课时训练(40) 第6章 第3节 等比数列（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A培优版）

课时训练（40）　等比数列 一、单选题 1．(2025·济宁模拟)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n等于(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 B　解析：∵a1＝2，an＋1＝2an，∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．又Sn＝126，∴＝126，解得n＝6. 2．(2025·北京海淀开学考试)已知等比数列{an}满足a1＋a3＝5，a2＝2，则{an}的公比为(　　) A．－2或－ B．－2或 C．2或－ D．2或 D　解析：设公比为q，则a1＋a3＝＋a2q＝＋2q＝5，解得q＝2或q＝. 3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a2＝3，2a1＋a2＝4，则S6＝(　　) A．128 B．127 C．64 D．63 D　解析：由解得∴公比q＝＝2， ∴S6＝＝63. 4．(2025·江门模拟)已知{an}是等比数列，a3a5＝8a4，且a2，a6是方程x2－34x＋m＝0的两根，则m＝(　　) A．8 B．－8 C．64 D．－64 C　解析：因为{an}是等比数列，所以a3a5＝a，a2a6＝a，又a3a5＝8a4，所以a4＝8.又a2，a6是方程x2－34x＋m＝0的两根，所以m＝a2a6＝a＝64. 5．(2025·揭阳模拟)在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．其大意是有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天，才到目的地，则此人后三天所走的里程数为(　　) A．6 B．12 C．18 D．42 D　解析：设第n(n∈N*)天走了an里，其中1≤n≤6. 由题意可知，数列{an}是公比为的等比数列，所以＝a1＝378，解得a1＝192，所以此人后三天所走的里程数为a4＋a5＋a6＝＝42. 6．(2025·西安质检)已知两个等比数列{an}，{bn}的前n项积分别为An，Bn，若＝3，则＝(　　) A．3 B．27 C．81 D．243 D　解析：方法一　设等比数列{an}的公比为q1，则a3＝a1q，{an}的前5项积A5＝a1a2a3a4a5＝aq＝aq.设等比数列{bn}的公比为q2，则b3＝b1q，B5＝bq.因为＝＝3，所以＝＝()5＝35＝243. 方法二　由等比数列的性质知a1a5＝a2a4＝a，所以{an}的前5项积A5＝a1a2a3a4a5＝a.同理可得B5＝b，所以＝＝35＝243. 二、多选题 7．(2025·菏泽开学考试)记等比数列{an}的前n项积为Tn，且a5，a6∈N*，若T10＝65，则a5＋a6的可能取值为(　　) A．－7 B．5 C．6 D．7 BD　解析：∵T10＝a1·a2·…·a10＝(a5·a6)5＝65，∴a5·a6＝6.又a5，a6∈N*，而2×3＝6，1×6＝6，∴a5＋a6＝5或7. 8．已知各项均为正数且单调递减的等比数列{an}满足a3，a4，2a5成等差数列，其前n项和为Sn，且S5＝31，则(　　) A．an＝()n－5 B．an＝2n－3 C．Sn＝32－ D．Sn＝2n－4－16 AC　解析：由a3，a4，2a5成等差数列，得3a4＝a3＋2a5，设{an}的公比为q，则2q2－3q＋1＝0，解得q＝或q＝1.又{an}单调递减，∴q＝，∴S5＝＝31，解得a1＝16，∴an＝16·()n－1＝()n－5，∴Sn＝＝32－. 三、填空题 9．(2025·河南开学考试)已知等比数列{an}的前n项乘积为Tn，若T2＝T4，则T6＝________． 答案：1　解析：因为T2＝T4，即a1a2＝a1a2a3a4，显然an≠0，所以a3a4＝1，则a3a4＝a1a6＝a2a5＝1，故T6＝a1a2a3…a6＝1. 10．(2025·运城开学考试)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，若S4＝15，S2＝3，则q＝______． 答案：2　解析：由题意可知a1>0，q>0，因为 则可得q2＝＝4，所以q＝2. 四、解答题 11．