(二)等比数列、数学归纳法-【衡水金卷·先享题】2024-2025学年高二数学选择性必修1同步周测卷（新高考湘教版）

高二周测卷 ·数学（湘教版）选择性必修第一册· 高二同步周测卷/数学选择性必修第一册（二） 命题要素一览表 注： 1,能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力下，空间想象能力V.数据处理能力 T.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理 ③数学建模①直观想象⊙数学运算①数据分析 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 分 知识点 (主题内容) ① ②③④⑤ 档次系数 1 选择题 等比中项 易 0.80 2 选择题 5 等比数列的前n项和 及性质 多 0.72 3 选择题 5 由等比数列前n项和 求参 √ % 0.65 4 选择题 等比数列的巧设 於 0.55 5 选择题 5 等比数列奇偶项的和 农 0.45 选择题 等比数列与对数运算 6 5 V 中 0.30 的综合 7 选择题 6 对数学归纳法的理解 务 0.50 8 选择题 6 等比数列的应用 难 0.28 9 填空题 5 与等比数列有关的开 放题 中 0.68 10 填空题 等比数列与平面儿何 的综合 % 0.35 11 解答题 13 数学归纳法的应用 中 0.60 12 解答题 15 等比数列的证明 中 0.40 13 解答题 20 等比数列的实际应用 v 中 0.30 香考答案及解析 一、选择题 4十8=12，因为S,S,一S,S,一S成等比数列，所以 1.C【解析】设数列{an}的公比为g,因为a=2,ae= (S-S)2=S(S,-S),即8=4(S-12),解得 8,所以a4=a24=2g2>0,且a=a2a4=16,所以 a:=4,故选C。 S-28,所以受-器-子故选A 2.A【解析】由题意得S,一S=8,所以S,=S,十8= ·5 ·数学（湘教版）选择性必修第一册· 参考答案及解析 3.D【解析】因为3S.=3十，所以S=3”十子，因 插入的第8个数为a=4W=2i=F,故A正确：插 为9≠1，所以S=4(1二g2=41 入的第1个数为4：=41q=2h,插入的第5个数为 1-q =尸。=g·4,所 a=4,4=2,则=空=2时=万，所以插人的第5 以 g1 a:2n 所以令=一1，则=一3.故选D. 3 个数是插入的第1个数的2倍，故B正确：由题得 M=1=g)=2×(1-2啦)=2-1-1 4.C 【解析】根据题意设这三个数分别为a 1-4 .a.aq 1-2方 1一2位 1 ·a·ag=27 12>4，即1 12行若M4,侧-1-1 1 2h-1 (q≠0)，则 ,解得a=3,q2=9或 +a2+ag=91 >5,即号>2h,即(g)）>2,又（号）”>1.4“> 1.9>2,所以M>4,故C正确：由题可知N=M+3, a=3,4=9,所以a=3,g=±3或a=3,9=±3 所以N=M+3>7,故D错误.故选ABC. 所以这三个数分别为1,3,9或一1,3，-9或9,3,1或 三、填空题 一9,3，一1，所以这三个数的和为13或一7.故选C 9.a.=3(答案不唯一，满足公比为3的数列均可) 5,B【解析】因为等比数列{a.)有2n十1项，所以奇 【解析】设等比数列{a)的公比为g,因为数列 数项有n十1项，偶数项有n项，设数列(a.}的公比 {3”一an》为等比数列，所以(3一a)户=(3一a)(3 为q,又a=1,所以所有奇数项的和为1十r十g十… a),即(3-a1g)产=(3-a1)(3-a1g),化简得q 十g"=1十g(g十g十g十…十-1)=85，所有偶数 6g十9=0，解得g=3,取a1=1,则a,=3 项的和为q十q+g+…十g-1=42,解得g=2,所 10,8【解析】设第n个正方形的边长为a。,则第n+1 以数列a前2a+1项的和为 -=85十42= 个正方形的边长为1=号。，所以二一号，由 127,即22+1=128，解得n=3.故选B. 6.C【解析】由题意可得64个格子放满麦粒共需 、题可知a,=2,所以数列a,》是首项为2，公比为号 写=2-1粒麦粒，因为1g麦子大的 的等比数列，所以a。=2· 2 ,设第n个正方 2000粒，所以11麦子大约2×10粒，则袋品 形的面积为5则数列(S,}是首项为4，公比为之 0-行又g器-g2-k10=63g2-7 261 2 的等比数列，所以S十S十…十S, 63×0,3一7=1.9，所以≈10，所以敢满棋盘的 64个格子所需小麦的总重量大约为10：t,故选C, 号门-[1-（传门-8-8·安所以 1- 二、选择题 当操作次数无限增大时，所有这些正方形的面积之 7.C【解折】当n=1时，之<费当n=2时，号+月 和将无限趋近于8. =是-片品，所以使不等式成立的第一个正整数 四、解答题 11.