课时训练(15) 第2章 第7节 函数的图象及其应用（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A培优版）

一、单选题 1．(2025·上海模拟)函数y＝x cos x＋sin x的图象大致为(　　) D　解析：因为y＝x cos x＋sin x的定义域为R，且－x cos (－x)＋sin (－x)＝－(x cos x＋sin x)，所以y＝x cos x＋sin x为奇函数，所以图象关于原点对称，故B错误；当x＝π时，y＝－π<0，故A错误；当x∈(0，)时，则cos x>0，sin x>0，可知y>0，故C错误． 2．为了得到函数y＝2x－3－1的图象，只需把函数y＝2x的图象(　　) A．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 B．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 C．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 A　解析：将函数y＝2x的图象向右平移3个单位长度得到y＝2x－3的图象，再把y＝2x－3的图象向下平移1个单位长度得到y＝2x－3－1的图象． 3. (2025·哈尔滨模拟)已知某个函数的图象如图所示，则下列解析式中与此图象最为符合的是(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝ A　解析：对于B选项，函数f(x)＝有意义，则解得x≠0且x≠1且x≠2，故不满足，错误；对于C选项，要使函数f(x)＝有意义，则|x|－1≠0，解得x≠±1，故不满足，错误；对于D选项，当x∈(0，1)时，f(x)＝>0，故不满足，错误．故根据排除法得f(x)＝与此图象最为符合． 4．已知函数f(x)＝g(x)＝f(－x)，则函数g(x)的大致图象是(　　) B　解析：因为g(x)＝f(－x)，所以 g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称，由f(x)的解析式，作出f(x)的大致图象，如图所示，从而可得B选项符合题意． 5．设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，当x∈[0，5]时，函数y＝f(x)的图象如图所示，则使函数值y<0的x的取值集合为(　　) A．(2，5) B．(－5，－2)∪(2，5) C．(－2，0) D．(－2，0)∪(2，5) D　解析：因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5，5]上的图象关于坐标原点对称，由y＝f(x)在x∈[0，5]上的图象，知它在[－5，0]上的图象，使函数值y<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2，5). 6．已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)－f(2－x)＝0，若函数y＝|x2－2x－2|与f(x)图象的交点为(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，n∈N*，则2i＝(　　) A．0 B．n C．2n D．4n C　解析：作出函数y＝|x2－2x－2|的图象，如图所示， 由图可知其图象关于直线x＝1对称．又函数f(x)(x∈R)满足f(x)－f(2－x)＝0，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以函数f(x)与y＝|x2－2x－2|图象的交点的横坐标关于直线x＝1对称．不妨设x1与xn关于直线x＝1对称，x2与xn－1关于直线x＝1对称，…，则有x1＋xn＝2，x2＋xn－1＝2，…，所以i＝x1＋x2＋…＋xn，i＝xn＋xn－1＋…＋x1，所以2i＝(x1＋xn)＋(x2＋xn－1)＋…＋(xn＋x1)＝n(x1＋xn)＝2n. 二、多选题 7．对于函数f(x)＝lg (|x－2|＋1)，下列说法正确的是(　　) A．f(x＋2)是偶函数 B．f(x＋2)是奇函数 C．f(x)在区间(－∞，2)上单调递减，在区间(2，＋∞)上单调递增 D．f(x)没有最小值 AC　解析：f(x＋2)＝lg (|x|＋1)为偶函数，A正确，B错误．作出f(x)的图象如图所示，可知f(x)在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增； 由图象可知，函数存在最小值0，C正确，D错误． 8．函数f(x)＝的图象如图所示，则(　　) A．a>0 B．b<0 C．c>0 D．abc<0 AB　解析：函数的定义域为{x|x≠－c}，由图可知－c>0，则c<0；由图可知f(0)＝<0，所以b<0，由f(x)＝0，得ax＋b＝0，x＝－；由图可知－>0，得<0，所以a>0.综上可得，a>0，b<0，c<0. 三、填空题 9．已知f(x)为R上的增函数，且其部分图象如图所示，那么|f(x)|<1的解集是________． 答案：(0，3)　解析：因为f(x)为R上的增函数，且f(0)＝－1，f(3)＝1，不等式|f(x)|<1，即－1<f(x)<1，所以0<x<3，即|f(x)|<1的解集是(0，3). 10．将函数f(x)的图象先向左平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到函数g(x)的图象，若g(x)为奇函数，则f(0)＋f(2)＝________． 答案：－2　解析：由函数f(x)的图象先向左平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到函数g(x)的图象，可得g(x)＝f(x＋1)＋1，故f(x)＝g(x－1)－1，所以f(0)＋f(2)＝g(－1)－1＋g(1)－1＝－g(1)＋g(1)－2＝－2. 