第4章 第5节 y＝A sin (ωx＋φ)的图象及应用（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A培优版）

第5节　y＝A sin (ωx＋φ)的图象及应用 1．结合具体实例，了解y＝A sin (ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义；了解参数的变化对函数图象的影响． 2．会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数刻画事物周期变化的数学模型． [对应学生用书P106] 一、作f(x)＝A sin (ωx＋φ)图象的五个关键点 ωx＋φ 0 π 2π x － y＝f(x) 0 A 0 －A 0 二、函数y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象变换 (1)“五点法”作图中，相邻两点的横向距离均为. (2)由y＝sin ωx到y＝sin (ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度． (3)若直线x＝a为正(余)弦曲线的对称轴，则正(余)弦函数一定在x＝a处取得最值． (4)若函数y＝A sin (ωx＋φ)＋k(A＞0，ω＞0)的最大值为M，最小值为m，则A＝，k＝. (5)函数y＝A sin (ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)图象平移的规律：“左加右减，上加下减”． 一、“教考衔接”例证 高考真题 (多选)(2020·新高考Ⅰ卷)如图是函数y＝sin (ωx＋φ)的部分图象，则sin (ωx＋φ)＝(　　) A.sin (x＋)　　　B．sin (－2x) C.cos (2x＋) D．cos (－2x) 续表 追根 溯源 (人教B版必修第三册P50T2)如图是函数y＝A sin (ωx＋φ)的部分图象，其中A>0，ω>0，|φ|<，试确定这个函数的解析式 发现 感悟 高考试题和教材习题高度相似，解题的关键是弄清函数的周期、最值点及图象升降的零点位置 二、教材典题改编 1．(人教A版必修第一册P199例1改编)用“五点法”画y＝sin x，x∈[0，2π]的图象时，下列哪个点不是关键点(　　) A．(，) B．(，) C．(π，0) D．(2π，0) 答案：A 2．(人教A版必修第一册P241T5改编)将函数f(x)＝3sin (2x＋)的图象向左平移后得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)＝________． 答案：3sin (2x＋π)　解析：g(x)＝f(x＋)＝3sin [2(x＋)＋]＝3sin (2x＋π). 三、易误易混澄清 (图象平移时忽视自变量x的系数)为了得到函数y＝3sin (2x－)的图象，只要把y＝3sin (2x＋)图象上所有的点(　　) A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 答案：A [对应学生用书P107] 考点一　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及变换 [例1] (1)(2025·成都石室中学模拟)将函数f(x)＝2sin (2x－)的图象先向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为(　　) A．g(x)＝2sin (4x＋) B．g(x)＝2sin (x－) C．g(x)＝2sin (4x＋) D．g(x)＝2sin (x＋) (2)(2022·全国甲卷)将函数f(x)＝sin (ωx＋)(ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是(　　) A． B． C． D． (1)D　(2)C　解析：(1)将函数f(x)＝2sin (2x－)的图象向左平移个单位长度后，得到函数y＝2sin [2(x＋)－]＝2sin (2x＋)的图象，再将横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得g(x)＝2sin (2·x＋)＝2sin (x＋)的图象． (2)记曲线C的函数解析式为g(x)，则g(x)＝sin [ω(x＋)＋]＝sin [ωx＋(ω＋)].因为函数g(x)的图象关于y轴对称，所以ω＋＝kπ＋(k∈Z)，得ω＝2k＋(k∈Z).因为ω>0，所以ωmin＝. 三角函数图象平移变换问题的关键及解题策略 (1)确定函数y＝sin x经过平移变换后图象对应的解析式，关键是明确左右平移的方向，即按“左加右减”的原则进行． (2)已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时，首先要将解析式化为同名三角函数形式，然后再确定平移方向和单位长度． 训练1 设函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)，将函数f(x)的图象先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，所得的图象与y＝cos x图象重合，则(　　) A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝ C．ω＝2，φ＝ D．ω＝2，φ＝ C　解析：将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，可得y＝f(x－)＝sin [ω(x－)＋φ]＝sin (ωx－ω＋φ)的图象，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin (x－ω＋φ)的图象，由于得到的函数图象与y＝cos x图象重合，故ω＝2，－＋φ＝＋2kπ(k∈Z)(平移、伸缩变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数)，所以φ＝＋2kπ(k∈Z).又0＜φ＜π，所以φ＝. 考点二　由图象确定函数y＝A sin (ωx＋φ)的解析式 [例2] (1)已知函数y＝A sin (ωx＋φ)＋n的最大值为4，最小值是0，最小正周期是，直线x＝是其图象的一条对称轴，若A>0，ω>0，0<φ<，则函数解析式为________． (2)(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f(x)的两个交点，若|AB|＝，则f(π)＝________． 答案：(1)y＝2sin (4x＋)＋2　(2)－　解析：(1)依题意可得A＝＝2，n＝＝2，ω＝＝4，所以y＝2sin (4x＋φ)＋2，所以4×＋φ＝kπ＋，k∈Z，即φ＝kπ－，k∈Z.