课时训练(24) 第4章 第4节 第一课时 三角函数的定义域、值域及单调性（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A培优版）

一、单选题 1．已知函数f(x)＝cos (2x－)，则f(x)在[－2，0]上(　　) A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．先减后增 D　解析：∵x∈[－2，0]，∴2x－∈[－4－，－]， ∵－<－4－<－π<－<0，∴函数f(x)＝cos (2x－)在[－2，0]上先减后增． 2．若函数f(x)＝sin (φ∈[0，2π])是偶函数，则φ＝(　　) A． B． C． D． C　解析：因为f(x)是偶函数，所以＝＋kπ(k∈Z)，所以φ＝＋3kπ(k∈Z).又φ∈[0，2π]，所以φ＝. 3．(2024·湛江二模)函数f(x)＝4sin (5x－)在[0，]上的值域为(　　) A．[－2，2] B．[－2，4] C．[－2，4] D．[－2，2] B　解析：因为x∈[0，]，所以5x－∈[－，]，所以sin (5x－)∈[－，1]，故f(x)＝4sin (5x－)在[0，]上的值域为[－2，4]. 4．已知a＝sin ，b＝cos ，c＝tan ，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c B．a>c>b C．c>b>a D．c>a>b D　解析：因为>>，sin >sin >sin ，所以<a<1.因为cos <cos <cos ，所以0<b<.又c＝tan >tan ＝1，所以c>a>b. 5．(2025·泉州模拟)已知函数f(x)的周期为π，且在区间(，)内单调递增，则f(x)可能是(　　) A．f(x)＝sin (x－) B．f(x)＝cos (x－) C．f(x)＝sin (2x－) D．f(x)＝cos (2x－) C　解析：因为函数f(x)的周期为π，所以当ω>0时，对正、余弦函数来说，ω＝＝＝2，故排除AB；当x∈(，)时，2x－∈(0，)，因为y＝sin x在(0，)上单调递增，故C正确，D错误． 6．已知函数f(x)＝cos (2x＋φ)(0≤φ<2π)在[－，]上单调递增，则φ的取值范围为(　　) A．[π，] B．[，] C．[，2π] D．[，] D　解析：由x∈[－，]，得2x＋φ∈[－＋φ，＋φ].又0≤φ<2π，所以≤＋φ<.结合函数f(x)在[－，]上单调递增，所以解得≤φ≤.即φ的取值范围为[，]. 二、多选题 7．已知函数f(x)＝tan (2x－)，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)的最小正周期为 B．f(x)在(，)上单调递减 C．f()＝f(－) D．f(x)的定义域为{x|x≠＋kπ，k∈Z} AC　解析：因为f(x)＝tan (2x－)，对于A，f(x)的最小正周期为T＝，故A正确；对于B，当x∈(，)时，2x－∈(，)，因为y＝tan z在z∈(0，)上单调递增，故f(x)在(，)上单调递增，故B错误；对于C，因为f(x)的最小正周期为T＝，所以f()＝f(－)＝f(－)，故C正确；对于D，令2x－≠＋kπ，k∈Z，解得x≠＋，k∈Z，所以f(x)的定义域为{x|x≠＋，k∈Z}，故D错误． 8．已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0，0<|φ|<)在区间(，)上单调，且f()＝－f()＝1，则(　　) A．ω＝3 B．φ＝－ C．ω＝2 D．φ＝ CD　解析：因为函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0，0<|φ|<)在区间(，)上单调，所以＝·≥－＝，所以0<ω≤2，因为f()＝－f()＝1，所以sin (ω＋φ)＝－sin (ω＋φ)＝1，所以ω＋φ＝＋2k1π，ω＋φ＝＋2k2π，k1，k2∈Z，故ω＝π＋2(k2－k1)π，所以ω＝2＋4(k2－k1)，k2，k1∈Z.因为0<ω≤2，k2－k1∈Z，所以ω＝2，则φ＝＋2k1π，k1∈Z，又0<|φ|<，所以φ＝. 三、填空题 9．函数y＝tan (x＋)，x∈(－，)的值域为_______． 答案：(0，＋∞)　解析：设z＝x＋，因为x∈(－，)，可得z∈(0，).因为正切函数y＝tan z在(0，)上的值域为(0，＋∞)，即函数y＝tan (x＋)在(－，)上的值域为(0，＋∞). 10．函数y＝＋的定义域为________． 答案：{x|2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z} 解析：⇒ 解得2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z. 四、解答题 11．已知函数f(x)＝sin 2x－cos 2x－. (1)求函数f(x)的最小正周期和最大值； (2)讨论函数f(x)在[，]上的单调性． 