课时训练(10) 第2章 第4节 函数性质的综合（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A培优版）

一、单选题 1．(2025·武汉模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，若f(－2)＝1，则满足|f(2x)|≤1的x的取值范围是(　　) A．[－1，1] B．[－2，2] C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．(－∞，－2]∪[2，＋∞) A　解析：根据奇函数的性质，得f(x)在R上单调递减，且f(2)＝－1；由|f(2x)|≤1，得－1≤f(2x)≤1，即f(2)≤f(2x)≤f(－2)，所以－2≤2x≤2，解得－1≤x≤1. 2．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋1)＝f(－x＋1)，当0<x≤1时，f(x)＝x2－2x＋3，则f()等于(　　) A．－ B． C．－ D． C　解析：由题意，函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋1)＝f(－x＋1)，可得f(x＋1)＝－f(x－1)，所以f(x)＝f(x＋4)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数．又由当0<x≤1时，f(x)＝x2－2x＋3，则f()＝f(－)＝－f()＝－f()＝－(－2×＋3)＝－. 3．(2025·茂名一模)函数y＝f(x)和y＝f(x－2)均为定义在R上的奇函数，若f(1)＝2，则f(2 025)＝(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．2 D　解析：因为y＝f(x－2)为奇函数，所以y＝f(x)关于点(－2，0)对称，即f(－x)＋f(x－4)＝0，又y＝f(x)关于原点对称，则f(－x)＝－f(x)，由f(x)＝f(x－4)得f(x＋4)＝f(x)，所以y＝f(x)的周期为4，故f(2 025)＝f(506×4＋1)＝f(1)＝2. 4．(2025·西安模拟)定义域均为R的函数f(x)，g(x)满足f(x)＝g(x－1)，且f(x－1)＝g(2－x)，则(　　) A．f(x)是奇函数 B．f(x)是偶函数 C．g(x)是奇函数 D．g(x)是偶函数 D　解析：因为f(x－1)＝g(2－x)，所以f(－x＋1－1)＝g[2－(－x＋1)]，即f(－x)＝g(1＋x)＝g(x＋2－1)＝f(x＋2)，所以f(x)关于直线x＝1对称，因为f(x)＝g(x－1)，所以g(x)关于y轴对称，即g(x)为偶函数． 5．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上单调递减，若a＝－log310，b＝log8，c＝()－，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为(　　) A.f(a)>f(c)>f(b) B．f(a)>f(b)>f(c) C．f(b)>f(a)>f(c) D．f(c)>f(a)>f(b) C　解析：∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(a)＝f(－log310)＝f(log310)，且2<log310<3，f(b)＝f(－3)＝f(3)，f(c)＝f(2)，且1<2<2.∵f(x)在(－∞，0)上单调递减，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则f(c)<f(a)<f(b). 6．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋b的图象关于点(1，0)对称，则b等于(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 C　解析：∵f(x)的图象关于点(1，0)对称，∴f(x)＋f(2－x)＝0，又f(2－x)＝(2－x)3＋a(2－x)2＋(2－x)＋b＝－x3＋(a＋6)x2－(4a＋13)x＋10＋4a＋b，∴f(x)＋f(2－x)＝(2a＋6)x2－(4a＋12)x＋10＋4a＋2b＝0，∴解得a＝－3，b＝1. 7．(2024·南通三模)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)为偶函数，f(x＋2)－1为奇函数．若f(1)＝0，则(k)＝(　　) A．23 B．24 C．25 D．