课时训练(7) 第2章 第1节 函数的概念与表示（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A培优版）

一、单选题 1．(2025·海南模拟)函数f(x)＝的定义域为(　　) A．(－，) B．(－∞，－)∪(，＋∞) C．[－，] D．(－，0)∪(0，) D　解析：∵函数f(x)＝，∴，解得x∈(－，0)∪(0，). 2．(2024·德阳三模)已知f(x－1)＝2x－5，且f(a)＝3，则a＝(　　) A．3 B． C．1 D． C　解析：令t＝x－1，则x＝2t＋2，∴f(t)＝2(2t＋2)－5＝4t－1，又f(a)＝3，∴4a－1＝3，∴a＝1. 3．(2025·太原模拟)已知f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)＝则f(－)＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 B　解析：因为f(x)是奇函数，则f(－)＝－f()，且f()＝2f()＝4f()＝4×(－)＝－2，所以f(－)＝2. 4．(2025·盐城模拟)函数f(x)满足2f(x)－f(1－x)＝x，则函数f(x)＝(　　) A．x－2 B． C． D．－x＋2 B　解析：因为2f(x)－f(1－x)＝x①，所以2f(1－x)－f(x)＝1－x②，①×2＋②得3f(x)＝x＋1，即f(x)＝. 5．(2025·山西统考)十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”：D(x)＝它在现代数学的发展过程中有着重要意义，若函数f(x)＝x2－D(x)，则下列实数不属于函数f(x)值域的是(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 C　解析：由题意可知f(x)＝x2－D(x)＝所以f(1)＝12－1＝0，f()＝()2＝2，f()＝()2＝3，而f(x)＝1无解． 6．若函数f(x＋1)的定义域为[－1，15]，则函数g(x)＝的定义域为(　　) A．[1，4] B．(1，4] C．[1，14] D．(1，14] B　解析：因为函数f(x＋1)的定义域为[－1，15]，所以－1≤x≤15，所以0≤x＋1≤16，所以函数f(x)的定义域为[0，16]，所以要使函数g(x)＝有意义，需满足解得1<x≤4，所以函数g(x)＝的定义域为(1，4]. 二、多选题 7．(2025·济宁调研)下列四组函数中，f(x)与g(x)是同一个函数的是(　　) A．f(x)＝ln x2，g(x)＝2ln x B．f(x)＝x，g(x)＝()2 C．f(x)＝x0，g(x)＝ D．f(x)＝x，g(x)＝logaax(a>0且a≠1) CD　解析：对于A，f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为{x|x>0}，两个函数的定义域不相同，不是同一个函数；对于B，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≥0}，两个函数的定义域不相同，不是同一个函数；对于C，f(x)＝x0＝1的定义域为{x|x≠0}，g(x)＝＝1的定义域为{x|x≠0}，两函数的定义域和对应关系都相同，是同一个函数；对于D，g(x)＝logaax＝x，x∈R，两个函数的定义域和对应关系都相同，是同一个函数．故选CD. 8．(2025·徐州模拟)记无理数e＝2.718 281 828 459 045…小数点后第n位上的数字为m，则m是关于n的函数，记作m＝f(n)，其定义域为A，值域为B，则(　　) A．f(5)＝8 B．函数f(n)的图象是一群孤立的点 C．n是关于m的函数 D．B⊆A AB　解析：根据函数的定义可知，定义域A＝N*，对应关系：数位n对应数字7，1，8，2，8，1，8，2，8，…，f(5)＝8，函数f(n)的图象是一群孤立的点，故A，B正确；对于C，n不是关于m的函数，如m＝8时，n可能为3，5，7，9，不符合函数的定义，故C错误，因为0∈B，0∉A，所以D错误． 