设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn. (1)若a1＝1，S6＝S3，求a3的值； (2)若q>1，am＋am＋2＝am＋1，且S2m＝9Sm，m∈N*，求m的值． 解：(1)∵S6＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6 ＝a1＋a2＋a3＋a1q3＋a2q3＋a3q3＝S3(q3＋1)， ∴S3(q3＋1)＝S3，∴q＝，∴a3＝a1q2＝. (2)∵am＋am＋2＝am＋1，∴am＋amq2＝amq，得q2－q＋1＝0.又q>1，∴q＝2. 由S2m＝9Sm，得＝9×. 又a1≠0，∴1－22m＝9(1－2m)，即(1－2m)(1＋2m)＝9(1－2m).又m∈N*， ∴1－2m≠0，∴1＋2m＝9，解得m＝3. 12．等比数列{an}共有奇数个项，所有奇数项和S奇＝255，所有偶数项和S偶＝－126，末项是192，则首项a1等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 C　解析：∵an＝192，∴q＝＝＝＝－2.又Sn＝＝S奇＋S偶，即＝255＋(－126)，解得a1＝3. 13．(多选)(2025·石家庄检测)已知等比数列{an}的各项均为正数，a1＝20，2a6＋a5－a4＝0，数列{an}的前n项积为Tn，则(　　) A．数列{an}单调递增 B．数列{an}单调递减 C．Tn的最大值为T5 D．Tn的最小值为T5 BC　解析：设等比数列{an}的公比为q，因为2a6＋a5－a4＝0，所以2a4q2＋a4q－a4＝0.因为a4＞0，所以2q2＋q－1＝0，解得q＝或q＝－1(舍去)，所以数列{an}单调递减，A错误，B正确；因为数列{an}单调递减，且各项均为正数，所以数列{an}的前n项积Tn有最大值，无最小值，D错误．若Tn取最大值，则即又n∈N*，所以n＝5，即Tn的最大值为T5，C正确． 14．已知数列{an}是首项为16，公比为的等比数列，{bn}是公差为2的等差数列．若集合A＝{n∈N*|an>bn}中恰有3个元素，则符合题意的b1的一个取值为________． 答案：－1(答案不唯一)　解析：易得数列{an}逐项递减，{bn}逐项递增，故可考虑a1>b1，a2>b2，a3>b3，an≤bn(n≥4，n∈N*)，此时只需即可，即解得－4≤b1<0，故符合题意的b1的一个取值为－1(答案不唯一). 15．Sn为等比数列{an}的前n项和，已知a4＝9a2，S3＝13，且公比q>0. (1)求an及Sn. (2)是否存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由． 解：(1)易知q≠1，由题意可得 解得a1＝1，q＝3， ∴an＝3n－1，Sn＝＝. (2)假设存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列， ∵S1＋λ＝λ＋1，S2＋λ＝λ＋4，S3＋λ＝λ＋13， ∴(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，解得λ＝， 此时Sn＋＝×3n，则＝＝3， 故存在常数λ＝，使得数列{Sn＋}是以为首项，3为公比的等比数列． 16．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝3Sn＋1，n∈N*. (1)求{an}的通项公式． (2)设bn＝，在数列{bn}中是否存在三项bm，bk，bp(其中2k＝m＋p)成等比数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由． 解：(1)由题意知，在数列{an}中， an＋1＝3Sn＋1，an＝3Sn－1＋1，n≥2，n∈N* 两式相减可得，an＋1－an＝3an，an＋1＝4an，n≥2. 由条件知，a2＝3a1＋1＝4a1，符合上式， 故an＋1＝4an，n∈N*. ∴{an}是以1为首项，4为公比的等比数列， ∴an＝4n－1，n∈N*. (2)由题意及(1)得，在数列{an}中，an＝4n－1，n∈N*， 在数列{bn}中，bn＝， 如果满足条件的bm，bk，bp存在， 则b＝bmbp，其中2k＝m＋p， ∴＝·. ∵2k＝m＋p， ∴(k＋1)2＝(m＋1)(p＋1)，解得k2＝mp， ∴k＝m＝p，与已知矛盾， ∴不存在满足条件的三项． 学科网（北京）股份有限公司 $$