课时训练(19) 第3章 第2节 导数与函数的单调性（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A培优版）

一、单选题 1．函数f(x)＝2x－sin x在(－∞，＋∞)上是(　　) A．增函数 B．减函数 C．先增后减函数 D．不确定 A　解析：∵f(x)＝2x－sin x，∴f′(x)＝2－cos x>0在(－∞，＋∞)上恒成立，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数． 2．已知f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，且y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　) D　解析：根据导函数的图象可得，当x<0时，f′(x)<0，f(x)在(－∞，0)上单调递减；当0<x<2时，f′(x)>0，f(x)在(0，2)上单调递增；当x>2时，f′(x)<0，f(x)在(2，＋∞)上单调递减，所以只有D选项符合． 3.已知函数f(x)与f′(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝的单调递增区间为(　　) A．(0，4) B．(－∞，－1)，(，4) C．(0，) D．(－∞，0)，(1，4) D　解析：易知f′(x)过点(0，0)与(，0)，当x<0或1<x<4时，f′(x)>f(x)，即g′(x)＝>0，则函数g(x)＝的单调递增区间为(－∞，0)，(1，4). 4．若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不具有单调性，则实数k的取值范围是(　　) A．(－∞，－3]∪[－1，1]∪[3，＋∞) B．(－3，－1)∪(1，3) C．(－2，2) D．不存在这样的实数k B　解析：由题意得，f′(x)＝3x2－12＝0在区间(k－1，k＋1)上至少有一个实数根．又f′(x)＝3x2－12＝0的根为±2，且f′(x)在x＝2或x＝－2两侧异号，而区间(k－1，k＋1)的区间长度为2，故只有2或－2在区间(k－1，k＋1)内，∴k－1<2<k＋1或k－1<－2<k＋1，∴1<k<3或－3<k<－1. 5．函数f(x)＝x ln x，a＝f(2)，b＝f()，c＝f()，则(　　) A．b＜c＜a B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b A　解析：由题意知f′(x)＝1＋ln x，x＞0.令f′(x)>0得x＞，由f′(x)＜0，得0＜x＜，则f(x)在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，∵0＜＜＜，∴f()＞f()，即b＜c，∵c＝f()＝ln ＜0，a＝f(2)＝2ln 2＞0，∴c＜a，即b＜c＜a. 6．定义域为R的函数f(x)的导函数为f′(x)，满足f′(x)－f(x)>3ex，f(2)＝6e2，则不等式f(x)>3xex的解集为(　　) A．(2，＋∞) B．(－∞，2) C．(3，＋∞) D．(－∞，3) A　解析：令G(x)＝－3x，则G′(x)＝－3>－3＝0，所以函数G(x)在R上单调递增，又G(2)＝－3×2＝0，由f(x)>3xex可得－3x>0，即G(x)>G(2)，所以x>2. 二、多选题 7．若函数g(x)＝exf(x)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．下列函数中具有M性质的是(　　) A．f(x)＝5－x B．f(x)＝2－x C．f(x)＝x2＋1 D．f(x)＝x3 BC　解析：对于A选项，g(x)＝exf(x)＝ex·5－x＝()x，g(x)在R上单调递减，故f(x)＝5－x不具有M性质；对于B选项，g(x)＝exf(x)＝ex·2－x＝()x，∵>1，∴g(x)在R上单调递增，故f(x)＝2－x具有M性质；对于C选项，g(x)＝exf(x)＝ex(x2＋1)，则g′(x)＝ex(x2＋1)＋ex·x＝ex(x2＋x＋1)＝ex[(x＋1)2＋]>0，∴g(x)在R上单调递增，故f(x)＝x2＋1具有M性质；对于D选项，g(x)＝exf(x)＝exx3，则g′(x)＝exx3＋3x2ex＝x2ex(x＋3)，令g′(x)<0，解得x<－3，∴g(x)在(－∞，－3)上单调递减，故f(x)＝x3不具有M性质． 