(三)空间向量与立体几何综合-【衡水金卷·先享题】2024-2025学年高二数学选择性必修2同步周测卷（新高考苏教版）

高二周测卷 ·数学（苏教版）选择性必修第二册· 高二同步周测卷/数学选择性必修第二册（三） 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力下.空间想象能力V.数据处理能力 1.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 (主题内容) I W V ① ② ③ ⑤ ⑥ 档次系数 1 选择题 5 由线面平行求参 易 0.80 2 选择题 求向量的模长 易 0.72 选择题 利用向量的运算求参 易 0.70 选择题 利用空间向量判断四 5 中0.55 点共面 5 选择题 利用向量的运算求线 5 0.45 段长 6 选择题 5 求直线到平面的距离 0.30 选择题 6 基底的概念 易 0.70 利用空间向量解决距 8 选择题 6 0.35 离、夹角问题 的 9 填空题 5 由三点共线求参 易 0.71 10 填空題 利用空间向量求线段 长度的最小值 中 0.45 11 解答题 13 利用空间向量求点到 直线、点到面的距离 % 0.60 利用空间向量证明面 12 解答题 15 面垂直，求二面角的余 √ 中 0.30 弦值 利用空间向量证明线 13 解答题 20 面平行，求线面角的正 √ 难 0.28 弦值 ·65· ·数学（苏教版）选择性必修第二册· 参考答案及解析 香考答案及解析 一、选择题 1,D【解析】因为m∥a,所以a⊥b,所以a·b=x一2 o5音+2X2×cos受）=20，所以AC1=2v5.故 ×8+y=0,整理得x一16十y=0,即x十y=16.故 选A 选D 2.A【解析】由题意得a=b=|c=1,a·b a·c=b·c=0,所以|3a+b-2c|=√/(3a+b-2e)7 =V√9a+b+4c+6a·b-12a·c-4b·c D √⑨+1+4=14.故选A. 3.D【解析】根据题意，利用空间向量的运算法则，可 得M-0-oi=专oi+d)-产耐- 6.D【解析】因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥AB,PA 1 ⊥AC,又因为∠BAC=受，所以AB⊥AC.所以以A 所以产：子，解得=令故选 为原点，AB,AC,AP的方向分别为x轴、y轴、轴正 方向建立如图所示的空间直角坐标系， 4,B【解析】由题意建立如图所示的空间直角坐标系， D 由题意可知B(2,0,0),D(0,0,2),E(0,2,2), 则A'(1,0,1),B(1,1,0),C(0,1,1),所以BA= M(0,0,1),V(1,2,0),则D求=(0,2,0).Di= (0,-1,1),BC=(-1,0,1),设点P(.x,y,x)在平 (2,0,-2).M=(1,2,-1),Mj=(0,0,1).设平 面A'BC‘内，则由共面向量定理得，存在唯一的有序 面BDE的法向量为n=(x,y,),则 实数对（入，r),使B范=ABA产+4BC产，所以 n·DE-2y=0 x-1=λ·0十以·(-1)=-4 x=1一4 n…Di=2r-2=0令=1，得x=1y=0,所以 y-1=A·(-1)+a·0=-A,即y=1-入，对于A n=(1,0,1),因为MN·n=0,所以MN⊥m,又MN 2=A·1十4·1=λ十4 =入十以 在平面BDE,所以MN∥平面BDE,所以直线MN 项，代入点坐标（号，号，号），无解，放八错误：对于 到平面BDE的距离即为点M到平面BDE的距离， 所以直线MN到平面BDE的距离为M市·n=是 B项，代入点坐标（俘，是，专），可解出 √2 ,故B =4 一号散选D 正确：对于C项，代人点坐标（侵，，），无解，故 二、选择题 7,ACD【解析】由题意得|a=|b|=|c=1,a·b C错误：对于D项，代人点坐标（一1.三1），无解，放 =a·c=b·c=0.对于A项.|a+b|=√2|c|=√2. D错误.故选B. 故A正确：对于B项，因为a一b+b十c=a十c,所以 5.A【解析】由题意可得AC=(AB+AD+AA) 《a一b,b十c,a+c}不能构成空间的一个基底，故B 错误：对于C项，(a十b)·(a十c)=a=1.