课时训练(14) 第2章 第6节 第三课时 对数函数（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A培优版）

一、单选题 1．若函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)的反函数的图象过点(1，3)，则f(log28)等于(　　) A．－1 B．1 C．2 D．3 B　解析：依题意，函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)的反函数，即函数y＝ax的图象过点(1，3)，则a＝3，f(x)＝log3x，于是得f(log28)＝log3(log28)＝log33＝1，所以f(log28)＝1. 2．函数f(x)＝log2(|x|－1)的图象为(　　) A　解析：函数f(x)＝log2(|x|－1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，排除B，C；由f(－x)＝log2(|－x|－1)＝log2(|x|－1)＝f(x)，可知函数f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，排除D. 3．已知函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)满足f()<f()，则f(2x－1)>0的解集为(　　) A．(0，1) B．(－∞，1) C．(1，＋∞) D．(0，＋∞) C　解析：方法一　因为函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上为单调函数，而<且f()<f()，所以f(x)＝logax在(0，＋∞)上单调递增，结合对数函数的图象与性质可得f(2x－1)>0，即2x－1>1，所以x>1. 方法二　由f()<f()知loga＜loga，所以loga2－1<loga3－1，所以loga2<loga3，所以a>1，由f(2x－1)>0得loga(2x－1)>0，所以2x－1>1，即x>1. 4．(2025·邯郸模拟)函数f(x)＝log0.2(1－x2)的递增区间为(　　) A．(－1，0] B．(－1，1) C．[0，1) D．[0，＋∞) C　解析：由函数f(x)＝log0.2(1－x2)，可得函数f(x)的递增区间满足解得0≤x<1，所以函数f(x)的递增区间为[0，1). 5．(2025·贵阳模拟)已知a＝40.3，b＝(log4a)4，c＝log4(log4a)，则(　　) A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．c>a>b A　解析：因为a＝40.3>40＝1，b＝(log4a)4＝0.34<1，且0.34>0，则0<b<1，c＝log4(log4a)＝log40.3<0，所以a>b>c. 6．(2025·开封模拟)已知函数f(x)＝loga(6－ax)(a>0，且a≠1)在(0，2)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A.(1，3] B．(1，3) C．(0，1) D．(1，＋∞) A　解析：令t(x)＝6－ax，因为a>0，所以t(x)＝6－ax为减函数．又由函数f(x)＝loga(6－ax)在(0，2)上单调递减，可得函数t(x)＝6－ax>0在(0，2)上恒成立，且a>1，故有解得1<a≤3. 二、多选题 7．(2024·大连二模)关于函数f(x)＝lg (－1)，下列说法正确的有(　　) A．f(x)的定义域为(－1，1) B．f(x)的函数图象关于y轴对称 C．f(x)的函数图象关于原点对称 D．f(x)在(0，1)上单调递增 ACD　解析：因为f(x)＝lg (－1)＝lg ，则>0，解得－1<x<1，所以f(x)的定义域为(－1，1)，故A正确；因为f(－x)＝lg ＝－f(x)，即f(x)为奇函数，所以f(x)的图象关于原点对称，故B错误，C正确；因为y＝－1在(0，1)上单调递增，y＝lg x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝lg (－1)在(0，1)上单调递增，故D正确． 8．已知函数f(x)＝lg ，则下列说法正确的有(　　) A．函数f(x)的图象关于y轴对称 B．当x>0时，f(x)单调递增，当x<0时，f(x)单调递减 C．函数f(x)的最小值是lg 2 D．函数f(x)的图象与直线x＝2有四个交点 AC　解析：f(x)＝lg 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且满足f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，故A正确；当x>0时，f(x)＝lg ＝lg (x＋)，由y＝x＋的性质可知其在(0，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，所以由复合函数的单调性可知，f(x)在(0，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，故B不正确；当x>0时，x＋≥2(当且仅当x＝1时取等号)，又f(x)是偶函数，所以函数f(x)的最小值是lg 2，故C正确；由函数的定义可得，函数f(x)的图象与直线x＝2不可能有四个交点，故D不正确． 