课时训练(5) 第1章 第4节 第二课时 基本不等式的综合应用（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A培优版）

一、单选题 1．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　) A．13 B．12 C．9 D．4 C　解析：因为|MF1|＋|MF2|＝6，所以|MF1|·|MF2|≤＝＝9，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时，等号成立，所以|MF1|·|MF2|的最大值为9. 2．(2025·新乡模拟)函数f(x)＝[x]被称为取整函数，也称高斯函数，其中[x]表示不大于实数x的最大整数．若∀m∈(0，＋∞)，满足[x]2＋[x]≤，则x的取值范围是(　　) A．[－1，2] B．(－1，2] C．[－2，2) D．(－2，2] C　解析：∀m∈(0，＋∞)，满足＝m＋≥2，当且仅当m＝1时，等号成立．由[x]2＋[x]≤可得[x]2＋[x]≤2，所以([x]＋2)([x]－1)≤0，所以－2≤[x]≤1，故－2≤x<2. 3．若∃x∈[，2]，使得2x2－λx＋1<0成立是假命题，则实数λ的可能取值为(　　) A．2 B．2 C．4 D．5 A　解析：因为原命题为假命题，所以其否定∀x∈[，2]，2x2－λx＋1≥0为真命题，即∀x∈[，2]，λ≤2x＋，又2x＋≥2＝2，当且仅当2x＝，即x＝时，等号成立，所以λ的取值范围为(－∞，2]，则λ可能的取值为2. 4．(2025·湖南学业考试)已知m>1，n>0，m2－2m＋n＝0，若不等式＋≥λ恒成立，则实数λ的最大值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 C　解析：因为m2－2m＋n＝0，m>1，所以＝m－2＋＝0，即m－1＋＝1，所以＋＝(＋)·(m－1＋)＝1＋1＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，即m＝，n＝时，等号成立，故λ≤4. 5．用一段长8 cm的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型面积的最大值为(　　) A．9 cm2 B．16 cm2 C．4 cm2 D．5 cm2 C　解析：设矩形模型的长和宽分别为x cm，y cm，则x>0，y>0，由题意可得2(x＋y)＝8，所以x＋y＝4，所以矩形模型的面积S＝xy≤＝＝4(cm2)，当且仅当x＝y＝2时，等号成立，所以当矩形模型的长和宽都为2 cm时，面积最大，为4 cm2. 6．(2025·齐齐哈尔模拟)已知圆(x－1)2＋(y－2)2＝4关于直线ax＋by－2＝0(a>0，b>0)对称，则ab的最大值为(　　) A． B． C．1 D．2 B　解析：由题知，圆心(1，2)在直线ax＋by－2＝0上，∴a＋2b＝2.又a>0，b>0，∴2＝a＋2b≥2，∴ab≤，当且仅当a＝2b，且a＋2b＝2，即a＝1，b＝时，等号成立，∴ab的最大值为. 二、多选题 7．(2025·株洲开学考试)若对于任意x>0，≤a恒成立，则实数a的取值可以是(　　) A． B． C． D． ACD　解析：因为x>0，所以＝≤＝，当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立．因为对于任意x>0，≤a恒成立，所以a≥，符合条件的有，，，故A，C，D正确；<，故B错误． 8．几名大学生创业时，经过调研选择了一种技术产品，生产此产品获得的月利润p(x)(单位：万元)与每月投入的研发经费x(单位：万元)有关．已知每月投入的研发经费不高于16万元，且p(x)＝－x2＋6x－20，利润率y＝.现在已投入研发经费9万元，则下列判断正确的是(　　) A．此时获得最大利润率 B．再投入6万元研发经费才能获得最大利润 C．再投入1万元研发经费可获得最大利润率 D．再投入1万元研发经费才能获得最大利润 BC　解析：当x≤16时，p(x)＝－x2＋6x－20＝－(x－15)2＋25，故当x＝15时，获得最大利润，为p(15)＝25，故B正确，D错误；y＝＝－x＋6－＝－(x＋)＋6≤－2＋6＝2，当且仅当x＝，即x＝10时，等号成立，此时研发利润率取得最大值为2，故C正确，A错误． 9．已知正实数x，y满足x＋y＝4，则下列选项正确的是(　　) A．ex＋ey的最小值为2e2 B．lg x＋lg y的最大值为lg 4 C．x2＋y2的最小值为8 D．x(y＋4)的最大值为16 ABC　解析：由于ex＋ey≥2＝2＝2e2，当且仅当ex＝ey，即x＝y＝2时，等号成立，故A正确；由基本不等式得xy≤()2＝4，故lg x＋lg y＝lg (xy)≤lg 4，当且仅当x＝y＝2时，等号成立，故B正确；x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝16－2xy≥8，当且仅当x＝y＝2时，等号成立，故C正确；由正实数x，y满足x＋y＝4，得y＝4－x，x∈(0，4)，故x(y＋4)＝x(8－x)＝－(x－4)2＋16∈(0，16)，故D错误． 三、填空题 10．函数y＝(x>1)的最小值为________． 答案：2＋2　解析：y＝＝＝＝x－1＋＋2≥2＋2，当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，等号成立，故函数y＝(x>1)的最小值为2＋2. 