故C正 =AB+AD+AA+2(AB·AD+AB·AA+ 确：对于D项，因为不存在唯一的实数对(x,y),使 A市.AA)=4+4+4+2×(2×2×c0s受+2x2× 得x(a-b)十y(b十c)=a-c,所以{a一b,b十c,a- c}构成空间的一个基底.故D正确.故选ACD. ·66 高二周测卷 ·数学（苏教版）选择性必修第二册· 8.BCD【解析】由题意可知CQ=C范+B破=-AD+ 中点，即PA⊥BD,PC⊥BD, 2BA--AD+2 (AA-AB)=-2 AB-AD+ 2AA,故B正确：以A:为原点，AF,AB,AA的 方向分别为x轴y轴、：轴正方向建立如图所示的空 间直角坐标系， 又因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面 BCD=BD,APC平面ABD,所以AP⊥平面BCD, 因为PCC平面BCD,所以AP⊥PC,因为AP=PC E =√，PD=1,所以三棱锥A一PCD的外接球为图 则C(-1,1.0),Q(0,-1,1),C(-1,1,-1),E(1, 中右侧长方体的外接球，且该长方体的长、宽、高分 -1,-1),G(-1,-1,1),B(0.1,-1),D(-1,0, -1).所以QC=(-1,2,-1).C0=(1,-2,2) 别为3,13，所以外接球的半径R=33+巨 2 EC=(-2,2,0).EG=(-2,0,2),BD=(-1,-1. 牙以P为原点，P成，P心.Pi的方向分别为r箱y 0),BC=(-1,0,1).点C到直线CQ的距离d 轴，：轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， √--(-故 A错误：设平面ECG的法向量为n:=(x·,), 则m·武-2n+2%=0 n:花--2+2=0令=1，得=1， =1,则n=(1,1,1),设平面BCD的法向量为 n:=(,点)，则 1m:·Bi=-x一为=0 令 m·BC=-x十=0 =一1，得y=1.=一1，则n:=(一1,1，一1)，设 可知球心0-合，号号），B1.00).则101- 平而ECG与平面BCD所成锐二面角为0，则cos8= 1@m>-情-分，放C正确：设异面 √--)+()+（）-，所以 直线CQ与BD所成的角为a,则co5a eC范，d1=1C克. |B1m=B0-R=石=1 1 2 CQBDI √1+4十4×√2 四、解答题 号所以m。-V厅，放D正确，放连以D 11.解：1)以D为原点，DA,D心，DD的方向分别为x 轴、y轴、：轴正方向，建立如图所示的空间直角坐 三、填空题 标系， 9.一10【解析】：A,B,C三点共线，OA=2OB+ 21 z0C.∴.2+=1∴=-1，：xOi+mOi+n0C =00耐=-兴oi-元.又“A,B.C三点共 B 线-是-是-1+m叶n=0. 10.正-五【解折】知图，△PAC的周长为PA十 D 2 PC+AC,其中AC为定值，PA=PC,则当PA取最 小值时，△PAC的周长最小，明显此时P为BD的 ·67· ·数学（苏教版）选择性必修第二册· 参考答案及解析 则D1(0,0,2),E(2,1,0),B1(2,2,2),F(0,2.1), 由(1)知平面AEO的一个法向量为B,O= 所以D,E=(2,1,-2).B,E=(0,-1,-2).DF (-2,2,-4), (10分) (0,2,-1), (3分) 设平面AEB:的法向量为n=(x,y,x), 所以点B到直线DE的距离为 则·花-4+2：=0 VB御：- BE·DE n·BA=-4x-42=0 DEI =5-1=2. (7分) 令x=2,得y=1,2=-2, (2)设平面DEF的法向量为n=(x,y), 则n=(2,1,-2) (13分) n·D,E=2x+y-2:=0 设二面角O一AE一B,的平面角为0，由图可知0为 则 n·DF=2y-:=0 锐角， 令y=2,得x=3,=4.则n=(3,2,4). (10分) 所以cos0=|cos(n,Bd1=,n…B0 所以点B,到平面D,EF的距离为B:ml |n·1B,O1 n 6 -1×2-2×4⊥1029 5X24 6 √3+2+ 29 (13分) 12.解：(1)因为BC是圆柱底面的直径， 所以二面角0-AE一品的余弦值为气。 (15分) 所以AB⊥AC, 13.