课时训练(11) 第2章 第5节 二次函数与幂函数（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A培优版）

一、单选题 1．(2024·日照二模)已知幂函数图象过点(2，4)，则函数的解析式为(　　) A．y＝2x B．y＝x2 C．y＝log2x D．y＝sin x B　解析：设幂函数的解析式为y＝xα，由于函数过点(2，4)，故4＝2α，解得α＝2，该幂函数的解析式为y＝x2. 2．若幂函数f(x)＝(m2－4m＋4)·xm2－6m＋8在(0，＋∞)上为增函数，则m的值为(　　) A．1或3 B．1 C．3 D．2 B　解析：由题意得m2－4m＋4＝1，且m2－6m＋8>0，解得m＝1. 3．(2025·保定模拟)已知a＝2，b＝3，c＝25，则(　　) A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b A　解析：由题意得b＝3＜4＝2＝a，a＝2＝4＜4＜5＝25＝c，所以b＜a＜c. 4．(2025·汕头期末)“函数f(x)＝－x2＋2mx在区间[1，3]上不单调”的一个必要不充分条件是(　　) A．2≤m＜3 B．≤m≤ C．1≤m＜3 D．2≤m≤ C　解析：由题意知，函数f(x)图象的对称轴是直线x＝m，则1＜m＜3.结合选项可知，函数f(x)＝－x2＋2mx在区间[1，3]上不单调的一个必要不充分条件是1≤m＜3. 5．(2025·洛阳一中检测)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若a>b>c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是(　　) D　解析：由a>b>c且a＋b＋c＝0，得a>0，c＜0，所以函数图象开口向上，排除A，C.又f(0)＝c＜0，所以排除B. 6．(2025·合肥模拟)若0<x1<x2，则下列函数：①f(x)＝x；②f(x)＝x2；③f(x)＝x3；④f(x)＝；⑤f(x)＝中，满足条件f()≤(0<x1<x2)的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 D　解析：若满足条件f()≤(0<x1<x2)，则函数图象在y轴右侧为一条直线或下凸曲线，根据函数图象易得④f(x)＝不满足，其余都满足． 二、多选题 7．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论中正确的是(　　) A．b＝－2a B．a＋b＋c<0 C．a－b＋c>0 D．abc<0 AD　解析：由题图可知a<0，对称轴x＝－＝1，则b＝－2a，则b>0，又f(0)＝c>0，所以abc<0，由于f(－1)<0，则a－b＋c<0，由于f(1)>0，则a＋b＋c>0. 8．已知函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋a，若对于区间[－1，2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有f(x1)≠f(x2)，则实数a的取值范围可以是(　　) A．(－∞，0] B．[0，3] C．[－1，2] D．[3，＋∞) AD　解析：二次函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋a图象的对称轴为直线x＝a－1，∵对于任意x1，x2∈[－1，2]且x1≠x2，都有f(x1)≠f(x2)，即f(x)在区间[－1，2]上是单调函数，∴a－1≤－1或a－1≥2，解得a≤0或a≥3，即实数a的取值范围为(－∞，0]∪[3，＋∞). 三、填空题 9．已知α∈，若幂函数f(x)＝xα的图象关于y轴对称，且在区间(0，＋∞)内单调递减，则α＝________． 答案：－2　解析：因为幂函数f(x)＝xα的图象关于y轴对称，则α必为偶数，又f(x)＝xα在区间(0，＋∞)内单调递减，则α为负数，综上可得，α＝－2. 10．若函数φ(x)＝x2＋m|x－1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围是________． 答案：[－2，0]　解析：当0≤x＜1时，φ(x)＝x2－mx＋m，此时φ(x)单调递增，所以≤0，即m≤0； 当x≥1时，φ(x)＝x2＋mx－m，此时φ(x)单调递增，所以－≤1，即m≥－2. 综上所述，实数m的取值范围是[－2，0]. 四、解答题 11．已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值． 