课时训练(18) 第3章 第1节 导数的概念及运算（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A培优版）

一、单选题 A　解析：由图可知，f′(3)<<f′(5)，即2f′(3)<f(5)－f(3)<2f′(5). 2．(2025·保定模拟)已知函数f(x)＝e2x＋f′(1)x2，则f′(1)＝(　　) A．－2e2 B．2e2 C．e2 D．－e2 A　解析：由f(x)＝e2x＋f′(1)x2，得f′(x)＝2e2x＋2f′(1)x.令x＝1，得f′(1)＝2e2＋2 f′(1)，所以f′(1)＝－2e2. 3．(2025·南京模拟)函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为(　　) A．y＝－2x－1 B．y＝－2x＋1 C．y＝2x－3 D．y＝2x＋1 B　解析：由f(x)＝x4－2x3，得f′(x)＝4x3－6x2，∴f′(1)＝4－6＝－2，又f(1)＝1－2＝－1，∴函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1. 4．(2025·南昌阶段练习)曲线y＝ex＋sin 2x在点(0，1)处的切线方程为(　　) A．3x＋2y－2＝0 B．2x－2y＋1＝0 C．3x－y＋1＝0 D．3x－2y＋2＝0 C　解析：因为y′＝ex＋2cos 2x，所以y＝ex＋sin 2x在点(0，1)处的切线斜率为y′|x＝0＝e0＋2cos 0＝3，所以切线方程为y－1＝3×(x－0)，即3x－y＋1＝0. 5．(2024·武汉模拟)已知函数f(x)为偶函数，其图象在点(1，f(1))处的切线方程为x－2y＋1＝0，记f(x)的导函数为f′(x)，则f′(－1)＝(　　) A．－ B． C．－2 D．2 A　解析：因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)，两边求导，可得[f(x)]′＝[ f(－x)]′⇒f′(x)＝f′(－x)·(－x)′⇒f′(x)＝－f′(－x).又f(x)在(1，f(1))处的切线方程为x－2y＋1＝0，所以f′(1)＝.所以f′(－1)＝－f′(1)＝－. 6．(2024·咸阳模拟)已知函数f(x)＝ln x＋x，过原点作曲线y＝f(x)的切线l，则切点P的坐标为(　　) A．(1，1) B．(e，e＋1) C．(，－1) D．(e2，e2＋2) B　解析：由题意可知f′(x)＝＋1，设切点为P(x0，ln x0＋x0)，则切线方程为y＝(＋1)(x－x0)＋ln x0＋x0.因为切线过原点，所以0＝(＋1)·(－x0)＋ln x0＋x0＝ln x0－1，解得x0＝e，则P(e，e＋1). 7．若函数f(x)＝＋ln (x＋1)的图象上不存在互相垂直的切线，则a的取值范围是(　　) A．a≤1 B．a<0 C．a≥1 D．a≤0 A　解析：因为函数f(x)＝＋ln (x＋1)(x>－1)，所以f′(x)＝x＋－a＝x＋1＋－a－1≥2－a－1＝1－a，当且仅当x＋1＝，即x＝0时，等号成立，因为函数f(x)的图象上不存在互相垂直的切线，所以f′(x)min≥0，即1－a≥0，解得a≤1. 8．若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln (x＋1)的切线，则b＝(　　) A．1 B． C．1－ln 2 D．1－2ln 2 C　解析：设y＝kx＋b与y＝ln x＋2和y＝ln (x＋1)的切点分别为(x1，kx1＋b)，(x2，kx2＋b)，由导数的几何意义可得k＝＝，得x1＝x2＋1，再由切点也在各自的曲线上，可得联立式子解得k＝2，x1＝，x2＝－.代入kx1＋b＝ln x1＋2，解得b＝1－ln 2. 二、多选题 9．(2025·广州模拟)已知函数f(x)＝x3－3x2＋1的图象在点(m，f(m))处的切线为lm，则(　　) A．lm的斜率的最小值为－2 B．lm的斜率的最小值为－3 C．l0的方程为y＝1 D．l－1的方程为y＝9x＋6 BCD　解析：因为f′(x)＝3x2－6x＝3(x－1)2－3≥－3，所以lm的斜率的最小值为－3.因为f′(0)＝0，f(0)＝1，所以l0的方程为y＝1.因为f′(－1)＝9，f(－1)＝－3，所以l－1的方程为y＋3＝9(x＋1)，即y＝9x＋6. 10．已知函数y＝f(x)(x∈R)图象上任一点(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x0－2)(x0＋4)(x－x0)，那么下列结论正确的是(　　) A．