课时训练(8) 第2章 第2节 函数的单调性与最值（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A培优版）

一、单选题 1．下列函数中，在区间(1，＋∞)上单调递减的是(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝e－x C．f(x)＝x＋ D．f(x)＝ln x B　解析：对于A，f(x)＝在定义域[0，＋∞)上单调递增，故A错误；对于B，f(x)＝e－x＝()x在定义域R上单调递减，故B正确；对于C，f(x)＝x＋，则f′(x)＝1－＝，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)＝x＋在(1，＋∞)上单调递增，故C错误；对于D，f(x)＝ln x在定义域(0，＋∞)上单调递增，故D错误． 2．(2025·广东四校联考)函数y＝()x2－3x＋2的单调递增区间是(　　) A．(－∞，1] B．[1，2] C．[，＋∞) D．(－∞，] D　解析：y＝()u在R上单调递减，由复合函数的单调性可知，只需求出u＝x2－3x＋2的单调递减区间．易知u＝x2－3x＋2＝(x－)2－的单调递减区间为(－∞，]，故y＝()x2－3x＋2的单调递增区间是(－∞，]. 3．(2025·阳泉模拟)若函数f(x)＝4|x－a|＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则a的取值范围是(　　) A．[1，＋∞) B．(1，＋∞) C．(－∞，1) D．(－∞，1] B　解析：因为函数f(x)＝4|x－a|＋3在(－∞，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增．又函数f(x)在区间[1，＋∞)上不单调，所以a>1，故选B. 4．已知函数f(x)＝ex＋4x＋1，a＝f(ln 4)，b＝f(ln 3)，c＝f(1)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．b>c>a B．c>b>a C．b>a>c D．a>b>c D　解析：函数f(x)＝ex＋4x＋1的定义域为R，且f(x)是增函数，因为ln 4>ln 3>1，所以f(ln 4)>f(ln 3)>f(1)，即a>b>c. 5．(2025·南昌开学考试)已知f(x)＝则不等式f(x＋3)<f(x2＋3x)的解集是(　　) A．(－3，1) B．(0，1) C．(－∞，－3)∪(1，＋∞) D．(1，＋∞) A　解析：f(x)＝可得当x≤0时，f(x)单调递减，当x>0时，f(x)单调递减，且x＝0时函数连续，则f(x)在R上单调递减， 不等式f(x＋3)<f(x2＋3x)，可化为x＋3>x2＋3x，即x2＋2x－3<0，解得－3<x<1，则原不等式的解集为(－3，1). 6．(2025·焦作模拟)已知函数f(x)＝x＋，x1，x2∈[，3]，则|f(x1)－f(x2)|的最大值为(　　) A． B． C． D．1 A　解析：由“对勾函数”的性质可得f(x)＝x＋在[，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增，f(x)min＝f(1)＝2，f(x)max＝f(3)＝，所以|f(x1)－f(x2)|max＝f(x)max－f(x)min＝－2＝. 二、多选题 7．(2025·万州期末)如果函数f(x)在[a，b]上单调递增，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中正确的是(　　) A．>0 B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0 C．f(a)≤f(x1)<f(x2)≤f(b) D．<0 AB　解析：由函数单调性的定义，可知若函数f(x)在给定的区间上单调递增，则x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，由此可知，选项A，B正确，D错误；对于选项C，因为x1，x2的大小关系无法判断，所以f(x1)，f(x2)的大小关系也无法判断，故C错误． 8．已知函数f(x)＝则下列结论正确的是(　　) A．f(x)在R上为增函数 B．f(e)>f(2) C．若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，则a≤－1或a≥0 D．当x∈[－1，1]时，f(x)的值域为[1，2] BC　解析：易知f(x)在(－∞，0]，(0，＋∞)上单调递增，故A错误，B正确；若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，则a≥0或a＋1≤0，即a≤－1或a≥0，故C正确；当x∈[－1，0]时，f(x)∈[1，2]，当x∈(0，1]时，f(x)∈(－∞，2]，故x∈[－1，1]时，f(x)∈(－∞，2]，故D不正确． 三、填空题 9．已知函数y＝(k>0)在[4，6]上的最大值为1，则k的值是________． 答案：2　解析：当k>0时，函数y＝在[4，6]上单调递减，所以函数y＝(k>0)在x＝4处取得最大值，最大值为＝1，解得k＝2. 10．函数f(x)＝x＋2cos x在区间[－，0]上的最小值是________． 答案：－　解析：由y＝x和y＝2cos x在区间[－，0]上均单调递增，可知f(x)＝x＋2cos x在区间[－，0]上单调递增，故f(x)＝x＋2cos x在区间[－，0]上的最小值是f(－)＝－＋2cos (－)＝－. 四、解答题 11．