课时训练(9) 第2章 第3节 函数的奇偶性与周期性（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A培优版）

色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2XXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 alvs4al(课时训练(9) 函数的奇偶性与周期性 A级 夯基固本练 一、单选题 1.函数x)=红十13x的图象() A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于坐标原点对称 D.关于直线y=x对称 B解析：因为x)=红十13x=3十3-，易知x)为偶函数，所以函数x)的图象关于y 轴对称。 2.(2025九江模拟)若x=2x,x>0,g(x)十x2,x<0)为奇函数，则g(-2)=() A.-8B.-4C.-2D.0 A解析：因为x)为奇函数，所以-2)=一2)=一4，又-2)=g(-2)十4，可得g (-2)=-8 3.设函数x=1一x1十x,则下列函数中为奇函数的是() A.x-1)-1 B.x-1)+1 C.x+1)-1 D.x+1)+1 B解析：由题意可得x)=1-x1十x=一1+21+x,对于A,x一1)-1=2x-2不是奇函 数：对于B,x-1)十1=2是奇函数：对于C,x十1)-1=2x十2-2，定义城不关于原点 对称，不是奇函数：对于D,x十1)+1=2十2，定义域不关于原点对称，不是奇函数. 4.设x)是定义域为R的奇函数，且1十x)=-)若（一13）=13，则53)=() A.-53 B.-13 C.13 D.53 C解析：因为x)是定义域为R的奇函数，则1十x)=f一x)=一x),所以x十2)= 一十1)=x),故x)是周期为2的周期函数，故53)=（一13）=13 5.设x)是定义在R上的周期为2的偶函数，已知当x∈[2,3时，x)=x,则当x∈ [-2,0]时，fx)=() A.x+4 B.2-x C.3-x+1川 D.2+x+1川 C解析：当x∈[-2，-1]时，x+4∈[2,3引，9=x+4)=x+4=3+x+1),当x∈ [一1,0]时，一x∈0,1]，2一x∈[2,3]，因为函数x)为偶函数，所以=（一x)=2-x) =2-x=3-x+1),综上所述，当x∈[-2,0]时，x)=3-k+1 6.(2025杭州期中)已知函数x)的定义域为R,且x+1)+x一1)=2，若0)=2，则 =1)=() A.118B.119 C.120D.121 ·独家授权侵权必究 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2XXK.com○ 您身边的互联网+教辅专家 A解析：由x+1)+x一1)=2得x+3)+x+1)=2,所以x+3)=x一1)，则x) 为周期为4的周期函数，因为0)=2，x+1)+x-1)=2,所以3)+1)=2,4)+2)=2， 2)+0)=2,2)=0,所以=119)=29[1)+2)+3)+4)]+f1)+2)+3)=118 二、多选题 7.设函数x)=一e一x2,则下列结论正确的有( A.x是偶函数 B.一fx)是奇函数 C.xx)是奇函数 D.x)x)是偶函数 ABC解析：x)=x一e一x2,定义域为R,则f一x)=e一x一x2=一x),∴x)是奇 函数，为偶函数，一fx)为奇函数，xx为奇函数，xx)是奇函数. 8.定义在R上的函数x)满足fx十y)=+),当x<0时，>0，则函数fx)满足() A.0)=0 B.y=x)为奇函数 C.x)在R上单调递增 D.x1)+x2-1)>0的解集为{x-2<1} ABD解析：由题意，定义在R上的函数)满足x十)=)十y,对于A,令x=y =0,则0)=0)十0)，即0)=0，故A正确：对于B,令y=一x,则0)=x)十一x)= 0,即一x)=一x,所以y=x)为奇函数，故B正确：对于C,任取，2∈R,且 ,则)一x2)=一十)-一2)=一x)十2)一x)=一x),因为x2,所以 一20，所以x1一)>0，即))，所以函数x)在R上单调递减，故C错误：对于 D,由x-1)+x2-1>0,可得fx一1)>一a2-1)=1一x),由C知函数x)在R上单调递 减，所以x-1<1-x2,解得-2x<1,所以x-1)+x2-1>0的解集为{x-2<<1},故D 正确. 三、填空题 9.(2025临沂模拟)已知x)是定义在R上的奇函数，当x<10时，x)=2lg(一x)一x2, 则10 答案：9解析：由题意得为奇函数且定义域为R,所以10=一一10)，所以f (-10=2lg10-(102=1-10=-9,所以10)=9 10.(2025·安康摸拟)已知定义在R上的奇函数fx)满足x一1)=-x十3)，当x∈[0,2] 时，fx)=x2-2x,则23)= 答案：1解析：由题意，得一x)=一x),在x一1)=一x十3)中，以x十1替换x, 得x)=-x十2)(*的，以x+2替换()式中的x,得x十2)=-x)=一x),所以x+4)=f ◆独家授权侵权必究 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2xXK.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 c),所以4为函数x)的-个周期，所以23)=4×6-1)=(-1)=一1)=一(1一2×1)=1 四、解答题 11.