11．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x为________． 答案：20　解析：该公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，则需要购买次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，故一年的总运费与总存储费用之和为(·4＋4x)万元，·4＋4x≥2＝160，当且仅当＝4x，即x＝20时，一年的总运费与总存储费用之和最小． 四、解答题 12．设函数f(x)＝4x－a·2x＋b，且f(0)＝0，f(1)＝2. (1)求a，b的值； (2)若∃x∈(－∞，3]，使得f(x)<m·2x－3成立，求实数m的取值范围． 解：(1)由题意得，f(0)＝1－a＋b＝0，f(1)＝4－2a＋b＝2， 解得a＝1，b＝0. (2)由(1)知f(x)＝4x－2x， 所以f(x)<m·2x－3可化为m>2x＋3·2－x－1. 故原问题等价于∃x∈(－∞，3]，使得m>2x＋3·2－x－1成立， 即x∈(－∞，3]时，m>(2x＋3·2－x－1)min. 设h(x)＝2x＋3·2－x－1，x∈(－∞，3]， 令t＝2x，则t∈(0，8]， 设p(t)＝t＋－1，t∈(0，8]， 则p(t)≥2－1，当且仅当t＝时，等号成立， 所以当t＝时，h(x)取得最小值2－1. 故m的取值范围是(2－1，＋∞). 13．若对∀x，y>0都有x＋y＋2≤a(2x＋3y)成立，则实数a的最小值是(　　) A． B． C． D． B　解析：由x>0，y>0，得4x>0，9y>0，2x＋3y>0，由题意知，a≥恒成立，所以4x＋9y≥2＝12，当且仅当4x＝9y时，等号成立，所以10x－6x＋15y－6y≥12，10x＋15y≥6x＋6y＋12，5(2x＋3y)≥6(x＋y＋2)，由2x＋3y>0，得≤，当且仅当4x＝9y时，等号成立，所以的最大值为.所以a≥，故a的最小值为. 14．南宋数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S＝求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦­秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a＝4，b＋c＝6，则此三角形面积的最大值为________． 答案：2　解析：因为p＝＝＝5，所以三角形的面积S＝ ＝≤ ＝＝＝2，当且仅当5－b＝5－c，即b＝c＝3时，等号成立． 15．市政府计划建立一个文化产业园区，计划在等腰三角形OAB的空地上修建一个占地面积为S平方米的矩形CDEF文化园展厅，如图，点C，D在底边AB上，E，F分别在腰OB，OA上，已知OA＝OB＝30 m，AB＝30 m，OE＝x m，x∈[14，20]. (1)试用x表示S，并求S的取值范围； (2)若矩形CDEF展厅的每平方米造价为，绿化区(图中阴影部分)的每平方米造价为(k为正常数)，求总造价W关于S的函数W＝f(S)，并求当OE为何值时总造价W最低． 解：(1)由题意得，△OAB为等腰直角三角形，则EF＝x，DE＝(30－x)，S＝x(30－x)＝－(x－15)2＋225.∵x∈[14，20]，∴S∈[200，225]，∴S＝－(x－15)2＋225，S∈[200，225]. (2)由题意得，矩形展厅的造价为·S，绿化区(图中阴影部分)的造价为·(×30×30－S)，W＝·S＋·(450－S)＝25k(＋)≥300k，当且仅当S＝12×18＝x(30－x)，即x＝18时等号成立，∴W＝f(S)＝25k(＋)，当OE为18 m时，总造价W最低． 16．某企业原有500名技术人员，年人均投入a万元(a>0)，现为加大对研发工作的投入，该企业做出适当调整，把原有技术人员分成维护人员和研发人员，其中维护人员x名(x∈N*)，调整后研发人员的年人均投入增加2x%，维护人员的年人均投入调整为a(m－)万元． (1)若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前500名技术人员的年总投入，求调整后的研发人员的人数最少为多少？ (2)若对任意100≤x≤200(x∈N*)，均有以下两条成立：①调整后研发人员的年总投入不低于维护人员的年总投入；②调整后维护人员的年人均投入不少于调整前500名技术人员年人均投入．求实数m的取值范围． 解：(1)调整后研发人员的年人均投入为(1＋2x%)a万元，则(500－x)(1＋2x%)a≥500a(a>0)， 整理得0.02x2－9x≤0，解得0≤x≤450. 又x∈N*，所以要使这(500－x)名研发人员的年总投入不低于调整前500名技术人员的年总投入，调整后的研发人员的人数最少为50. (2)(500－x)(1＋2x%)a≥x(m－)a，两边同时除以ax得(－1)(1＋)≥m－，整理得m≤＋＋9. 由a(m－)≥a，解得m≥＋1， 故＋1≤m≤＋＋9(100≤x≤200，x∈N*)恒成立， ＋＋9≥2＋9＝19，当且仅当＝，即x＝100时，等号成立，所以m≤19. 因为100≤x≤200，x∈N*， 所以当x＝200时，＋1取得最大值15，所以m≥15， 所以15≤m≤19，即实数m的取值范围为[15，19]. 学科网（北京）股份有限公司 $$