.3 等差数列的”下标和相等”性质 等差数列 中，若 ，则 ；特别地，当 时，。 1.4 等比数列的”下标和相等”性质 等比数列 中，若 ，则 ；特别地，当 时，。 1.5 与 的关系 数列 的前 项和为 ，则 ，且 。 【使用提醒】用 求通项后，必须单独检验 是否满足所得式子，不满足时分段书写。 1.6 等差数列的代数特征 数列 是等差数列的充要条件是其通项 是关于 的一次式（）或常数（），即 ；其前 项和 是关于 的二次式且无常数项，即 。 1.7 等差数列的单调性判定 公差 时 递增， 时递减， 时为常数列。 1.8 等比数列的单调性判定 设等比数列 首项 ，公比 ：当 时， 则递增、 则递减；当 时， 则递减、 则递增； 时为常数列。 时为摆动数列。 1.9 等差数列的”片段和”性质 等差数列 中，，， 也成等差数列。 1.10 等比数列的”片段和”性质 等比数列 中，，， 也成等比数列。 【使用提醒】等比数列片段和成等比的结论，要求各片段和均不为 （如公比 时 便不成立）。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 等差数列”基本量法” 设出首项 与公差 ，由已知条件列出关于 、 的方程（组），解出后代入通项公式或求和公式求其余量。如已知 ，：，解得 ，。 2.2 等比数列”基本量法” 设出首项 与公比 ，由已知条件列出关于 、 的方程（组）求解。两式相除可消去 直接求 。如已知 ，：，得 ，。 2.3 由 与 关系求通项 先由 写出通项，再检验 （）是否吻合，决定是否需要分段。如 ：，，检验得 也满足 ，故通项为 。 2.4 等差数列前 项和的最值 由 化为关于 的二次式，配方或利用对称轴求最值；也可由 与 （或反之）的临界项确定最值位置。如 ： 得 ，故 最大。 2.5 判断一个数列是否为等差（等比）数列 用定义判断：检验 是否为与 无关的常数（等差），或 是否为与 无关的非零常数（等比）。如 ，，故为等差数列。 3. 运算与判断小技巧 技巧 要点 示例 下标和相等速算 等差看”和”： 则 ；等比看”积”： 则 等差 中 等差中项转化 三个数成等差数列，中间数是两端数的等差中项：设 ，， 三数可简化运算 三数之和为 的等差数列可设 ，， 等比中项转化 三个数成等比数列，中间数的平方等于两端数之积 ，， 成等比，则 通项公式看单调性 等差看公差 的正负；等比看公比 与首项 的符号 中 ，递减 前 项和看结构 等差 是 的二次式且无常数项；等比 （） 对应等差数列 4. 常见考试模型 4.1 平均增长率 / 下降率模型 公式：基数 每年增长率为 ， 年后为 ；下降率则用 。逐年产值构成公比 （或 ）的等比数列。 限定：下降率须 ；增长率 。 示例：如某厂年产量以 递增， 年后为原来的 倍。 4.2 复利 / 储蓄模型 公式：本金 ，年利率 ，按复利计息 年后本利和 ；分期增长（如每年存 元）则用等比数列求和。 限定：， 为正整数。 示例：如本金 元、年利率 、存 年，本利和 。 4.3 等差数列求和的实际应用 公式：形如”每排比前一排多（少）固定个数”“每天比前一天多（少）固定量”的问题，总数用等差数列前 项和 。 限定：项数 、公差 由题意确定，结果为非负整数。 示例：如看台 排、每排比前一排多 座、首排 座，总座位 。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：由 求 ，漏掉对 的检验 典例：已知数列 的前 项和 ，求数列 的通项公式。 错解：因为 ，所以 。 正解：当 时，；当 时，。检验：，即 时的式子对 不成立。所以 。 原因：忽略关系式的成立范围。 只在 时成立，因为 时 没有意义。学生习惯性地直接相减，跳过”首项单独求”这一步。凡由 求 ，都必须先求 ，再看 所得式子对 是否也成立，不成立就分段写。 易错点 2：等比数列求和公式不讨论公比 典例：等比数列 中，，公比 ，求前 项和 。 错解：由 得 ，分母为 ，无法计算（或强行约分出错）。 正解：因为 ，数列各项都等于 ，所以 。 原因：忽略使用前提。公式 只在 时成立； 时数列是常数列，。学生只记住了公式的外形，忘了公式的适用范围，看到”等比数列求和”就套公式，没有先判断公比是否为 。凡等比数列求和，第一步都是判断 是否为 。 易错点 3：等比中项漏掉负值 典例：求 与 的等比中项。 错解：设等比中项为 ，则 ，所以 。 正解：，所以 ，即 与 的等比中项是 或 。 原因：概念理解不完整。等比中项 满足 ，开平方应取正负两个值。学生受”等差中项只有一个”的定势影响，误以为等比中项也唯一，只取正根。两个同号的数才有等比中项，且一般有两个（互为相反数）。 易错点 4：忽略等比数列”各项均不为零”这一前提 典例：若数列 满足 ，且 ，试判断 是否为等比数列。 错解：因为 ，所以 是公比为 的等比数列。 正解：由 及 递推得各项均为 ，此时 中分母为 ，比值无意义，不满足”每一项与它的前一项之比都等于同一个常数”的定义，所以 不是等比数列。 原因：忽略定义中”比”的意义。等比数列要求”每一项与它的前一项之比”都有意义，即每一项都不能为 。 且 时各项全为 ，比式无意义。判断等比数列不能只看递推式子的形式，还要确认各项非零。 易错点 5：等差数列前 项和最值的临界项处理不清 典例：等差数列 中，，公差 ，求 取得最大值时 的值。 错解：令 ，解得 ，所以 或 时 最大。 正解：。令 ，得 。所以 ，。故当 时， 取得最大值。 原因：临界项取等处理不清。 最大需满足 且 。学生由 解得 后，含糊地写” 或 “，没有结合 的正负临界具体判断—— 意味着 ，最大值只能是 。 学科网（北京）股份有限公司 $