四、解答题 11．已知f(x)＝是定义在R上的奇函数． (1)请画出f(x)的大致图象并在图象上标注零点； (2)已知a>1，若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围； (3)若函数φ(x)＝f(x)－ex，求φ(x)的零点个数． 解：(1)根据题意，列表如下， x －2 －1 0 1 2 f(x) 0 －1 0 1 0 f(x)的大致图象如图所示，其中零点为－2，0，2. (2)由(1)的函数图象可知，要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，则－1<a－2≤1，即1<a≤3，故实数a的取值范围为(1，3]. (3)φ(x)＝f(x)－ex的零点即为y＝f(x)与y＝ex图象交点的横坐标， 又y＝ex在R上单调递增，值域为(0，＋∞)， 结合(1)的图象，易知y＝f(x)与y＝ex的图象在(－∞，0)有一个交点，即φ(x)只有一个零点． 12．(2024·潍坊二模)已知函数f(x)＝则f(x)图象上关于原点对称的点有(　　) A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 C　解析：作出f(x)的图象，再作出函数y＝()x，x≥0，关于原点对称的图象如图所示． 因为函数y＝()x，x≥0，关于原点对称的图象与y＝－|x2＋2x|，x<0的图象有三个交点，故f(x)图象上关于原点对称的点有3对． 13．(多选)已知函数f(x)＝，a>0且a≠1，则f(x)的大致图象可以是(　　) ABD　解析：对于选项A，由函数的定义域知c<0，由图象关于y轴对称知b＝1，不妨令c＝－1，a＝2，则f(x)＝，其定义域为{x|x≠±1}，且f(－x)＝＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，函数图象关于y轴对称，当－1<x<1时，f(x)<0，当x>1或x<－1时，f(x)>0，故A符合；对于选项B，由函数的定义域知c<0，由图象关于原点对称知b＝－1，不妨令c＝－1，a＝2，则f(x)＝，其定义域为{x|x≠±1}，且f(－x)＝＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，函数图象关于原点对称，当x>1或－1<x<0时，f(x)>0，当x<－1或0<x<1时，f(x)<0，故B符合；对于选项C，由图象知函数的定义域为R，故c>0，由图象关于y轴对称知b＝1，此时当x>0时，f(x)>0，故C不符合；对于选项D，由函数的定义域知x≠0，所以c＝0，由图象关于原点对称知b＝－1，若0<a<1，则当x>0时，f(x)<0，当x<0时，f(x)>0，故此时选项D符合． 14．(多选)在平面直角坐标系中，如图放置的边长为2的正方形ABCD沿x轴滚动(无滑动滚动)，点D恰好经过坐标原点，设顶点B(x，y)的轨迹方程是y＝f(x)，则对函数y＝f(x)的判断正确的是(　　) A．函数y＝f(x)是奇函数 B．对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x－4) C．函数y＝f(x)的值域为[0，2] D．函数y＝f(x)在区间[6，8]上单调递增 BCD　解析：由题意得，当－4≤x<－2时，点B的轨迹是以(－2，0)为圆心，2为半径的圆；当－2≤x<2时，点B的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆；当2≤x<4时，点B的轨迹是以(2，0)为圆心，2为半径的圆，如图所示． 此后依次重复，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，由图象可知，函数f(x)为偶函数，故A错误；因为f(x)以8为周期，所以f(x＋8)＝f(x)，即f(x＋4)＝f(x－4)，故B正确；由图象可知，f(x)的值域为[0，2]，故C正确；由图象可知，f(x)在[－2，0]上单调递增，因为f(x)以8为周期，所以f(x)在[6，8]上的图象和在[－2，0]上的图象相同，即单调递增，故D正确． 15．函数f(x)＝x(|x|－2)在[m，n]上的最小值为－1，最大值是3，则n－m的最大值为________． 答案：4＋　解析：函数f(x)＝x(|x|－2)＝的图象如图， 当x≥0时，令x(x－2)＝3，得x1＝－1(舍)，x2＝3，当x<0时，令x(－x－2)＝－1，得x3＝－1－，x4＝－1＋(舍)，结合图象可得(n－m)max＝x2－x3＝3－(－1－)＝4＋. 16．若关于x的不等式4ax－1<3x－4(a>0，且a≠1) 对于任意的x>2恒成立，求实数a的取值范围． 解：不等式4ax－1<3x－4等价于ax－1<x－1.令f(x)＝ax－1，g(x)＝x－1，当a>1时，在同一直角坐标系中作出两个函数的图象如图(1)所示， 由图知不满足条件；当0<a<1时，在同一直角坐标系中作出两个函数的图象如图(2)所示，当x≥2时，f(2)≤g(2)，即a2－1≤×2－1，解得a≤，所以实数a的取值范围是(0，]. 17．已知函数f(x)＝|x|(x－a)，a>0. (1)作出函数f(x)的图象； (2)写出函数f(x)的单调区间； (3)当x∈[0，1]时，由图象写出f(x)的最小值． 解：(1)f(x)＝其图象如图所示． (2)由图可知，函数f(x)的单调递增区间是(－∞，0)，(，＋∞)，单调递减区间是(0，). (3)由图象知，当>1，即a>2时，f(x)min＝f(1)＝1－a； 当0<≤1，即0<a≤2时，f(x)min＝f()＝－. 综上，f(x)min＝ 学科网（北京）股份有限公司 $$