三、填空题 9．函数f(x)＝ln (x＋1)＋的定义域是________． 答案：(－1，1]　解析：由f(x)的解析式可得，解得－1<x≤1，所以其定义域为(－1，1]. 10．(2024·自贡三模)函数f(x)＝f(a)＝2，则a＝________． 答案：2　解析：f(x)＝若f(a)＝2，则或即或解得a＝2. 四、解答题 11．已知函数f(x)＝ (1)求f()，f()，f(－1)的值； (2)画出这个函数的图象； (3)求f(x)的最大值． 解：(1)∵＞1，∴f()＝－2×＋8＝5. ∵0＜＜1，∴f()＝＋5＝. ∵－1＜0，∴f(－1)＝－3＋5＝2. (2)作出函数f(x)的图象如图． 在函数f(x)＝3x＋5的图象上截取x≤0的部分， 在函数f(x)＝x＋5的图象上截取0＜x≤1的部分， 在函数f(x)＝－2x＋8的图象上截取x＞1的部分． 图中实线组成的图形就是函数f(x)的图象． (3)由函数图象可知，当x＝1时，f(x)取最大值6. 12．已知函数f(x)满足f(ex－1)＝2x－1，f(a)＋f(b)＝0，则下列说法正确的是(　　) A．a＋b＝1 B．a＋b＝ C．ab＝1 D．ab＝ D　解析：设t＝ex－1，则x＝ln t＋1，∴f(t)＝2ln t＋1，t>0.由f(a)＋f(b)＝0，有2ln a＋1＋2ln b＋1＝0，即ln (ab)＝－1，∴ab＝. 13．已知函数f(x)＝若f(f(m))≥5，则实数m的取值范围是(　　) A．[，＋∞) B．[0，] C．(－∞，－] D．[－，0] A　解析：因为f(x)＝－x2≤0，为使f(f(m))≥5，只能f(m)<0，即有解得f(m)≤－5.当m<0时，m2＋4m≤－5无解；当m≥0时，－m2≤－5，解得m≥或m≤－，所以m≥.综上可得，m≥. 14．(2025·南昌模拟)已知函数f(x)＝若f(a－3)＝f(a＋2)，则f(a)＝________． 答案：　解析：作出函数f(x)的图象，如图所示． 因为f(a－3)＝f(a＋2)，且a－3<a＋2，所以即－2<a≤3，此时f(a－3)＝a－3＋3＝a，f(a＋2)＝，所以a＝，a>0，解得a＝2，则f(a)＝. 15．(2025·武汉调研)已知函数f(x)＝试举出一个a的值，使得f(a)＋f(6－a)＝成立． 解：因为函数f(x)＝可得当x>1时，f(x)＝log2(x＋1)>log22＝1，当x≤1时，f(x)＝2x－1－2≤20－2＝－1.当a>1且6－a>1，即1<a<5时，f(a)＋f(6－a)>1＋1与f(a)＋f(6－a)＝矛盾，不符合题意；当a>1且6－a≤1，即a≥5时，f(a)＋f(6－a)＝log2(a＋1)＋25－a－2＝，则a＝7；当a≤1且6－a>1，即a≤1时，则f(a)＋f(6－a)＝log2(7－a)＋2a－1－2＝，则a＝－1.综上所述，a可以为－1或7. 16．已知函数f(x)＝. (1)求f()＋f(3)，f()＋f(2)的值； (2)探索f(x)＋f()； (3)利用(2)的结论求表达式：f()＋f()＋f()＋…＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 023)＋f(2 024)＋f(2 025)的值． 解：(1)已知函数f(x)＝， ∴f()＋f(3)＝＋＝＋＝1， f()＋f(2)＝＋＝＋＝1. (2)由f(x)＝，得f()＝＝， ∴f(x)＋f()＝1. (3)由(2)知f(x)＋f()＝1，f(1)＝＝， ∴f()＋f()＋f()＋…＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 023)＋f(2 024)＋f(2 025)＝2 024[f()＋f(2)]＋f(1)＝2 024×1＋＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$