解：(1)因为函数f(x)＝sin 2x－cos 2x－＝sin (2x－)－， 所以函数f(x)的最小正周期为π，最大值为. (2)当x∈[，]时，0≤2x－≤π，从而当0≤2x－≤，即≤x≤时，f(x)单调递增； 当≤2x－≤π，即≤x≤时，f(x)单调递减． 综上可知，f(x)在[，]上单调递增，在[，]上单调递减． 12．(2024·天津卷)已知函数f(x)＝sin 3(ωx＋)(ω>0)的最小正周期为π.则函数在[－，]的最小值是(　　) A．－ B．－ C．0 D． A　解析：由f(x)的最小正周期为π，可得π＝，所以ω＝，所以f(x)＝sin (2x＋π)＝－sin 2x.当x∈[－，]时，2x∈[－，]，sin 2x∈[－，]，所以f(x)min＝－. 13．(2024·河源开学考试)已知f(x)＝sin (x＋φ)(0≤φ<π)在(－，)上单调递减，且f(0)＝，则(　　) A．φ＝ B．φ＝ C．φ＝ D．φ＝ D　解析：因为f(0)＝，0≤φ<π，所以φ＝或φ＝.当φ＝时，此时f(x)＝sin (x＋)，由x∈(－，)，得x＋∈(，)，因为y＝sin x在(，)上单调递增，所以f(x)在(－，)上单调递增，不符合题意，舍去；当φ＝时，此时f(x)＝sin (x＋)，由x∈(－，)，得x＋∈(，)，因为y＝sin x在(，)上单调递减，所以f(x)在(－，)上单调递减，所以φ＝. 14．(2024·淄博三模)已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)的零点是以为公差的等差数列．若f(x)在区间[0，m]上单调递增，则m的最大值为________． 答案：　解析：因为f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)，所以f(x)＝2(sin ωx－cos ωx)＝2sin (ωx－).因为f(x)的零点是以为公差的等差数列，所以f(x)的最小正周期为π，即＝π，解得ω＝2.当x∈[0，m]时，2x－∈[－，2m－]，因为f(x)在区间[0，m]上单调递增，所以2m－≤，结合m>0，解得0<m≤.所以m的最大值为. 15．已知函数f(x)＝6cos x sin (x－)＋. (1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)若函数y＝f(x)－a在x∈[，]时存在零点，求实数a的取值范围． 解：(1)∵f(x)＝6cos x sin (x－)＋ ＝6cos x(sin x－cos x)＋ ＝3sin x cos x－3cos2x＋ ＝sin2x－3×＋ ＝3(sin 2x－cos 2x)＝3sin (2x－). ∴函数f(x)的最小正周期为T＝＝π. 令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，求得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， ∴函数f(x)的单调递增区间为[－＋kπ，＋kπ](k∈Z). (2)令y＝f(x)－a＝0，即3sin (2x－)－a＝0， 则sin (2x－)＝. 因为y＝f(x)－a在x∈[，]时存在零点， 则方程sin (2x－)＝在x∈[，]上有解． 若x∈[，]，则2x－∈[0，]， 可得sin (2x－)∈[0，1]， 所以0≤≤1，得0≤a≤3.故实数a的取值范围是[0，3]. 16．(2023·北京卷)设函数f(x)＝sin ωx cos φ＋cos ωx sin φ(ω>0，|φ|<). (1)若f(0)＝－，求φ的值． (2)已知f(x)在区间[－，]上单调递增，f()＝1，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数f(x)存在，求ω，φ的值． 条件①：f()＝. 条件②：f(－)＝－1. 条件③：f(x)在区间[－，－]上单调递减． 解：(1)因为f(x)＝sin ωx cos φ＋cos ωx sin φ，ω>0，|φ|<，所以f(0)＝sin φ＝－. 因为|φ|<，所以φ＝－. (2)因为f(x)＝sin ωx cos φ＋cos ωx sin φ，ω>0，|φ|<， 所以f(x)＝sin (ωx＋φ)，ω>0，|φ|<， 所以f(x)的最大值为1，最小值为－1. 若选条件①：因为f(x)＝sin (ωx＋φ)的最大值为1，最小值为－1，所以f()＝无解．故条件①不能使函数f(x)存在． 若选条件②：因为f(x)在[－，]上单调递增，且f()＝1，f(－)＝－1， 所以＝－(－)＝π，所以T＝2π，ω＝＝1. 所以f(x)＝sin (x＋φ). 又f(－)＝－1，所以sin (－＋φ)＝－1， 所以－＋φ＝－＋2kπ，k∈Z， 所以φ＝－＋2kπ，k∈Z. 因为|φ|<，所以φ＝－， 所以ω＝1，φ＝－. 若选条件③：因为f(x)在[－，]上单调递增，在[－，－]上单调递减， 所以f(x)在x＝－处取得最小值－1，即f(－)＝－1. 以下与条件②相同． 学科网（北京）股份有限公司 $$