解：(1)当a＝0时，f(x)＝－2x在[0，1]上单调递减，∴f(x)min＝f(1)＝－2. (2)当a＞0时，f(x)＝ax2－2x的图象的开口方向向上，且对称轴为x＝. ①当≤1，即a≥1时，f(x)＝ax2－2x图象的对称轴在[0，1]内，∴f(x)在[0，]上单调递减，在[，1]上单调递增， ∴f(x)min＝f()＝－＝－. ②当＞1，即0＜a＜1时，f(x)＝ax2－2x图象的对称轴在[0，1]的右侧，∴f(x)在[0，1]上单调递减， ∴f(x)min＝f(1)＝a－2. (3)当a＜0时，f(x)＝ax2－2x的图象的开口方向向下，且对称轴x＝＜0，在y轴的左侧， ∴f(x)＝ax2－2x在[0，1]上单调递减， ∴f(x)min＝f(1)＝a－2. 综上所述，f(x)min＝ 12．(多选)由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1，0)，…，求证：这个二次函数的图象关于直线x＝2对称．根据现有信息，题中的二次函数可能具有的性质是(　　) A．在x轴上截得的线段的长度是2 B．与y轴交于点(0，3) C．顶点是(－2，－2) D．过点(3，0) ABD　解析：由已知得解得b＝－4a，c＝3a，所以二次函数为y＝a(x2－4x＋3)，其顶点的横坐标为2，所以顶点一定不是(－2，－2)，与x轴交点的坐标为(1，0)，(3，0)，所以A，D正确，当a＝1，即c＝3时，与y轴交于点(0，3)，所以B正确． 13. 已知幂函数y＝xa与y＝xb的部分图象如图所示，直线x＝m2，x＝m(0<m<1)与y＝xa，y＝xb的图象分别交于A，B，C，D四点，且|AB|＝|CD|，则ma＋mb等于(　　) A． B．1 C． D．2 B　解析：由题意，|AB|＝|(m2)a－(m2)b|，|CD|＝|ma－mb|，根据图象可知b>1>a>0，当0<m<1时，(m2)a>(m2)b，ma>mb，因为|AB|＝|CD|，所以m2a－m2b＝(ma＋mb)(ma－mb)＝ma－mb，因为ma－mb>0，所以ma＋mb＝1. 14．已知幂函数f(x)＝()，若f(a－1)<f(8－2a)，则实数a的取值范围是________. 答案：(3，4)　解析：由幂函数f(x)＝()＝＝x－，可得函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且是减函数．因为f(a－1)<f(8－2a)，可得解得3<a<4，即实数a的取值范围为(3，4). 15．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c满足以下条件：图象与x轴交于(－2，0)，(4，0)两点，且过点(1，－)，则函数解析式为________． 答案：y＝x2－x－4　解析：因为二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交于(－2，0)，(4，0)两点，所以设二次函数解析式为y＝a(x＋2)(x－4)(a≠0)，又该函数过点(1，－)，所以－＝a(1＋2)(1－4)，解得a＝，所以所求函数解析式为y＝(x＋2)(x－4)，即y＝x2－x－4. 16．已知函数f(x)＝x2－a|x－1|－1(a∈R). (1)若f(x)≥0在x∈R上恒成立，求实数a的取值范围； (2)求f(x)在[－2，2]上的最大值M(a). 解：(1)由题意可得x2－1≥a|x－1|(*)对x∈R恒成立， ①当x＝1时，(*)显然成立，此时a∈R； 当x≠1时，(*)可变形为a≤， 令m(x)＝＝ ②当x＞1时，m(x)＞2，a≤2； ③当x＜1时，m(x)＞－2，a≤－2. 综上，实数a的取值范围是(－∞，－2]. (2)f(x)＝ 得f(1)＝0，f(2)＝3－a，f(－2)＝3－3a， ①当a≥3时， ∵f(－2)＜f(2)≤f(1)＝0，∴M(a)＝0； ②当0≤a＜3时， ∵f(－2)≤f(2)，f(1)<f(2)＝3－a， ∴M(a)＝3－a； ③当a＜0时， ∵f(1)＜f(2)＜f(－2)＝3－3a， ∴M(a)＝3－3a. ∴M(a)＝ 17．已知x1，x2是一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根． (1)是否存在实数k，使得(2x1－x2)(x1－2x2)＝－成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． (2)求使＋－2的值为整数的实数k的整数值． 解：(1)假设存在实数k，使得(2x1－x2)(x1－2x2)＝－成立， ∵x1，x2是一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根， ∴ 解得k＜0(不要忽略判别式的要求)， 由根与系数的关系得 ∴(2x1－x2)(x1－2x2)＝2(x＋x)－5x1x2＝2(x1＋x2)2－9x1x2＝－＝－，解得k＝， 又k＜0， ∴不存在实数k，使得(2x1－x2)(x1－2x2)＝－成立. (2)∵＋－2＝－2＝－4＝－4＝－， ∴要使其值是整数，只需要k＋1能被4整除， 故k＋1＝±1，±2，±4， 即k＝0，－2，1，－3，3，－5. ∵k＜0，∴k＝－2，－3，－5. 学科网（北京）股份有限公司 $$