课时训练(3) 第1章 第3节 不等式及其性质（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A培优版）

一、单选题 1．已知0＜a1＜1，0＜a2＜1，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是(　　) A．M＜N B．M＞N C．M＝N D．不确定 B　解析：方法一　∵M－N＝a1a2－a1－a2＋1＝(1－a1)·(1－a2)＞0，∴M＞N. 方法二(特殊值法)　取a1＝a2＝，∴M＝，N＝0，∴M＞N. 2．已知a>b>0，c<d<0，则下列结论一定成立的是(　　) A．a＋c>b＋d B．a－c>b－d C．ac>bd D．ad>bc B　解析：因为c<d<0，所以－c>－d>0，又a>b>0，所以a－c>b－d. 3．(2025·西宁模拟)下列命题中，正确的是(　　) A．若ab≠0且a<b，则> B．若a>b，则a2>b2 C．若a>b，c>d，则ac>bd D．若a>b，则a＋c>b＋c D　解析：对于A选项，令a＝－1，b＝1，则<，所以>不成立，故A错误；对于B选项，令a＝－1，b＝－2，则(－1)2<(－2)2，所以a2>b2不成立，故B错误；对于C选项，令a＝－1，b＝－2，c＝3，d＝1，则(－1)×3<(－2)×1，所以ac>bd不成立，故C错误；对于D选项，由a>b及不等式的可加性可得a＋c>b＋c，故D正确． 4．(2025·厦门模拟)已知1≤a≤2，－1≤b≤4，则a－2b的取值范围是(　　) A．[－7，4] B．[－6，9] C．[6，9] D．[－2，8] A　解析：因为－1≤b≤4，所以－8≤－2b≤2，由1≤a≤2，得－7≤a－2b≤4. 5．已知a<b<c，a＋b＋c＝0，则(　　) A．ab<b2 B．ac>bc C．< D．<1 C　解析：因为a<b<c，a＋b＋c＝0，所以a<0<c，b的符号不能确定．当b＝0时，ab＝b2，故A项错误；因为a<b，c>0，所以当b≠0时，ac<bc，故B项错误；因为a<0<c，所以<，故C项正确；因为a<b，所以－a>－b，所以c－a>c－b>0，所以>1，故D项错误． 二、多选题 6．(2025·南昌开学考试)已知a，b，c∈R，且a>b，abc≠0，则下列不等式一定成立的是(　　) A．< B．ac2>bc2 C．c－a<c－b D．2a>2b BCD　解析：对于A，当a>0，c>0，b<0时，>，故A不一定成立；对于B，因为a>b，abc≠0，则c2>0，所以ac2>bc2，则B一定成立，故B正确；对于C，因为a>b，则－a<－b，所以c－a<c－b，则C一定成立，故C正确；对于D，因为f(x)＝2x在R上为单调递增函数，且a>b，所以f(a)>f(b)，即2a>2b，所以D正确． 7．(2025·青岛高三期末)已知实数a，b，c满足a>b>c，则下列结论正确的是(　　) A．(ac)2>(bc)2 B．2 025a－c>2 025a－b C．2a＋3a>2b＋2b D．若a＋b＝2，则a2＋b2的最小值为2 BC　解析：对于A，(ac)2>(bc)2等价于a2c2>b2c2，当a＝1，b＝－2时，显然等式不成立，故A错误；对于B，∵a>b>c，∴a－c>a－b，∴2 025a－c>2 025a－b，故B正确；对于C，∵a>b>c，∴3a>2a>2b，2a>2b，则2a＋3a>2b＋2b，故C正确；对于D，∵a＋b＝2，a>b，∴a>0，b＝2－a，∴a2＋b2＝a2＋(2－a)2＝2a2－4a＋4＝2(a－1)2＋2，∴当a＝1时，a2＋b2取得最小值2，此时a＝b＝1，显然不满足a>b，故D错误． 8．已知实数x，y满足－3<x＋2y<2，－1<2x－y<4，则(　　) A．－1<x<2 B．－2<y<1 C．－3<x＋y<3 D．－1<x－y<3 ABD　解析：因为－3<x＋2y<2，－1<2x－y<4，所以－2<4x－2y<8，则－5<5x<10，即－1<x<2，故A正确；－4<－2x－4y<6，－1<2x－y<4，所以－5<－5y<10，即－2<y<1，故B正确；x＋y＝∈(－2，2)，故C错误；x－y＝∈(－1，3)，故D正确． 三、填空题 9．(2025·北京模拟)能够说明“设a，b，c是任意实数，若a<b<c，则ac<bc”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________． 