f′(1)＝－5 B．在x＝2处的切线平行或重合于x轴 C．切线斜率的最小值为1 D．f′(4)＝12 AB　解析：由题意可得f′(x)＝(x－2)(x＋4)，对于A，f′(1)＝－5，A正确；对于B，当x＝2时，f′(2)＝0，故在x＝2处的切线平行或重合于x轴，B正确；对于C，f′(x)＝(x－2)·(x＋4)＝x2＋2x－8＝(x＋1)2－9≥－9，最小值为－9，C错误；对于D，f′(4)＝(4－2)(4＋4)＝16，D错误． 11．(2025·梅州模拟)若函数y＝f(x)的图象上至少存在两个不同的点P，Q，使得曲线y＝f(x)在这两点处的切线垂直，则称函数y＝f(x)为“垂切函数”．下列函数中为“垂切函数”的是(　　) A．y＝x2 B．y＝ex C．y＝x ln x D．y＝sin x ACD　解析：y′＝2x存在x1，x2，使4x1x2＝－1成立，A正确；y′＝ex>0不存在x1，x2，使ex1＋x2＝－1成立，B错误；y′＝ln x＋1，存在x1＝1，x2＝e－2使(ln x1＋1)(ln x2＋1)＝－1成立，C正确；y′＝cos x存在x1＝0，x2＝π，使cos x1cos x2＝－1成立，D正确． 三、填空题 12．(2025·牡丹江期末)若函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2f′(1)ln x＋x，则f(e)＝________． 答案：－2＋e　解析：由f(x)＝2f′(1)ln x＋x得f′(x)＝＋1，所以f′(1)＝＋1，得f′(1)＝－1，所以f(x)＝－2ln x＋x，所以f(e)＝－2ln e＋e＝－2＋e. 13．(2025·呼和浩特模拟)若曲线y＝2sin x－2cos x在点(，2)处的切线与直线x－ay＋1＝0垂直，则实数a＝________． 答案：－2　解析：∵y＝2sin x－2cos x，∴y′＝2cos x＋2sin x，∴曲线y＝2sin x－2cos x在点(，2)处的切线的斜率k＝y′|x＝＝2cos ＋2sin ＝2.∵切线与直线x－ay＋1＝0垂直，∴直线x－ay＋1＝0的斜率为－，即＝－，∴a＝－2. 14．写出过点(2，1)与曲线y＝x3＋1相切的一条直线的方程为______________． 答案：y＝1或27x－y－53＝0(写出其中一条即可)　解析：设切点为(x0，x＋1)，因为y′|x＝x0＝3x，所以切线方程为y－(x＋1)＝3x(x－x0)，将点(2，1)代入得2x－6x＝0，解得x0＝0或x0＝3.当x0＝0时，切线方程为y＝1；当x0＝3时，切线方程为27x－y－53＝0. 15．(2025·成都模拟)若点P是曲线y＝ln x－x2上任意一点，则点P到直线l：x＋y－4＝0距离的最小值为(　　) A． B． C．2 D．4 C　解析：过点P作曲线y＝ln x－x2的切线(图略)，当切线与直线l：x＋y－4＝0平行时，点P到直线l：x＋y－4＝0的距离最小．设切点为P(x0，y0)(x0＞0)，y′＝－2x，所以切线斜率为k＝－2x0.由题知－2x0＝－1，解得x0＝1或 x0＝－(舍去)，所以P(1，－1)，此时点P到直线l：x＋y－4＝0的距离d＝＝2. 16．(多选)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′，若f″(x)<0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数，以下四个函数在(0，)上是凸函数的是(　　) A．f(x)＝sin x－cos x 　 B．f(x)＝ln x－3x C．f(x)＝－x3＋3x－1 　 D．f(x)＝xe－x BCD　解析：对于A，f′(x)＝cos x＋sin x，f″(x)＝－sin x＋cos x＝－sin (x－)，当x∈(0，)时，sin (x－)<0，f″(x)＝－sin (x－)>0，故A错误；对于B，f′(x)＝－3，f″(x)＝－<0在(0，)上恒成立，故B正确；对于C，f′(x)＝－3x2＋3，f″(x)＝－6x<0在(0，)上恒成立，故C正确；对于D，f′(x)＝e－x－xe－x＝(1－x)e－x，f″(x)＝－e－x－(1－x)e－x＝－(2－x)e－x，因为x∈(0，)，所以2－x>0，所以f″(x)＝－(2－x)e－x<0在(0，)上恒成立，故D正确． 17．(2023·通化模拟)若直线y＝kx与曲线y＝ln x和曲线y＝eax都相切，则a＝________． 学科网（北京）股份有限公司 $$