解：(1)因为四边形ABCD,ABEF均为正方形， 所以BC=√AB+AC=4√2，OA=OB=2√Z, 所以BC⊥BA,BA⊥BE, 又平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面 B,O=√/BB+B)=26, ABEF=BA,BCC平面ABCD, 因为AA⊥平面AB,C1,所以AA⊥A:B,· 所以BC⊥平面ABEF, 所以AB,=√AA+AB所=4V2, 又BEC平面ABEF,所以BC⊥BE, (3分) 因为BO+OA8=AB群， 所以以B为原点，BA,BE,BC的方向分别为x轴y 所以B,O⊥OA, (3分) 轴，产轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 又E为CC,的中点， 所以OE=√0C+CE=23, B,E=√BC+CE=6, 则B①+OE=BE, 所以B OLOE, (5分) 又OE∩OA=O.OE,OAC平面AEO. 所以BO⊥平面AEO, 因为B,OC平面AB,O, 所以平面AEO⊥平面AB,O (7分) (2)由题意可知AA⊥平面ABC,AB⊥AC, 则A(1,0,0),B(0,0,0), 以A为原点，AB,AC,AA的方向分别为x轴、y轴、 因为CM=BN=a, :轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以M(停01-a)N停。o 则-(o号号。-小 易知平面CBE的一个法向量为BA=(1,0,0), 所以.i=(6.号号。-）小·10.0)=0 所以MN⊥BA, (6分) 又MN丈平面CBE, 则A(0,0,0),E(0,4,2),B(4,0,4),O(2,2,0), 所以MN∥平而CBE. (8分) 所以AE=(0,4,2),B,A=(-4,0,-4). (2)由)可得1M1-√+（停。-1） ·68· 高二周测卷 ·数学（苏教版）选择性必修第二册· -a+i=√(a-号)+，其中0<a …m=+=0 则 <②， …时=2+安y=0 当。-号时，最小，最小值为号 (13分) 取x=1,得y=-1,=-1,则n=(1,-1,-1), (17分) 8)由2)可知，当MN的长最小时，M(受0，受) 设直线AM与平面MNB所成的角为8， N(32o): 则sin0=cos(Ai,>1= AM·n=6 AM·|n3 则成-(-0，)丽i=(位，0,2)成 所以直线AM与平面MNB所成角的正弦值为， 3 (2号0) (15分) (20分) 设平面MNB的法向量为n=(xy,z), ·69数学（苏较版}头择性企修第二质第】夏「共4面1 衡水会幕·究草要·商二同步两测卷耳 监学（苏较极引选择性必修第二研第2页{共4西引 网，解答题（木题共3小题，共48分。解答风写必要的文字说明，正明过程或前算步露） 11.(本小题满分13分) 知图，在棱长为8的正方体ABCD一ABCD中，E,F分别是AB,CC的中点： (1)求点B到直线D上的距离： (2)求点B,到平面0F的距离 12.(本小题读分15分) 杭州第19属运动会开幕式现场，在AR技术加持下，寄托着古今美好心凰的灯笼升 椅而起，橙澳整个大莲花场第，腰江为点点星河流向运方，经就了一幅万家灯火的美 好图景，灯毫又统称为灯移，是一种古老的汉疾传统工艺品，经过数千年的发展，灯 笼也发展出了不同的地城风格，形状也是于姿百态，每一种灯笼都具有独特的艺术 表现形式.现将一个阳柱形的灯笼切开，如图所示，平面(CB品为圆柱的轴截面， BC是属柱帐面的直径，O为底面圆心，E为棱C,的中点AA,为一条母线：4B AC-AA-4. (1)求证：平面AE0平面AB,O (2)求二而角O一AE一B.的余弦值， 数学（苏较版}选择性企修第二质第3夏「共4面1 衡水金幕·先享题· 13,木小题清分20分) 在如图所示的试验装置中，两个正方形据架ABCD,ABEF的边长都是1，且它们所 在的平面互相垂直，活动弹子M.N分别在正方形对角线AC,BF上移动，且CM. BN的长度保持相等，记CM一BN一a(0<u<应)- 《1)证明：MN∥平面CBE: (2)当a为何值时，MN的长最小y 《3)当MN的长最小时，求直线AM与平面MN理断视角的正弦值. 离二同步丽测花三 监学（苏较极引选择性必修第二研第1面{共4面引