三、填空题 9．已知函数f(x)＝|logx|的定义域为[，m]，值域为[0，1]，则m的取值范围为________． 答案：[1，2]　解析：作出f(x)＝|logx|的图象(如图)，可知f()＝f(2)＝1，f(1)＝0，由题意结合图象知，1≤m≤2. 10．(2025·揭阳模拟)已知函数f(x)满足：①f(x)＋f()＝0；②在定义域内单调递增．请写出一个符合条件①②的函数的表达式________． 答案：f(x)＝ln x(答案不唯一)　解析：取f(x)＝ln x，则f(x)＋f()＝ln x＋ln ＝ln x－ln x＝0，满足①；因为e>1所以f(x)＝ln x在定义域(0，＋∞)内单调递增，满足②，故符合条件①②的函数的表达式可以为f(x)＝ln x． 四、解答题 11．(2024·上海二模)已知函数y＝f(x)，其中f(x)＝log. (1)求证：y＝f(x)是奇函数； (2)若关于x的方程f(x)＝log(x＋k)在区间[3，4]上有解，求实数k的取值范围． (1)证明：函数y＝log的定义域为D＝(－∞，－2)∪(2，＋∞)， 在D中任取一个实数x，都有－x∈D，并且f(－x)＝log＝log＝log()－1＝－f(x). 因此，y＝log是奇函数． (2)解：f(x)＝log(x＋k)等价于x＋k＝， 即k＝－x＝－x＋1在[3，4]上有解． 记g(x)＝－x＋1，因为g(x)在[3，4]上为减函数， 所以g(x)max＝g(3)＝2，g(x)min＝g(4)＝－1， 故g(x)的值域为[－1，2]， 因此，实数k的取值范围为[－1，2]. 12．(2025·潍坊模拟)已知函数f(x)＝log2x＋log2(4－x)，则(　　) A．f(x)在(0，4)内单调递减 B．f(x)是偶函数 C．f(x)的图象关于点(2，0)中心对称 D．f(x)的最大值为2 D　解析：由f(x)＝log2x＋log2(4－x)知即0<x<4，f(x)＝log2x＋log2(4－x)＝log2(－x2＋4x)，令t＝－x2＋4x，则y＝log2t，因为x∈(0，4)时，t＝－x2＋4x不单调，所以f(x)不单调，故A错误；因为f(x)的定义域为(0，4)，不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数，故B错误；因为f(4－x)＝log2(－x2＋4x)≠－f(x)，所以f(x)的图象不关于点(2，0)中心对称，故C错误；因为t＝－x2＋4x，x∈(0，4)，所以当x＝2时，tmax＝4，因为y＝log2t是增函数，所以ymax＝log24＝2，故D正确． 13．(2025·濮阳模拟)已知函数f(x)＝lg (＋x)＋a，且f(ln 3)＋f(ln )＝1，则a＝________． 答案：　解析：∵f(－x)＋f(x)＝lg (－x)＋a＋lg (＋x)＋a＝2a，∴f(ln 3)＋f(ln )＝f(ln 3)＋f(－ln 3)＝2a＝1，∴a＝. 14．若函数f(x)＝ln (ax2＋x＋2)的定义域为R，则实数a的取值范围为________；若此函数的值域为R，则实数a的取值范围为________． 答案：(，＋∞)　[0，]　解析：根据题意得，ax2＋x＋2>0的解集为R， ∴解得a>，∴实数a的取值范围为(，＋∞).∵f(x)的值域为R， ∴a＝0或 解得a＝0或0<a≤，即0≤a≤，∴实数a的取值范围为[0，]. 15．(2025·镇江质检)已知函数f(x)＝(log2x－2)·(log4x－). (1)当x∈[2，4]时，求该函数的值域； (2)若f(x)≥mlog4x对任意x∈[4，16]恒成立，求实数m的取值范围． 解：(1)f(x)＝(2log4x－2)(log4x－)， 令t＝log4x，因为x∈[2，4]，所以t∈[，1]， 所以y＝(2t－2)(t－)＝2t2－3t＋1＝2(t－)2－. 因为t∈[，1]，所以y∈[－，0]， 所以该函数的值域为[－，0]. (2)由(1)知f(x)≥mlog4x对任意x∈[4，16]恒成立， 即2t2－3t＋1≥mt对任意t∈[1，2]恒成立， 所以m≤2t＋－3对任意t∈[1，2]恒成立． 由对勾函数的单调性可知， g(t)＝2t＋－3在[1，2]上单调递增，所以m≤g(1)＝0. 故实数m的取值范围为(－∞，0]. 16．函数f(x)的定义域为D，若满足：①f(x)在D内是单调函数；②存在[m，n]⊆D使f(x)在[m，n]上的值域为[，].那么就称y＝f(x)为“半保值函数”，若函数f(x)＝loga(ax＋t2)(a>0，且a≠1)是“半保值函数”，求t的取值范围． 解：∵函数f(x)＝loga(ax＋t2)(a>0，且a≠1)是“半保值函数”，且定义域为R， 当a>1时，z＝ax＋t2在R上单调递增，y＝logaz在(0，＋∞)上单调递增，可得f(x)为R上的增函数；当0＜a＜1时，f(x)仍为R上的增函数，∴f(x)在定义域R上为增函数， ∴方程loga(ax＋t2)＝x有两个不同的根，∴ax＋t2＝ax，即ax－ax＋t2＝0， 令u＝ax，u>0，即u2－u＋t2＝0有两个不同的正数根，可得1－4t2>0，且t2>0， 解得t∈(－，0)∪(0，). 学科网（北京）股份有限公司 $$