第10章 第4节 随机事件、频率与概率（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A培优版）

第4节　随机事件、频率与概率 1．结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系． 2．了解随机事件的并、交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算． 3．结合实例，会用频率估计概率． [对应学生用书P247] 一、有限样本空间与随机事件 1．样本点和有限样本空间 (1)样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用ω表示． 全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示． (2)有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间． 2．随机事件 (1)定义：将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件． (2)表示：一般用大写字母A，B，C，…. (3)随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件． 二、事件的关系 定义 表示法 图示 包含 关系 若事件A发生，事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) B⊇A(或A⊆B) 互斥 事件 如果事件A与事件B不能同时发生，称事件A与事件B互斥(或互不相容) 若A∩B＝∅，则A与B互斥 对立 事件 如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为A 若A∩B＝∅，且A∪B＝Ω，则A与B对立 三、事件的运算 1．并事件：事件A与事件B至少有一个发生，称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件).表示法为A∪B(或A＋B).图示为． 2．交事件：事件A与事件B同时发生，称这样一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件).表示法为A∩B(或AB).图示为． 四、频率的稳定性 1．定义：一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性． 2．作用：可以用频率fn(A)估计概率P(A). 从集合的角度理解互斥事件和对立事件 (1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集． (2)事件A的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集． 一、教材典题改编 1．(人教A版必修第二册P235T1改编)一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是(　　) A.至多有一次中靶 B.两次都中靶 C.只有一次中靶 D.两次都不中靶 答案：D 2．(北师版必修第一册P190T3改编)一个袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球．从中不放回地先后取出2个球，则样本点的个数为________． 答案：12 3．(人教A版必修第二册P257T1改编)把一枚质地均匀的硬币连续抛掷1 000次，其中有496次正面朝上，504次反面朝上，则掷一次硬币正面朝上的概率为________. 答案：0.5 4．(苏教版必修第二册P293T3改编)一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0.4，目标未受损的概率为0.2，则使目标受损但未击毁的概率为________． 答案：0.4 二、易误易混澄清 1．(混淆互斥事件与对立事件)袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则下列选项中，是互斥事件但不是对立事件的为(　　) A.恰有1个白球和全是白球 B.至少有1个白球和全是黑球 C.至少有1个白球和至少有2个白球 D.至少有1个白球和至少有1个黑球 A　解析：由题意可知，选项C，D表示的事件均不是互斥事件；选项A，B表示的事件为互斥事件，但选项B表示的事件又是对立事件，满足题意的只有A. 2．(混淆频率与概率)给出下列三个命题，其中正确命题有________个． ①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品； ②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是； ③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率． 答案：0　解析：①错，不一定是10件次品；②错，是频率而非概率；③错，频率不等于概率，这是两个不同的概念． [对应学生用书P248] 考点一　随机事件及样本空间 1．(2025·宜宾开学考试)已知袋中有大小、形状完全相同的4个红色、3个白色的乒乓球，从中任取4个，则下列判断错误的是(　　) A.事件“都是红色球”是随机事件 B.事件“都是白色球”是不可能事件 C.事件“至少有一个白色球”是必然事件 D.事件“有3个红色球和1个白色球”是随机事件 C　解析：因为袋中有大小、形状完全相同的4个红色、3个白色的乒乓球，所以从中任取4个球共有3白1红，2白2红，1白3红，4红四种情况．事件“都是红色球”是随机事件，故A正确；事件“都是白色球”是不可能事件，故B正确；事件“至少有一个白色球”是随机事件，故C错误；事件“有3个红色球和1个白色球”是随机事件，故D正确． 2．同时抛掷两枚完全相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的样本点的个数为(　　) A.3 B．4 C.5 D．6 D　解析：事件A包含(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)，故样本点的个数为6. 3．袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个，现在有放回地随机摸3次，每次摸取一个，观察摸出球的颜色，则此随机试验的样本点个数为(　　) A.5 B．6 C.7 D．8 D　解析：因为是有放回地随机摸3次，所以随机试验的样本空间为Ω＝{(红，红，红)，(红，红，黑)，(红，黑，红)，(黑，红，红)，(红，黑，黑)，(黑，红，黑)，(黑，黑，红)，(黑，黑，黑)}．