已知函数f(x)＝()x，g(x)＝－x2＋4x＋1，x∈R. (1)在同一直角坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象； (2)∀x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中的最大者，记为M(x)＝max{f(x)，g(x)}，试判断M(x)在区间(－∞，a]上的单调性． 解：(1)f(x)，g(x)的图象如图所示． (2)由(1)及M(x)的定义得，M(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减， 所以当a≤0时，M(x)在(－∞，a]上单调递减； 当0<a≤2时，M(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0，a]上单调递增； 当a>2时，M(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0，2]上单调递增，在[2，a]上单调递减． 12．(2025·丽水模拟)已知函数y＝f(x)的定义域为R，对任意x1，x2且x1≠x2，都有>－1，则下列说法正确的是(　　) A．y＝f(x)＋x是增函数 B．y＝f(x)＋x是减函数 C．y＝f(x)是增函数 D．y＝f(x)是减函数 A　解析：不妨令x1<x2，∴x1－x2<0，∵>－1⇔f(x1)－f(x2)<－(x1－x2)⇔f(x1)＋x1<f(x2)＋x2，令g(x)＝f(x)＋x，∴g(x1)<g(x2)，又x1<x2，∴g(x)＝f(x)＋x是增函数． 13．已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，－3)，B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式－3＜f(x＋1)＜1的解集的补集是(全集为R)(　　) A．(－1，2) B．(－∞，－1)∪[4，＋∞) C．(1，4) D．(－∞，－1]∪[2，＋∞) D　解析：由函数f(x)是R上的增函数，A(0，－3)，B(3，1)是其图象上的两点，且不等式－3＜f(x＋1)＜1，则f(0)＜f(x＋1)＜f(3)，所以0＜x＋1＜3，所以－1＜x＜2，故不等式－3＜f(x＋1)＜1的解集的补集是(－∞，－1]∪[2，＋∞). 14．(2025·绥化模拟)若正数a，b满足2a－4b＝log2b－log2a，则a与2b的大小关系为________． 答案：a<2b　解析：因为2a－4b＝log2b－log2a，所以2a＋log2a＝4b＋log2b＝22b＋log2b＋log22－1＝22b＋log2(2b)－1，设f(x)＝2x＋log2x，则f(a)＝f(2b)－1，所以f(a)<f(2b)，又y＝2x与y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝2x＋log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以a<2b. 15．已知命题p：“若f(x)<f(4)对任意的x∈(0，4)都成立，则f(x)在(0，4)上单调递增”．能说明命题p为假命题的一个函数是____________________． 答案：f(x)＝(x－1)2(答案不唯一，如f(x)＝只要满足题意即可)　解析：由题意知，令f(x)＝(x－1)2，满足f(x)<f(4)对任意的x∈(0，4)都成立， 但函数f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，4)上单调递增， 所以函数f(x)＝(x－1)2可以说明命题p为假命题． 16．已知函数f(x)＝. (1)试判断f(x)在[1，2]上的单调性； (2)求函数f(x)在[1，2]上的最值． 解：(1)∀x1，x2∈[1，2]，且x1<x2， 则f(x2)－f(x1)＝－ ＝ ＝， ∵x1，x2∈[1，2]，∴x2－3<0，x1－3<0，x1x2－3(x1＋x2)<0， 又x1<x2，∴x2－x1>0， ∴<0， 即f(x1)>f(x2)， ∴f(x)在[1，2]上单调递减． (2)由(1)知f(x)在[1，2]上单调递减， ∴f(x)min＝f(2)＝＝－4， f(x)max＝f(1)＝＝－. 17．定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足下面三个条件：①对任意正数a，b，都有f(a)＋f(b)＝f(ab)；②当x>1时，f(x)<0；③f(2)＝－1. (1)求f(1)和f()的值； (2)试用单调性定义证明：函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数； (3)求满足f(4x3－12x2)＋2>f(18x)的x的取值集合． (1)解：令a＝b＝1得f(1)＝f(1)＋f(1)，则f(1)＝0， 而f(4)＝f(2)＋f(2)＝－1－1＝－2，且f(4)＋f()＝f(1)＝0，则f()＝2. (2)证明：∀x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2， ∴>1，当x>1时，f(x)<0，∴f()<0， ∴f(x2)－f(x1)＝f(x1·)－f(x1)＝f(x1)＋f()－f(x1)＝f()<0，即f(x2)<f(x1)， ∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数． (3)解：∵f(4x3－12x2)＋2>f(18x)， 由条件①及(1)的结果得，f(4x3－12x2)＋f()>f(18x)， ∴f(x3－3x2)>f(18x)， ∴解得3<x<6， 故x的取值集合为{x|3<x<6}． 学科网（北京）股份有限公司 $$