8．(2025·晋城模拟)若一个函数在区间D上的导数值恒大于0，则该函数在D上纯粹递增，若一个函数在区间D上的导数值恒小于0，则该函数在D上纯粹递减，则(　　) A．函数f(x)＝x2－2x在[1，＋∞)上纯粹递增 B．函数f(x)＝x3－2x在[1，2]上纯粹递增 C．函数f(x)＝sin x－2x在[0，1]上纯粹递减 D．函数f(x)＝ex－3x在[0，2]上纯粹递减 BC　解析：若f(x)＝x2－2x，则f′(x)＝2x－2，因为f′(1)＝0，所以A错误．若f(x)＝x3－2x，则f′(x)＝3x2－2，当x∈[1，2]时，f′(x)>0恒成立，所以B正确．若f(x)＝sin x－2x，则f′(x)＝cos x－2<0，所以C正确．若f(x)＝ex－3x，则f′(x)＝ex－3<0在[0，2]上不恒成立，所以D错误． 三、填空题 9．函数f(x)＝(x－1)ex－x2的单调递增区间为________________，单调递减区间为__________． 答案：(－∞，0)，(ln 2，＋∞)　(0，ln 2) 解析：f′(x)＝xex－2x＝x(ex－2)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝ln 2，当x∈(－∞，0)∪(ln 2，＋∞)时，f′(x)＞0，当x∈(0，ln 2)时，f′(x)＜0.∴f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(ln 2，＋∞)，单调递减区间为(0，ln 2). 10．若函数f(x)＝x3－tx2＋3x在R上单调递增，则实数t的取值范围是________． 答案：[－3，3]　解析：由f(x)＝x3－tx2＋3x，得f′(x)＝3x2－2tx＋3，因为函数f(x)在R上单调递增，所以f′(x)≥0恒成立，即3x2－2tx＋3≥0恒成立，则Δ＝4t2－36≤0，解得－3≤t≤3. 四、解答题 11．已知函数f(x)＝x2－2a ln x＋(a－2)x. (1)当a＝－1时，求函数f(x)的单调区间； (2)若函数g(x)＝f(x)－ax在(0，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围． 解：(1)当a＝－1时，f(x)＝x2＋2ln x－3x， 则f′(x)＝x＋－3＝＝(x>0). 当0<x<1或x>2时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当1≤x≤2时，f′(x)≤0，f(x)单调递减． 所以f(x)的单调递增区间为(0，1)和(2，＋∞)，单调递减区间为[1，2]. (2)g(x)＝f(x)－ax在(0，＋∞)上单调递增， 则g′(x)＝f′(x)－a＝x－－2≥0在x∈(0，＋∞)上恒成立． 即≥0在x∈(0，＋∞)上恒成立． 所以x2－2x－2a≥0在x∈(0，＋∞)上恒成立， 所以a≤(x2－2x)＝(x－1)2－恒成立． 令φ(x)＝(x－1)2－，x∈(0，＋∞)，则其最小值为－， 故a≤－， 所以实数a的取值范围是(－∞，－]. 12. (多选)已知定义在R上的奇函数f(x)的部分图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则下列结论中正确的是(　　) A．f(2)＝－1 B．f(1)f(2)>4 C．f′(1)f′(2)<0 D．方程f′(x)＝0无解 BC　解析：根据题意，依次分析选项．对于A，f(x)为奇函数，且f(－2)>2，则f(2)＝－f(－2)<－2，A错误；对于B，f(x)为奇函数，且f(－1)＝2，f(－2)>2，则有f(1)f(2)＝f(－1)f(－2)>4，B正确；对于C，由所给的函数f(x)的图象，可得f′(－1)<0，f′(－2)>0，则f′(1)f′(2)＝f′(－1)·f′(－2)<0，C正确；对于D，由C的结论f′(－1)·f′(－2)<0，则必定存在x0∈(－2，－1)，使得f′(x0)＝0，即f′(x)＝0一定有解，D错误． 13．(2025·昆明模拟)若函数f(x)＝2x＋n cos x在定义域R上不单调，则正整数n的最小值是________． 