共8个． 确定样本空间的方法 (1)随机事件的结果是相对于条件而言的，要弄清某一随机事件的结果，必须明确试验背景，即事件发生的前提或游戏规则． (2)根据题意，按一定的次序列出问题的答案．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏． 考点二　随机事件的关系及运算 [例1] (1)(多选)(2024·广州模拟)从含有若干次品的一批产品中随机取出三件，设事件A为“三件产品全不是次品”，事件B为“三件产品全是次品”，事件C为“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是(　　) A.事件B与C互斥 B.事件A与C互斥 C.事件A与B互斥 D.B∪C是必然事件 (2)(多选)对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机}，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，则下列关系正确的是(　　) A.A∩D＝∅ B．B∩D＝∅ C.A∪C＝D D．A∪B＝B∪D (1)ACD　(2)BC　解析：(1)事件A指的是三件产品都是合格品；事件B指的是三件产品全是次品；事件C指的是包括0件次品(全是合格品)，一件次品，两件次品三个事件；事件A包含于C，故B错误，B与C是互斥事件，而且是对立事件，故A，D正确；A和B是互斥事件，故C正确． (2)“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中、第二枚没中或第一枚没中、第二枚击中，“至少有一弹击中飞机”包含两种情况，一种是恰有一弹击中，另一种是两弹都击中，故A∩D≠∅，B∩D＝∅，A∪C＝D，A∪B≠B∪D. 判断互斥事件、对立事件的两种方法 (1)定义法：判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件． (2)集合法：①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥． ②事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集． 训练1 (1)(多选)口袋里装有1红，2白，3黄共6个除颜色外完全相同的小球，从中取出两个球，事件A＝“取出的两个球同色”，B＝“取出的两个球中至少有一个黄球”，C＝“取出的两个球至少有一个白球”，D＝“取出的两个球不同色”，E＝“取出的两个球中至多有一个白球”．下列判断正确的是(　　) A.A与D为对立事件 B.B与C是互斥事件 C.C与E是对立事件 D.P(C∪E)＝1 AD　解析：当取出的两个球为一黄一白时，B与C都发生，B错误；当取出的两个球中恰有一个白球时，事件C与E都发生，C错误；显然A与D是对立事件，A正确；C∪E为必然事件，P(C∪E)＝1，D正确． (2)(多选)抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：Ci＝“点数为i”，其中i＝1，2，3，4，5，6；D1＝“点数不大于2”，D2＝“点数大于2”，D3＝“点数大于4”．下列结论判断正确的是(　　) A.C1与C2互斥 B.D1∪D2＝Ω，D1D2＝∅ C.D3⊆D2 D.C2，C3为对立事件 ABC　解析：由题意C1与C2不可能同时发生，它们互斥，A正确；D1中点数为1或2，D2中点数为3，4，5或6，因此D1∪D2是必然事件，但它们不可能同时发生，因此D1D2为不可能事件，B正确；D3发生时，D2一定发生，但D2发生时，D3可能不发生，因此D3⊆D2，C正确；C2与C3不可能同时发生，但也可能都不发生，互斥不对立，D错误． 考点三　频率与概率 [例2] 某商场为提高服务质量，用简单随机抽样的方法从该商场调查了60名男顾客和80名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，结果如表所示． 满意 不满意 男顾客 50 10 女顾客 50 30 (1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率； (2)估计顾客对该商场满意的概率； (3)若该商场一天有2 100名顾客，大约有多少人对该商场的服务满意？ (4)通过以上数据能否说明顾客对该商场的服务是否满意与性别有关？并说明理由． 解：(1)估计男顾客对该商场服务满意的概率为＝；女顾客对该商场服务满意的概率为＝. (2)估计顾客对该商场满意的概率为＝. (3)2 100×＝1 500(人)，所以约有1 500人对该商场的服务满意． (4)由(1)知男顾客对该商场服务满意的比例约为≈0.833， 女顾客对该商场服务满意的比例约为＝0.625， 因为这两个比例相差较大，所以可以认为顾客对该商场的服务是否满意与性别有关． 频率与概率的关系及求法 (1)频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值． (2)利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐步趋近于某一个常数，这个常数就是概率． 训练2 某保险公司利用简单随机抽样的方法对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下： 赔付金额/元 0 1 000 2 000 3 000 4 000 车辆数/辆 500 130 100 150 120 (1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率； (2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率． 解：(1)由题意，样本车辆数为500＋130＋100＋150＋120＝1 000，设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，由频率估计概率得P(A)＝＝0.15，P(B)＝＝0.12. 因为投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4 000元，且事件A与B为互斥事件，所以所求概率为 P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27. (2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，可得样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24. [课时训练(71)见P514] 学科网（北京）股份有限公司 $$