课时训练(4) 第1章 第4节 第一课时 基本不等式（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A培优版）

一、单选题 1．已知a，b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是(　　) A．a＋b≥2 B．＋≥2 C．|＋|≥2 D．a2＋b2>2ab C　解析：对于A，B，∵a，b是否大于0未知，∴等式不一定成立，故A，B错误；对于C，若>0，则>0，∴|＋|＝||＋||≥2＝2，当且仅当a＝b时，等号成立；同理<0也成立，因此C正确；对于D，∵a2＋b2≥2ab，∴a2＋b2>2ab不一定成立． 2．已知a>0，b>0，a＋b＝2，则lg a＋lg b的最大值为(　　) A．0 B． C． D．1 A　解析：∵a>0，b>0，a＋b＝2，∴lg a＋lg b＝lg ab≤lg ()2＝0，当且仅当a＝b＝1时，等号成立． 3．下列不等式证明过程正确的是(　　) A．若a，b∈R，则＋≥2＝2 B．若x＞0，y＞0，则lg x＋lg y≥2 C．若x＜0，则x＋≥－2＝－4 D．若x＜0，则2x＋2－x>2＝2 D　解析：∵，可能为负数，如＝＝－1时，＋＝－2，∴A错误；∵lg x，lg y可能为负数，如lg x＝lg y＝－1时，lg x＋lg y＝－2，而2＝2，∴B错误；∵x<0，∴<0，如x＝－1，＝－4时，x＋＝－5<－4，∴C错误；∵x<0，∴2x∈(0，1)，2－x>1，∴2x＋2－x≥2＝2，当且仅当2x＝2－x，即x＝0时，等号成立，∴D正确． 4．已知正数a，b满足a2＋b2＝13，则a的最大值为(　　) A．6 B．8 C．4 D．16 B　解析：∵a2＋b2＝13，∴a≤＝＝8，当且仅当a＝，即a2＝8，b2＝5时，等号成立，∴a的最大值为8. 5．若x＜，则f(x)＝3x＋1＋有(　　) A．最大值0 B．最小值9 C．最大值－3 D．最小值－3 C　解析：∵x＜，∴3x－2＜0，∴f(x)＝3x－2＋＋3＝－[(2－3x)＋]＋3≤－2＋3＝－3，当且仅当2－3x＝，即x＝－时，等号成立，故f(x)有最大值－3. 6．已知a>0，b>0，且＋＝1，则4a＋9b的最小值是(　　) A．23 B．26 C．22 D．25 D　解析：由题意得a>0，b>0，＋＝1，故4a＋9b＝(＋)(4a＋9b)＝＋＋13≥2＋13＝25，当且仅当＝，即a＝，b＝时，等号成立，故4a＋9b的最小值是25. 二、多选题 7．(2025·六盘水期末)下列选项正确的是(　　) A．＋>2 B．x＋≥2(x>0) C．x＋≥3(x>1) D．<(x，y∈N*，x≠y) BCD　解析：对于A，若x＝－y＝1，则＋＝－2<2，故A错误；对于B，由基本不等式可得x＋≥2＝2(x>0)，当且仅当x＝， 即x＝1时，等号成立，故B正确；对于C，x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3(x>1)，当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立，故C正确；对于D，因为x＋y>2(x，y∈N*，x≠y)，所以<＝(x，y∈N*，x≠y)，故D正确． 8．(2024·衡阳模拟)已知正数x，y满足x＋2y＝1，则下列说法正确的是(　　) A．xy的最大值为 B．x2＋4y2的最小值为 C．＋的最大值为2 D．＋的最小值为7＋2 ABD　解析：对于A，∵x>0，y>0，x＋2y＝1，∴x·2y≤()2＝()2＝，∴xy≤，当且仅当即x＝，y＝时，等号成立，∴A正确；对于B，x2＋4y2＝(x＋2y)2－4xy＝1－4xy，由(1)知xy≤，∴－4xy≥－，∴x2＋4y2＝1－4xy≥1－＝，∴B正确；对于C，(＋)2＝x＋2y＋2＝1＋2≤1＋x＋2y＝1＋1＝2，∴＋≤，∴C错误；对于D，(＋)·(x＋2y)＝1＋＋＋6＝7＋＋≥7＋2，当且仅当＝，即当时，等号成立，∴D正确． 三、填空题 9．函数f(x)＝(x≥0)的最大值为________． 答案：　解析：f(x)＝＝＝. 因为x≥0，所以x＋1≥1，所以x＋1＋≥2＝6，当且仅当x＋1＝，即x＝2 时，等号成立，所以f(x)≤＝. 10．(2024·上海静安二模)在下列关于实数a，b的四个不等式中，恒成立的是________．(填序号) ①a＋b≥2；②()2≥ab；③|a|－|b|≤|a－b|；④a2＋b2≥2b－1. 