设)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x,恒有+2)=-x).当x∈[0,2] 时，fx)=2x-x2 (1)求证：fx)是周期函数， (2)当x∈2,4]时，求x)的解析式。 (1)证明：fx+2)=一fx),.x+4)=一f十2)=fx).x)是周期为4的周期函数. (2)解：xe2,4],.-x∈[-4，-2]， ∴.4-x∈[0,2] 4-x)=2(4-x)-(4-x)2=-x2+6r-8 4-x)=f一x)=-fx),一fx)=-x2+6r-8, 即当x∈[2,4时，x)=x2-6m+8 B级一能力进阶练 12.(多选)x)是定义在R上的偶函数，对Vx∈R,均有fx+2)=一x),当x∈[0,1]时， )=log2(2一x),则下列结论正确的是( A.函数x)的一个周期为4 B.2025)=0 C.当x∈[2,3]时，)=-log2(4-x) D.函数fx)在[0,2025]内有1012个零点 ABC解析：f)是定义在R上的偶函数，对x∈R,均有f十2)=-fx,fx十4) =-x+2)=x),∴.函数的周期为4，故A正确：2025)=4×506+1)=1)=0，故B正 确：当x∈[2,3]时，x-2∈[0,1]，则fx)=一x-2)=-log[2-x-2)]=-1og2(4-x),故 C正确：易知1)=3)=5)=…=2023)=2025)=0，于是函数x)在[0,2025)]内有1013 个零点，故D错误 13.(多选)2024日照模拟)已知函数x)的定义域为R,满足fx))一)=y-y,则() A.0)=1 B.-1)=1 C.x十1)为偶函数 D.x十I)为奇函数 AD解析：对于A,令y=0,得xf0)一)=0，即x)[O)-1]=0,所以x)=0或1 O)=1当x)=0时，xy一x)=y一y不恒成立，故O)=1,故A正确.对于B,令x 0,得0)优y一0)=一y,又0)=1，所以y=1一y,故(-1)=1+1=2，故B错误.对 于C,D,由B选项可知x)=1一x,则+l)=一x,所以x+1)为奇函数，故C错误，D 正确 14.(2025曲请模拟)写出满足(2x一1)为R上的偶函数且0)=2的一个函数解析式： ·独家授权侵权必究 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2XXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 答案：x)=(c+1)2+1(答案不唯一)解析：由2x一1)为R上的偶函数可得-2x一1) =2x一1)，所以（一x-1)=x一1），则x)的图象关于直线x=一1对称，又0)=2，结合 二次函数性质可得x)=(x十1)2+1，答案不唯一 15.已知函数fx+1)=1+f(x)1-f(x),若1)=2，则2025)= 答案：2解析：由fx+l)=1+f(x)1-f(x),联想tan(c十π4)=1十tan xI一tamx,由 于函数y=tan(x十π4)的最小正周期为元=4×π4，故猜想函数x十1)的周期为4×1=4事实 上，由fx+2)=fx+1)+1]=1+f(x)1-f(x)1+f(x)1-f(x)=-f(x,得f+ 4)=x+2)+2]=一1f(x+2)=fx),即函数fx)的周期是4，.2025)=4×506+1)=/ (1)=2 16.函数x)的定义域为D={x比≠0}，且满足对于任意，龙∈D,有·)=)十 fx2) (1)求1)的值： (2)判断x)的奇偶性并证明你的结论： (3)如果4)=1，x一1)<2，且x)在(0，十∞)上是增函数，求x的取值范围. 解：(1)因为对于任意x1,2∈D,有：·)=)十x), 所以令=x2=1,得1)=21)，所以1)=0 (2)x)为偶函数。 证明：令：=x=一1，有1)=(-1)+（一1） 所以-1)=12求1)=0 令=-1,2=x,有一x)=八-1)+) 所以孔一x)=), 所以x)为偶函数， (3)依题意有4×4)=4)+4)=2， 由(2)知，x)是偶函数， 所以fx-1)<2ex-1D<16 又)在(0，十)上是增函数， 所以0<k-1<16,解得-15<x<17且x≠1 所以x的取值范围是一15<x<17,且x≠1}. 17.己知函数y=x)的定义域为R,并且满足x十y=x+y),13)=1,且当x>0时， >0 (1)求0)的值： (2)判断函数fx)的奇偶性并证明： (3)判断函数x)的单调性，并解不等式)十2十x)2 解：(1)令x=y=0,则0)=0)+0)， 独家授权侵权必究 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2XXK.com○ 您身边的互联网+敷辅专家 0)=0 (2)函数x)是R上的奇函数.证明如下： 令y=一x,得0)=fx)+-)=0, 一x)=一x),故函数x)是R上的奇函数. (3)函数fx)是R上的增函数，证明如下： 任取，x2∈R,灯2，则2一>0， fx)一)=一十)一)=一1)+)一f)=fx2一)0， x)x),故函数)是R上的增函数. .13)=1,.∴23)=13+13)=13)+f13)=2,.fx)+2+x)=f+(2+x)=f2+ 2)23) 又由y=x)是定义在R上的增函数，得2十2<23，解得x<-23,故不等式x)十2+ x)2的解集为（一，一23） ·独家授权侵权必究·