课时训练(13) 第2章 第6节 第二课时 指数函数（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A培优版）

一、单选题 1．(2025·青岛模拟)函数f(x)＝ax－a(a>0，且a≠1)的零点为(　　) A．0 B．1 C．(1，0) D．a B　解析：因为f(x)＝ax－a(a>0，且a≠1)，令f(x)＝ax－a＝0，解得x＝1，即函数的零点为1. 2．已知a＝31.2，b＝1.20，c＝()－0.9，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a<c<b B．c<b<a C．c<a<b D．b<c<a D　解析：因为b＝1.20＝1，c＝()－0.9＝30.9，且y＝3x为增函数，1.2>0.9>0，所以31.2>30.9>30＝1，即a>c>b. 3．函数y＝()－x2＋2x的单调递增区间是(　　) A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1] C．[1，＋∞) D．(－∞，1] C　解析：令t＝－x2＋2x，则y＝()t，因为t＝－x2＋2x在(－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减，y＝()t在定义域内为减函数，所以y＝()－x2＋2x在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增． 4．(2025·连云港模拟)若函数f(x)＝x(1＋)是偶函数，则m＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 A　解析：函数f(x)＝x(1＋)的定义域为{x|x≠0}，由f(x)是偶函数，得f(－x)＝f(x)，即－x(1＋)＝x(1＋)，整理得＝－2，所以m＝－2. 5．若∃x>0使ex(x＋a)<1成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，＋∞) B．(－∞，1) C．(－∞，－1) D．(－∞，－1) B　解析：由题设知，∃x>0使x＋a<e－x成立，令y＝x＋a，y1＝e－x，所以x>0时有y1＝e－x∈(0，1)，而y＝x＋a∈(a，＋∞)，所以当a<1时，∃x>0，使得ex(x＋a)<1成立． 6．(2025·广安一模)已知函数f(x)＝2x＋(x∈R)，则f(x)的图象(　　) A．关于直线x＝1对称 B．关于点(1，0)对称 C．关于直线x＝0对称 D．关于原点对称 A　解析：对于A项，由已知可得，f(2－x)＝22－x＋＝＋4·＝＋2x＝f(x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，故A项正确；对于B项，因为f(2－x)＝2x＋，则f(2－x)≠－f(x)，故B项错误；对于C项，f(－x)＝2－x＋＝＋4·2x，则f(－x)≠f(x)，故C错误；对于D项，因为f(－x)＝4·2x＋，则f(－x)≠－f(x)，故D错误． 二、多选题 7. 函数f(x)＝ax－b(a>0，且a≠1)的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　) A．a>1 B．0<a<1 C．b>0 D．b<0 BD　解析：由函数f(x)＝ax－b的图象可知，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，∴0<a<1，故B正确；分析可知，函数f(x)＝ax－b的图象由y＝ax的图象向左平移所得，如图， ∴－b>0，∴b<0，故D正确． 8．已知函数f(x)＝|2x－1|，实数a，b满足f(a)＝f(b)(a<b)，则(　　) A．2a＋2b>2 B．∃a，b∈R，使得0<a＋b<1 C．2a＋2b＝2 D．a＋b<0 CD　解析：画出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图所示． 由图知1－2a＝2b－1，则2a＋2b＝2，故A错误，C正确；由基本不等式可得2＝2a＋2b>2＝2，所以2a＋b<1，则a＋b<0，故B错误，D正确． 三、填空题 9．(2024·上海宝山一模)设a，b为常数，若a>1，b<－1，则函数y＝ax＋b的图象必定不经过第________象限． 答案：二　解析：已知a>1，b<－1，则指数函数y＝ax单调递增，过定点(0，1)，且|b|>1，函数y＝ax＋b的图象是由函数y＝ax向下平移|b|个单位长度，作出函数y＝ax＋b的图象，可知图象必定不经过第二象限． 10．(2025·东莞调研)已知函数f(x)＝＋是奇函数，则a＝________． 答案：1　解析：方法一　f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以＋＝－(＋)，即＋＝－－，所以＋＝－1，即＝－1，所以a＝1. 方法二　f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，因为f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)，即＋＝－(＋)，解得a＝1.当a＝1时，f(x)＝＋，f(－x)＝＋＝＋＝－＋＝－＋＝－－＝－(＋)＝－f(x)， 所以当a＝1时，f(x)为奇函数． 