26 C　解析：f(x＋1)为偶函数，则f(x＋1)＝f(－x＋1)，则f(x)关于直线x＝1对称，f(x＋2)－1为奇函数，则f(－x＋2)－1＝－f(x＋2)＋1，即f(－x＋2)＋f(x＋2)＝2，则f(x)关于点(2，1)对称，则由其关于直线x＝1对称有f(x)＝f(－x＋2)，则f(x)＋f(x＋2)＝2，则f(x＋2)＋f(x＋4)＝2，作差有f(x)＝f(x＋4)，∴f(x)为周期函数，且周期为4，因为f(1)＋f(3)＝2，f(1)＝0，则f(3)＝2，因为f(0)＝f(2)，f(0)＋f(2)＝2，则f(0)＝f(2)＝1，f(4)＝f(0)＝1，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝4，∴(k)＝24，(k)＝24＋0＋1＝25. 8．已知函数f(x＋2)是定义在R上的偶函数，且f(x)在[2，＋∞)上恒有<0(x1≠x2)，则不等式f(ln x)>f(1)的解集为(　　) A．(－∞，e)∪(e3，＋∞) B．(1，e2) C．(e，e3) D．(e，＋∞) C　解析：因为函数f(x＋2)是定义在R上的偶函数，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，在[2，＋∞)上恒有<0(x1≠x2)，当x1<x2时，f(x1)>f(x2)，所以f(x)在[2，＋∞)上单调递减，f(x)在(－∞，2)上单调递增，不等式f(ln x)>f(1)需满足|ln x－2|<|1－2|⇒1<ln x<3，解得e<x<e3. 二、多选题 9．(2025·盐城模拟)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，g(x)＝f(x＋1)为偶函数，下列说法正确的有(　　) A．f(x)的图象关于直线x＝－1对称 B．g(2 023)＝0 C．g(x)的最小正周期为4 D．对任意x∈R都有f(2－x)＝f(x) ABD　解析：因为f(x)为定义在R上的奇函数，且g(x)＝f(x＋1)为偶函数，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，又f(x)为奇函数，所以f(x)的图象关于直线x＝－1对称，所以f(x)＝f(2－x)，A，D正确；由A分析知f(x)＝f(2－x)＝－f(－x)，故f(2＋x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数，则g(2 023)＝f(2 024)＝f(0)＝0，B正确；但不能说明g(x)的最小正周期为4，C错误． 10．定义在R上的函数f(x)的图象关于y轴对称，满足f(2－x)＝f(x)，且在区间[－3，－2]上是减函数，则下列不等式正确的是(　　) A．f(－)>f(1) B．f(－)<f(1) C．f(3)>f(π) D．f(3)<f(π) BC　解析：∵f(x)的图象关于y轴对称，∴f(x)为偶函数，且f(－x)＝f(x)，∵f(2－x)＝f(x)，∴f(x)关于直线x＝1对称，且周期为2，∵f(x)在区间[－3，－2]上是减函数，则在[2，3]上是增函数，可得f(－)＝f()＝f()，f(1)＝f(3)， ∵f()<f(3)，∴f(－)<f(1)，故A错误，B正确； ∵f(π)＝f(－π)＝f(6－π)<f(3)，故C正确，D错误． 11．(2025·沈阳模拟)已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x＋4)－f(x)＝2f(2)，若y＝f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，且对任意的x1，x2∈(0，2)，且x1≠x2，都有＞0，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)是偶函数 B．f(x)的周期T＝4 C．f(2 026)＝0 D．f(x)在(－4，－2)上单调递减 ABC　解析：由y＝f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，得f(1＋x－1)＝f(1－x－1)，即f(x)＝f(－x)，故f(x)是偶函数，A正确；由f(x＋4)－f(x)＝2f(2)，令x＝－2，可得f(2)＝0，所以f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)的周期T＝4，B正确；f(2 026)＝f(4×506＋2)＝f(2)＝0，故C正确；因为f(x)在(0，2)上单调递增，所以f(x)在(－2，0)上单调递减，由周期T＝4，所以f(x)在(－4，－2)上单调递增，故D错误． 三、填空题 12．与f(x)＝ex关于直线x＝1对称的函数是________． 答案：y＝e2－x　解析：设函数f(x)＝ex的图象上的任意一点(x0，y0)关于直线x＝1对称的点的坐标为(x，y)，所以即因为点(x0，y0)在函数f(x)＝ex图象上，所以y0＝ex0，即y＝e2－x. 13．写出一个同时具有性质①②③的函数f(x)＝________． ①f(x)是定义域为R的奇函数；②f(1＋x)＝f(1－x)；③f(1)＝2. 答案：2sin x(答案不唯一)　解析：由①②③可知函数f(x)是对称轴为直线x＝1，定义域为R的奇函数，且f(1)＝2，可写出满足条件的函数f(x)＝2sin x. 14．