课时训练(6) 第1章 第5节 一元二次函数、方程和不等式（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A培优版）

一、单选题 1．不等式8x－3x2>4的解集是(　　) A．(2，＋∞) B．(，2) C．(－∞，)∪(2，＋∞) D．(－∞，) B　解析：由8x－3x2>4，得3x2－8x＋4<0，即(x－2)(3x－2)<0，解得<x<2. 2．不等式≥2的解集为(　　) A．[－1，0) B．[－2，＋∞) C．(－∞，－2] D．(－∞，－1]∪[0，＋∞) A　解析：由≥2，得－2≥0，即≥0，等价于解得－1≤x<0，即不等式≥2的解集为[－1，0). 3．若关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1<x<2}，则a－b＝(　　) A．0 B．2 C．－2 D．2或－2 C　解析：由于不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1<x<2}，所以a<0，且－1，2为ax2＋bx＋2＝0的根，即a×(－1)2＋b×(－1)＋2＝0，即a－b＝－2. 4．(2024·哈尔滨模拟)已知A＝{x|≤0}，若2∈A，则m的取值范围是(　　) A．[－，) B．[－，] C．(－∞，－]∪(，＋∞) D．(－∞，－]∪[，＋∞) A　解析：因为2∈A，所以≤0，等价于解得－≤m<. 5．在R上定义运算：xy＝x(1－y).若不等式(x－a)(x＋a)<1对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为(　　) A．(－，) B．(0，2) C．(－1，1) D．(－，) A　解析：由定义可知，(x－a)(x＋a)＝(x－a)·[1－(x＋a)]，因为不等式(x－a)(x＋a)<1对任意实数x恒成立，所以x2－x－a2＋a＋1>0对任意实数x恒成立，所以Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0，解得－<a<. 二、多选题 6．对于给定的实数a，关于实数x的一元二次不等式a(x－a)(x＋1)>0的解集可能为(　　) A．∅ B．(－1，a) C．(a，－1) D．(a，＋∞) ABC　解析：根据题意，易知a≠0.当a>0时，函数y＝a(x－a)(x＋1)的图象开口向上，故不等式的解集为(－∞，－1)∪(a，＋∞)；当a<0时，函数y＝a(x－a)(x＋1)的图象开口向下，若a＝－1，则不等式的解集为∅；若－1<a<0，则不等式的解集为(－1，a)；若a<－1，则不等式的解集为(a，－1). 7．在R上定义运算：＝ad－bc，若不等式≥1对任意实数x恒成立，则实数a的可能取值为(　　) A．－1 B．－ C． D． CD　解析：不等式≥1对任意实数x恒成立，有(x－1)x－(a＋1)(a－2)≥1，即x2－x－a2＋a＋1≥0恒成立，所以Δ＝1＋4a2－4a－4＝4a2－4a－3≤0，解得－≤a≤. 三、填空题 8．已知函数f(x)＝，若f(x)>m的解集为(，6)，则m的值为________． 答案：2　解析：因为f(x)>m，所以>m，所以mx2－15x＋9m<0，因为其解集为(，6)，所以mx2－15x＋9m＝0的两个根为和6，所以＋6＝，解得m＝2. 9．甲厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得利润100(5x＋1－)元．要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，则x的最小值是________． 答案：3　解析：要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，则2×100(5x＋1－)≥3 000，整理得5x－14－≥0，又1≤x≤10，所以5x2－14x－3≥0，解得3≤x≤10.故x的最小值是3. 四、解答题 10．已知函数f(x)＝ax＋－3，若xf(x)<4的解集为{x|1<x<b}． (1)求a，b； (2)解关于x的不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0. 解：(1)因为函数f(x)＝ax＋－3，所以不等式xf(x)<4，即ax2－3x＋2<0，由不等式的解集为{x|1<x<b}可得，1＋b＝，且1×b＝，解得a＝1，b＝2. (2)由(1)得，关于x的不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0，即x2－(c＋2)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0. 当c＝2时，不等式(x－2)2<0，它的解集为∅； 当c<2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为(c，2)； 当c>2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为(2，c). 11．(多选)已知函数f(x)＝x2－ax－1，当x∈[0，3]时，|f(x)|≤5恒成立，则实数a的值可以是(　　) A．－1 B．0 C．1 D．3 CD　解析：∵|f(x)|≤5⇔－5≤x2－ax－1≤5，①当x＝0时，a∈R；②当x≠0时，由－5≤x2－ax－1≤5，得x－≤a≤x＋，当x∈(0，3]时，(x＋)min＝2＋＝4， (x－)max＝3－2＝1，∴1≤a≤4.综上所述，1≤a≤4. 12．一般地，把b－a称为区间(a，b)的“长度”．已知关于x的不等式x2－kx＋2k<0有实数解，且解集区间长度不超过3个单位长度，则实数k的取值范围为________. 答案：[－1，0)∪(8，9]　解析：不等式x2－kx＋2k<0有实数解等价于x2－kx＋2k＝0有两个不相等的实数根，则Δ＝(－k)2－8k>0，解得k>8或k<0.设x2－kx＋2k＝0的两根为x1，x2，令x1<x2，则x1＋x2＝k，x1x2＝2k.由题意得x2－x1＝＝≤3，解得－1≤k≤9，又k>8或k<0，所以－1≤k<0或8<k≤9，所以实数k的取值范围为[－1，0)∪(8，9]. 13．已知函数f(x)＝mx2＋3mx＋2，m∈R. (1)若m＝1，求不等式f(x)<0的解集； (2)若不等式f(x)>0对一切实数x都成立，求m的取值范围． 解：(1)当m＝1时，f(x)＝x2＋3x＋2， 由f(x)<0，得x2＋3x＋2<0，(x＋1)(x＋2)<0，解得－2<x<－1， 所以不等式的解集为{x|－2<x<－1}． (2)由题意可得mx2＋3mx＋2>0对一切实数x都成立， 当m＝0时，2>0恒成立，符合题意； 当m≠0时，解得0<m<. 综上可知，0≤m<，即m的取值范围为[0，). 14．某县一中计划把一块边长为20米的等边三角形ABC的边角地开辟为植物新品种实验基地，图中DE需要把基地分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上． (1)设AD＝x(x≥10)，ED＝y，写出用x表示y的函数关系式； (2)如果ED是灌溉输水管道的位置，为了节约，ED的位置应该在哪里？求出最小值． 解：(1)∵△ABC的边长是20米，D在AB上，则10≤x≤20，S△ADE＝S△ABC， ∴x·AE sin 60°＝××202，故AE＝. 在△ADE中，由余弦定理，得y＝(10≤x≤20). (2)若ED作为输水管道，则需求y的最小值， ∴y＝≥＝10，当且仅当x2＝，即x＝10米时，等号成立， ∴ED的位置应该在AD＝10米，AE＝10米处，且ED的最小值为10米． 学科网（北京）股份有限公司 $$