答案：3　解析：因为函数f(x)＝2x＋n cos x，所以f′(x)＝2－n sin x，令f′(x)＝0，得sin x＝.因为sin x∈[－1，1]，且n∈N*，所以n≥2.当n＝2时，f′(x)＝2－2sin x≥0，则f(x)在R上单调递增，不符合题意；当n>2时，令f′(x)＝2－n sin x>0，得sin x<，令f′(x)＝2－n sin x<0，得sin x>，所以f(x)在R上不单调，符合题意．综上，正整数n的最小值是3. 14．(2025·青岛调研)若函数g(x)＝ln x＋x2－(b－1)x存在单调递减区间，则实数b的取值范围是________． 答案：(3，＋∞)　解析：g(x)的定义域为(0，＋∞)，且其导函数为g′(x)＝＋x－(b－1).由g(x)存在单调递减区间知g′(x)<0在(0，＋∞)上有解，即＋x－(b－1)<0有解．因为g(x)的定义域为(0，＋∞)，所以x＋≥2.要使＋x－(b－1)<0有解，只需(＋x)min<b－1，即2<b－1，即b>3，所以实数b的取值范围是(3，＋∞). 15．已知函数f(x)＝3a ln x－x2－(a－3)x，x∈R，试讨论f(x)的单调性． 解：由题意，f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝－x－(a－3)＝－＝－， ①若a≥0，则当0<x<3时，f′(x)>0， 当x>3时，f′(x)<0， ∴f(x)在(0，3)上单调递增，在(3，＋∞)上单调递减； ②若－3<a<0，由f′(x)<0，得0<x<－a或x>3， 由f′(x)>0，得－a<x<3， ∴f(x)在(0，－a)，(3，＋∞)上单调递减，在(－a，3)上单调递增； ③若a＝－3，则f′(x)≤0恒成立， ∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减； ④若a<－3，由f′(x)<0，得0<x<3或x>－a， 由f′(x)>0，得3<x<－a， ∴f(x)在(0，3)，(－a，＋∞)上单调递减，在(3，－a)上单调递增． 综上，当a≥0时，f(x)在(0，3)上单调递增，在(3，＋∞)上单调递减；当－3<a<0时，f(x)在(0，－a)，(3，＋∞)上单调递减，在(－a，3)上单调递增；当a＝－3时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当a<－3时，f(x)在(0，3)，(－a，＋∞)上单调递减，在(3，－a)上单调递增． 16．(2025·金华模拟)已知函数f(x)＝. (1)求f(x)的单调区间； (2)若存在x1，x2∈(1，＋∞)且x1≠x2，使|f(x1)－f(x2)|≥k|ln x1－ln x2|成立，求k的取值范围． 解：(1)由题意得，f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝，令f′(x)＝0得x＝1， 当x∈(0，1)时，f′(x)>0，f(x)在(0，1)上单调递增； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)在(1，＋∞)上单调递减． 综上可知，f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞). (2)由题意知存在x1，x2∈(1，＋∞)且x1≠x2，不妨设x1>x2>1， 由(1)知x∈(1，＋∞)时，f(x)单调递减． |f(x1)－f(x2)|≥k|ln x1－ln x2|等价于f(x2)－f(x1)≥k(ln x1－ln x2)， 即f(x2)＋k ln x2≥f(x1)＋k ln x1， 即存在x1，x2∈(1，＋∞)且x1>x2，使f(x2)＋k ln x2≥f(x1)＋k ln x1成立． 令h(x)＝f(x)＋k ln x，则h(x)在(1，＋∞)上存在减区间． 即h′(x)＝<0在(1，＋∞)上有解集， 即k<在(1，＋∞)上有解，即k<()max，x∈(1，＋∞)； 令t(x)＝，x∈(1，＋∞)，t′(x)＝， 当x∈(1，)时，t′(x)>0，t(x)在(1，)上单调递增； 当x∈(，＋∞)时，t′(x)<0，t(x)在(，＋∞)上单调递减， ∴t(x)max＝t()＝，∴k<. 学科网（北京）股份有限公司 $$