答案：－2，－1，0(答案不唯一)　解析：若a<b，当c>0时，ac<bc；当c＝0时，ac＝bc；当c<0时，ac>bc.易得“设a，b，c是任意实数，若a<b<c，则ac<bc”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为－2，－1，0. 10．若－1<a＋b<3，2<a－b<4，t＝2a＋b，则a的取值范围为________；t的取值范围为________． 答案：(，)　(－，)　解析：∵－1<a＋b<3，2<a－b<4，∴1<2a<7，即<a<，又t＝2a＋b＝(a＋b)＋(a－b)，∴－＋1<(a＋b)＋(a－b)<＋2，则t∈(－，). 四、解答题 11．(1)设a>b>0，比较与的大小； (2)已知a>b>0，c<d<0，e<0，求证：>. (1)解：∵a>b>0，∴>0，>0， ∴＝＝1＋>1， ∴>. (2)证明：∵c<d<0，∴－c>－d>0， 又a>b>0，∴a－c>b－d>0，b－a<0，c－d<0， 又e<0，∴－＝ ＝＝>0， ∴>. 12．若x，y满足－<x<y<，则x－y的取值范围是(　　) A．(－，0) B．(－，) C．(－，0) D．(－，) A　解析：由x<y，可得x－y<0，又由－<y<，可得－<－y<，因为－<x<，可得－<x－y<，所以－<x－y<0，即x－y的取值范围是(－，0). 13．(多选)(2025·河北衡水中学月考)设a，b为正实数，则下列说法正确的是(　　) A．若a2－b2＝1，则a－b<1 B．若－＝1，则a－b<1 C．若a>b＋1，则a2>b2＋1 D．若a≤1，b≤1，则|a－b|≥|1－ab| AC　解析：对于A，由a2－b2＝1及a，b为正实数，可知a2＝b2＋1>1，则a>1，又b>0，可得a＋b>1，所以a－b＝<1，故A正确；对于B，若a＝3，则b＝＝，此时a－b>1，故B错误；对于C，若a>b＋1，则a2>(b＋1)2>b2＋1，故C正确；对于D，若a＝b≤1，则|a－b|＝0≤|1－ab|，故D错误． 14．设x，y是正实数，记S为x，y＋，中的最小值，则S的最大值为________． 答案：2　解析：由题意知0<S≤x，0<S≤，则≤，≤，即有≤，y≤，所以S≤y＋≤＋＝，解得0<S≤2，当且仅当＝＝时，等号成立，故S的最大值为2. 15．给出三个不等式：①a2>b2；②2a>2b－1；③＞－.能够使以上三个不等式同时成立的一个条件是________． 答案：a>b>0(答案不唯一)　解析：当a>b>0时，①②显然成立．对于③，()2－(－)2＝2－2b＝2(－)，当a＞b＞0时，2(－)＞0，∴()2－(－)2＞0，则＞－. 16．若a＞b＞0，c＜d＜0，|b|＞|c|. (1)求证：b＋c＞0； (2)求证：＜； (3)在(2)的不等式中，能否找到一个代数式，满足＜所求式＜？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由． (1)证明：因为|b|＞|c|，且b＞0，c＜0，所以b＞－c，所以b＋c＞0. (2)证明：因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0. 又a＞b＞0，得a－c＞b－d＞0，所以(a－c)2＞(b－d)2＞0， 所以0＜＜　①. 因为a＞b，d＞c，可得a＋d＞b＋c，所以a＋d＞b＋c＞0　②. 由①②相乘得＜. (3)解：由(2)知，a＋d＞b＋c＞0，0＜＜， 所以＜＜或＜＜. 所以，均为所求代数式．(只要写出一个即可) 17．已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0)，再添加m克糖(m>0)(假设全部溶解)，糖水变甜了． (1)请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立； (2)在锐角△ABC中，根据(1)中的结论，证明：＋＋<2. (1)解：若b>a>0，m>0，则<. 证明：－＝＝. 因为b>a，所以a－b<0，又b>0，m>0，故<0， 因此<. (2)证明：在锐角三角形中A<B＋C，A>0，由(1)得<＝，同理<＝， <＝. 以上式子相加得＋＋<2. 学科网（北京）股份有限公司 $$