因为0<φ<，所以k＝1，φ＝.所以函数解析式为y＝2sin (4x＋)＋2. (2)对比正弦函数y＝sin x的图象易知，点(，0)为“五点(画图)法”中的第五点，所以ω＋φ＝2π　①. 由题知|AB|＝xB－xA＝，且f(ω＋φ)＝0，得两式相减，得ω(xB－xA)＝，即ω＝，解得ω＝4.代入①，得φ＝－，所以f(π)＝sin (4π－)＝－sin ＝－. 确定y＝A sin (ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法 (1)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝. (2)求φ.常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入． 训练2 (1)函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，则f(π)＝(　　) A．－1 B．－ C． D．1 C　解析：由题图可知A＝2，＝－＝π，故最小正周期T＝4π，所以ω＝＝，所以f(x)＝2sin (x＋φ).由f()＝2sin (×＋φ)＝2sin (＋φ)＝0及图象单调性可知，＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，又|φ|<，则φ＝，所以f(x)＝2sin (x＋)，得f(π)＝2sin ＝. (2)如图所示为函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω>0，≤φ≤π)的部分图象，其中|AB|＝5，则此函数的解析式为________． 答案：y＝2sin (x＋)　解析：由函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)的部分图象，设A为(x1，2)，B为(x2，－2)，其中x1<x2，因为|AB|＝5，可得＝5，解得x2－x1＝3，即T＝3，所以T＝6，可得ω＝＝，所以f(x)＝2sin (x＋φ).又由f(0)＝2sin φ＝1，可得sin φ＝，因为≤φ≤π，所以φ＝.所以函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin (x＋). 考点三　三角函数图象、性质的综合应用 [例3] 已知函数f(x)＝2sin ωx cos ωx＋2cos2ωx(ω＞0)，且f(x)的最小正周期为π. (1)求ω的值及函数f(x)的单调递减区间； (2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，求当x∈[0，]时，函数g(x)的最大值． 解：(1)由题意知f(x)＝sin2ωx＋1＋cos 2ωx＝2sin (2ωx＋)＋1， 因为周期T＝＝π，所以ω＝1， 所以f(x)＝2sin (2x＋)＋1， 令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 所以函数f(x)的单调递减区间为[＋kπ，＋kπ]，k∈Z. (2)因为g(x)＝2sin [2(x－)＋]＋1＝2sin (2x－)＋1， 当x∈[0，]时，－≤2x－≤，所以当2x－＝， 即x＝时，g(x)max＝2×1＋1＝3. 三角函数的图象与性质综合问题的求解思路 (1)将函数整理成y＝A sin (ωx＋φ)＋B(ω>0)或y＝A cos (ωx＋φ)＋B(ω>0)的形式； (2)把ωx＋φ看成一个整体； (3)借助正弦函数y＝sin x或余弦函数y＝cos x的图象与性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题． 训练3 (多选)(2025·枣庄模拟)已知函数f(x)＝sin x－cos x，则(　　) A．f(x)的最小正周期为π B．f(x)在[0，]上单调递增 C．直线x＝－是f(x)图象的一条对称轴 D．f(x)的图象可由y＝sin x的图象向左平移个单位长度得到 BC　解析：f(x)＝sin x－cos x可化为f(x)＝sin (x－)，函数f(x)＝sin (x－)的最小正周期为2π，A错误；当0≤x≤时，－≤x－≤，因为y＝sin x在[－，]上单调递增，所以函数f(x)在[0，]上单调递增，B正确；当x＝－时，x－＝－，所以直线x＝－是f(x)图象的一条对称轴，C正确；函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)＝sin (x＋)的图象，D错误． 考点四　三角函数模型的简单应用 [例4] 已知某摩天轮的半径为60 m，其中心到地面的距离为70 m，摩天轮启动后按逆时针方向匀速转动，每30分钟转动一圈．已知当游客距离地面超过100 m时进入最佳观景时间段，则游客在摩天轮转动一圈的过程中最佳观景时长约有(　　) A．5分钟 B．10分钟 C．15分钟 D．20分钟 B　解析：设游客到地面的距离为y m，设y关于转动时间t(单位：分钟)的函数关系式为y＝A sin (ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0)，则A＝60，－A＋b＝10，可得b＝70，函数y＝A sin (ωt＋φ)＋b的最小正周期为T＝30，则ω＝＝.当t＝0时，游客位于最低点，可取φ＝－，所以y＝60sin (－)＋70＝－60cos ＋70.由y>100，即－60cos ＋70>100，可得cos <－，所以2kπ＋<<2kπ＋(k∈Z)，解得30k＋10<t<30k＋20(k∈Z).因此，游客在摩天轮转动一圈的过程中最佳观景时长约有10分钟． 三角函数模型应用的关注点 (1)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题． (2)研究y＝A sin (ωx＋φ)＋b的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题． 训练4 如图是某景区中一个半径为100 m的圆形湖泊，为了方便游客观赏，决定在湖中搭建一个“工”字型观光长廊，其中AB＝CD，M，N分别为AB，CD的中点，且AB⊥MN，则观光长廊最长为________m. 答案：200　解析：如图，设圆心为O，由题意可知O为MN的中点，连接OB， 设∠BOM＝θ(0<θ<)，则OM＝100cos θ，MB＝100sin θ，故观光长廊的长度y＝200cos θ＋400sin θ＝200sin (θ＋φ)，其中tan φ＝，∴当sin (θ＋φ)＝1时，ymax＝200，即观光长廊最长为200 m． [课时训练(30)见P407] 学科网（北京）股份有限公司 $$