(2025·河南模拟)已知函数f(x)是偶函数，对任意x∈R，均有f(x)＝f(x＋2)，当x∈[0，1]时，f(x)＝1－x，则函数g(x)＝f(x)－log5(x＋1)的零点有________个． 答案：4　解析：函数f(x)是偶函数，说明函数f(x)的图象关于y轴对称，f(x)＝f(x＋2)说明f(x)的周期是2，在同一平面直角坐标系中画出函数y＝f(x)的图象与y＝log5(x＋1)的图象，如图所示． 如图所示，共有4个不同的交点，即g(x)＝f(x)－log5(x＋1)有4个零点． 15．(2024·毕节三模)已知函数f(x)的图象在x轴上方，对∀x∈R，都有f(x＋2)·f(x)＝2f(1)，若y＝f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，且f(0)＝1，则f(2 023)＋f(2 024)＋f(2 025)＝(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 C　解析：因为y＝f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，所以函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，即函数y＝f(x)是偶函数，故有f(－x)＝f(x).因为∀x∈R，都有f(x＋2)·f(x)＝2f(1)，所以f(x＋4)·f(x＋2)＝2f(1)，所以f(x＋2)·f(x)＝f(x＋4)·f(x＋2)，又函数f(x)的图象在x轴上方，所以f(x)≠0，所以f(x＋4)＝f(x)，即函数y＝f(x)的周期为4.当x＝1时，可得f(3)·f(1)＝2f(1)，所以f(3)＝2，当x＝－1时，可得f(－1＋2)·f(－1)＝2f(1)，所以f(－1)＝2，所以f(1)＝2，所以f(2 023)＋f(2 024)＋f(2 025)＝f(3)＋f(0)＋f(1)＝2＋1＋2＝5. 16．(2024·绍兴二模)已知f(x)是定义域为R的偶函数，且在(－∞，0)上单调递减，a＝f(ln 2.04)，b＝f(－1.04)，c＝f(e0.04)，则(　　) A．a<b<c B．a<c<b C．c<b<a D．c<a<b A　解析：令g(x)＝ex－x－1，x∈(0，1)，可得g′(x)＝ex－1>0，所以g(x)在(0，1)上单调递增，又由g(0)＝0，所以g(x)>g(0)＝0，即g(0.04)>0，可得e0.04>0.04＋1＝1.04，又由ln 2.04∈(0，1)，所以ln 2.04<1.04<e0.04，因为f(x)是定义域为R的偶函数，且在(－∞，0)上单调递减，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且b＝f(－1.04)＝f(1.04)，所以f(ln 2.04)<f(1.04)<f(e0.04)，即f(ln 2.04)<f(－1.04)<f(e0.04)，所以a<b<c. 17．(2024·杭州调研)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对于任意的x∈R，恒有f(x＋1)＝f(x－1)，当x∈[0，1]时，f(x)＝2x－1，且a＝f()，b＝f(0.5－3)，c＝f(0.76)，则a，b，c的大小关系为________． 答案：b＜c＜a　解析：∵f(x)是定义在R上的偶函数，且恒有f(x＋1)＝f(x－1)，∴f(x)＝f(－x)，f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)的最小正周期为2.又a＝f()＝f(－)＝f()，b＝f(0.5－3)＝f(8)＝f(0)，0.76＝0.493＜0.53＜0.5，则0＜0.76＜.∵f(x)＝2x－1在[0，1]上单调递增，∴b＜c＜a. 18．(2025·济宁模拟)已知函数f(x)＝e|x－1|－sin x，则使得f(x)>f(2x)成立的x的取值范围是________． 答案：(0，)　解析：令g(x)＝e|x|－cos x，将其向右平移1个单位长度， 得y＝e|x－1|－cos (x－)＝e|x－1|－sin x， 所以f(x)＝e|x－1|－sin x是由函数g(x)向右平移1个单位长度得到的． 而易知g(x)是偶函数， 当x>0时，g(x)＝ex－cos x， g′(x)＝ex＋sin x； 当0<x≤2时，显然g′(x)>0； 当x>2时，ex>e2，－≤sin x≤， 所以g′(x)>0， 所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减． 从而可知f(x)在(1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1)上单调递减． 所以当f(x)>f(2x)时，有|x－1|>|2x－1|，解得0<x<. 学科网（北京）股份有限公司 $$