答案：②③④　解析：对于①，取a＝－1，b＝－1，故①错误；对于②，()2－ab＝＝＝()2≥0，故②正确；对于③，当|a|≥|b|时，要证|a|－|b|≤|a－b|，即证(|a|－|b|)2≤(|a－b|)2，即|a|2＋|b|2－2|a||b|≤a2＋b2－2ab，即证2|a||b|≥2ab，而2|a||b|≥2ab恒成立；当|a|<|b|时，|a|－|b|<0，|a－b|>0，所以|a|－|b|≤|a－b|，故③正确；对于④，a2＋b2－2b＋1＝a2＋(b－1)2≥0，所以a2＋b2≥2b－1，故④正确． 四、解答题 11．已知x＞0，y＞0，且2x＋8y＝xy，求： (1)xy的最小值； (2)x＋y的最小值． 解：(1)∵xy＝2x＋8y≥2，即xy≥8，即xy≥64，当且仅当2x＝8y，即x＝16，y＝4时，等号成立， ∴xy的最小值为64. (2)由2x＋8y＝xy，得＋＝1，则x＋y＝(＋)(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当＝，即x＝12，y＝6时，等号成立， ∴x＋y的最小值为18. 12．(多选)(2025·海口模拟)已知a>0，b>0，且a＋2b＝2，则(　　) A.ab的最大值为 B．a＋的最小值为4 C．a2＋4b2的最小值为2 D．＋的最大值为4 AC　解析：对于A，因为a>0，b>0，a＋2b＝2，由基本不等式可得a＋2b≥2，当且仅当a＝2b＝1时，等号成立，所以ab≤()2＝，故A正确；对于B，由基本不等式可得a＋≥2＝4，当且仅当a＝，即a＝2时，等号成立，此时b＝0，故B错误；对于C，由基本不等式可得a2＋4b2≥＝2，当且仅当a＝2b＝1时，等号成立，故C正确；对于D，由基本不等式可得＋＝＝≥4，当且仅当a＝2b＝1时，等号成立，所以＋的最小值为4，故D错误． 13．函数y＝(x>－1)的最小值为________． 答案：0　解析：因为y＝＝＝x－1＋＝x＋1＋－2(x>－1)，所以y≥2－2＝0，当且仅当x＋1＝，即x＝0时，等号成立．所以y＝(x>－1)的最小值为0. 14．已知正数a，b满足(a＋5b)(2a＋b)＝36，则a＋2b的最小值为________． 答案：4　解析：因为a>0，b>0，所以36＝(a＋5b)·(2a＋b)≤[]2＝(a＋2b)2，所以a＋2b≥4，当且仅当即a＝，b＝时，等号成立，所以a＋2b的最小值为4. 15．写出一个关于a与b的等式，使＋是一个变量，且它的最小值为16，则该等式为________． 答案：a2＋b2＝1(答案不唯一)　解析：该等式可为a2＋b2＝1，下面证明该等式符合条件．＋＝(＋)(a2＋b2)＝1＋9＋＋≥10＋2＝16，当且仅当b2＝3a2＝时，等号成立，所以＋是一个变量，且它的最小值为16. 16．已知x>0，y>0，x＋2y＋xy＝30，求： (1)xy的最大值； (2)2x＋y的最小值． 解：(1)因为x>0，y>0， 根据基本不等式，30＝x＋2y＋xy≥2＋xy(当且仅当x＝2y＝6时取等号)， 令＝t(t>0)，则t2＋2t－30≤0， 解得－5≤t≤3，又t>0， 所以0<t≤3，即0<≤3， 所以0<xy≤18，故xy的最大值为18. (2)由x＋2y＋xy＝30可知，y＝>0，0<x<30，2x＋y＝2x＋＝2(x＋2)＋－5≥2－5＝11， 当且仅当2(x＋2)＝，即x＝2时，等号成立， 所以2x＋y的最小值为11. 17．(2024·西宁一模)已知正数a，b，c满足a＋b＋c＝2.求证： (1)a2＋b2＋c2≥； (2)＋＋≤6. 证明：(1)因为正数a，b，c满足a＋b＋c＝2，由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac， 当且仅当a＝b＝c时，等号成立，可得 (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac≤3(a2＋b2＋c2)，即3(a2＋b2＋c2)≥4，所以a2＋b2＋c2≥， 当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立． (2)由＋＋＝·(2·＋2·＋2·)≤(＋＋)＝·[(a＋b＋c)＋9]＝6，当且仅当3a＋2＝4，3b＋2＝4，3c＋2＝4，即a＝b＝c＝时，等号成立． 所以＋＋≤6. 学科网（北京）股份有限公司 $$