解：(1)因为a1=3,aw+1=a-2a。+2, n=2,故A错误，B正确：当n=k时，不等式左边为 所以当n=1时，a=a-2a1+2=9-6十2=5： 十中+中十十当=+1时，不等 1 1 (3分) 当n=2时，a=a-4a:十2=25-20+2=7，(6分) 式左边为中2+中十十中+中十中2 1 1 1 由此猜想数列{am}的通项公式为a,=2n十1 (n∈N). (8分) 1 两式相减得2市十2欢十2一干有= (2)用数学归纳法证明a.=2n十1(n∈N·, (2k十1)(2+2)，所以从n=大到n=k十1，不等式 1 ①当n=1时，a=2×1+1=3,等式成立；(9分) ②假设当n=k(k≥1，k∈N”)时，等式成立，即a= 2k十1， 的左边增加的式子为2h+1(2+2),故C正确，D 那么，当n=k十1时， 错误，故选BC. a+1=ai-2ka+2=(2k+1)2-2k(2k+1)+2= 8.ABC【解析】设该等比数列为{a),其公比为q,由 2k+3=2(k+1)+1, 题意可知a1=1,aa=2,则g=2,解得q=2方，所以 所以当n=k十1时，等式也成立， (12分) ·6 由①②可以断定，a.=2n十1对任意n∈N·都成立， (2)由题意可知A。是数列{a.}的前n项和， (13分) 所以A.=n(480+500-20m2=490m-10r: 12.解：(1)由a+1十an=3·2",得a+1=3·2"一am, 2 所以a.+1-2"+1=3·2"-an一2+1=-(a.-2"), (10分) (4分) B。是数列{b}的前n项和减去600， 又a-2=1, 所以B=00(1+号+1+++1+）-60 所以数列{a.一2"是以1为首项，一1为公比的等比 数列. (7分) 500 (2)由(1)可得a。一2=(-1)1， 500 600=500n 2 100 则a.=2"十(-1)-'， (10分) 1-2 所以a1=3,a:=3,a4=9, (13分) 所以a≠aa, (13分) 所以数列{a.}不是等比数列. (15分) 则B。-A.=500m- 500 -100-(490n-10n2)= 13.解：(1)由题意可知数列{a,}是等差数列，且a1= 10m2+10n- 500-100 480,d=-20. (15分) 所以a.=500-20m. (2分) 因为函数y=10x十10x-100,y=- 婴在 由题意得6=750,6+1=2b.十250， (0,十∞)上均单调递增， 1 所以6.+1一500=立(6，-500)： (5分) 所以函数y=10x2十10x 500 一100在(0，十)上 又b1-500=250. 单调递增， (17分) 所以数列私，一500}是首项为250，公比为号的等比 又n∈N,所以B。一A。单调递增， 当n≤3时.B。-A<0:当n≥4时，B。-A>0, 数列， (6分) 所以该企业至少经过4年，进行技术改造的累计纯 所以6，-500=250·（号）厂 利润将超过不进行技术改造的累计纯利润.(20分) 则6.=50+250·（）=500(1+)(8分)① 粒学（涵教服}选择性企修第一面第1夏「共4面引 衡水会幕·究草要·商二同步两测卷日 监学〔湘较极引选择性必修第一研第2页{共4西引 12,(木小题满分15分) 已细数列a.1的首项为3，且41十4.=3·2。 (1)求证：数列4.一2是等比载列： 〔2)求数列{：.的通项公式并判断数列{4}是否为等比数列. 数学（涵教版}选择性企修第一面第3夏「共4面1 13,《木小题满分20分) 某企重2023年的饨利润为500万元，因企业的设备老化等因素，企业的生产能力将 逐年下降.若不进行技术政造，面测从202年开始，此后每年比上一年纯利润减少 20万元：若进行技术改造，2024年初该企业需一次性投入资金600万元，在未扣除 技术改造资金的情况下，预计2021年的利洞为？50万元，此后每年的利润比前一年 利润的一半还多250万元，从2024年起的第？年（以2024年为第一年），记该企业 不透行技术改造的年纯利裤为“，万元，进行技术改造后，在未扣除技术改迹资金情 况下的年利润为。万元， 41求a。和6.： (2)设该全业不进行技术政造的累计纯利润为A万元，进行技术改造后的黑计纯利 阀为B。万元，依上述烦测，从024年起该仑业至少经过多少年，进行技术改造的黑 计纯利洞将超过不进行技术改造的累计礼利润？ 衡水会幕·究草最·高二同步两测卷日 监学（湘较极引选拆性必修第一研第4页{共4西引