四、解答题 11．已知函数f(x)＝(a为常数，且a≠0，a∈R)，且f(x)是奇函数． (1)求a的值； (2)若∀x∈[1，2]，都有f(2x)－mf(x)≥0成立，求实数m的取值范围． 解：(1)f(x)＝×2x＋. 因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)， 所以×＋2x＝－(×2x＋)， 所以(＋1)(2x＋)＝0，即＋1＝0，解得a＝－1. (2)因为f(x)＝－2x，x∈[1，2]，f(2x)－mf(x)≥0，所以－22x≥m(－2x)， 所以m≥＋2x，x∈[1，2]， 令t＝2x，t∈[2，4]， 由于y＝t＋在[2，4]上单调递增，所以m≥4＋＝. 故实数m的取值范围是[，＋∞). 12．(2025·杭州模拟)设集合M＝{－1，1}，N＝{x|x>0且x≠1}，函数f(x)＝ax＋λa－x(a>0且a≠1)，则(　　) A．∀λ∈M，∃a∈N，f(x)为增函数 B．∃λ∈M，∀a∈N，f(x)为减函数 C．∀λ∈M，∃a∈N，f(x)为奇函数 D．∃λ∈M，∀a∈N，f(x)为偶函数 D　解析：当λ＝1时，f(x)＝ax＋a－x，a>1时，f(x)在(－∞，0)上不是增函数，故A错误；当λ＝－1时，f(x)＝ax－a－x，a>1时，f(x)在(0，＋∞)上为增函数，B错误；当λ＝1时，f(x)＝ax＋a－x，f(－x)＝ax＋a－x＝f(x)，f(x)为偶函数，故C错误，D正确． 13．函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝ax(a>1).若对任意的x∈[0，2t＋1]，均有f(x＋t)≥[f(x)]3，则实数t的最大值是(　　) A．－ B．－ C．0 D． A　解析：∵f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝ax(a>1)，∴f(x)＝a|x|(a>1)，当x≥0时为增函数，∴[f(x)]3＝(a|x|)3＝a|3x|＝f(3x)，则f(x＋t)≥[f(x)]3等价于f(x＋t)≥f(3x)，即|x＋t|≥|3x|，即8x2－2tx－t2≤0对任意x∈[0，2t＋1]恒成立，设g(x)＝8x2－2tx－t2，则有⇒8(2t＋1)2－2t(2t＋1)－t2≤0，解得－≤t≤－.故实数t的最大值是－. 14．已知函数y＝9x＋m·3x－3在区间[－2，2]上单调递减，则实数m的取值范围为________． 答案：(－∞，－18]　解析：设t＝3x，则y＝9x＋m·3x－3＝t2＋mt－3.因为x∈[－2，2]，所以t∈[，9].又函数y＝9x＋m·3x－3在[－2，2]上单调递减，即y＝t2＋mt－3在[，9]上单调递减，故有－≥9，解得m≤－18. 15．已知函数g(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a>0，b∈R)在区间[2，4]上有最小值1和最大值9，设f(x)＝. (1)求a，b的值； (2)若不等式f(3x)－k·3x≥0在x∈[－1，1]上有解，求实数k的取值范围． 解：(1)函数g(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a＞0，b∈R)， 则对称轴x＝－＝1， 故函数g(x)在[2，4]上单调递增， 所以当x＝2时，g(x)min＝1，当x＝4时，g(x)max＝9， ∴解得 故a的值为1，b的值为0. (2)由(1)得g(x)＝x2－2x＋1，f(x)＝＝x＋－2. 因为不等式f(3x)－k·3x≥0在x∈[－1，1]上有解，所以3x＋－2－k·3x≥0即k≤()2－＋1在x∈[－1，1]上有解， 设t＝，t∈[，3]，所以t2－2t＋1≥k在[，3]上有解，即(t2－2t＋1)max≥k. 设h(t)＝t2－2t＋1，t∈[，3]， 对称轴为直线t＝1，则当t＝3时，h(t)max＝h(3)＝9－6＋1＝4， 所以实数k的取值范围是(－∞，4]. 16．定义在D上的函数f(x)，如果满足：对任意x∈D，存在常数M>0，都有－M≤f(x)≤M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界．已知f(x)＝4x＋a·2x－2. (1)当a＝－2时，求函数f(x)在(0，＋∞)上的值域，并判断函数f(x)在(0，＋∞)上是否为有界函数，请说明理由； (2)若函数f(x)在(－∞，0)上是以2为上界的有界函数，求实数a的取值范围． 解：(1)当a＝－2时，f(x)＝4x－2×2x－2＝(2x－1)2－3， 令2x＝t，由x∈(0，＋∞)，可得t∈(1，＋∞). 令g(t)＝(t－1)2－3，有g(t)>－3，可得函数f(x)的值域为(－3，＋∞)， 故函数f(x)在(0，＋∞)上不是有界函数． (2)由题意有，当x∈(－∞，0)时，－2≤4x＋a·2x－2≤2，可化为0≤4x＋a·2x≤4，必有a·2x≥－4x且a≤－2x. 令2x＝k，由x∈(－∞，0)，可得k∈(0，1)， 由a·2x≥－4x恒成立，可得a≥0， 令h(k)＝－k(0<k<1)，可知函数h(k)为减函数，有h(k)>h(1)＝4－1＝3， 由a≤－2x恒成立，可得a≤3， 故若函数f(x)在(－∞，0)上是以2为上界的有界函数，则实数a的取值范围为[0，3]. 学科网（北京）股份有限公司 $$