第4章 第3节 第二课时 三角恒等变换（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A培优版）

第二课时　三角恒等变换 [对应学生用书P96] 考点一　三角函数式的化简 [例1] (1)(2025·重庆巴蜀中学模拟)化简＋的结果是(　　) A．cos 10° B．sin 10° C．2sin 10°＋cos 10° D．2cos 10°－sin 10° (2)(2025·邯郸一中模拟)化简的值为(　　) A．－2 B．2 C．－1 D．1 (1)D　(2)D　解析：(1)原式＝＋＝＋＝cos 10°＋cos 10°－sin 10°＝2cos 10°－sin 10°. (2)＝ ＝＝ ＝＝＝1. 三角函数式的化简要遵循“三看”原则 训练1 化简2cos2α－(tanα＋)×sin 2α＝________． 答案：cos 2α　解析：2cos2α－(tanα＋)×sin 2α＝cos 2α＋1－(＋)·sin α·cos α＝cos 2α＋1－(sin2α＋cos2α)＝cos 2α. 考点二　三角函数求值问题 考向1　给角求值 [例2] 求值：(1)； (2)sin 50°(1＋tan 10°). 解：(1)原式＝＝－＝－＝－1. (2)原式＝sin 50°·(1＋·)＝sin 50°·＝sin 50°·＝＝＝＝1. 给角求值问题的解题策略 在三角函数的给角求值问题中，已知角常常是非特殊角，但非特殊角与特殊角总有一定关系．其基本思路是： (1)观察所给角与特殊角之间的关系，利用和、差、倍角公式等将非特殊角的三角函数值转化为特殊角的三角函数值； (2)再通过正、负相消或约分并利用特殊角的三角函数值达到求值的目的． 考向2　给值(式)求值 [例3] (1)(2023·新课标Ⅱ卷)已知α为锐角，cos α＝，则sin ＝(　　) A． B． C． D． (2)(2025·青岛模拟)已知sin (α＋)＝，则sin 2α＝(　　) A．－ B． C．± D．－ (1)D　(2)A　解析：(1)因为α为锐角，也为锐角，由半角公式得sin ＝＝＝＝. (2)方法一　因为sin (α＋)＝，所以sin α·cos ＋cos αsin ＝，所以sin α＋cos α＝，所以sin α＋cos α＝，所以(sin α＋cos α)2＝，所以sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝，即1＋2sin αcos α＝，所以sin 2α＝－. 方法二　因为sin 2α＝－cos (＋2α)＝－[1－2sin2(＋α)]＝2sin2(＋α)－1＝2×()2－1＝－. 考向3　给值求角 [例4]已知cos (α＋)＝，α∈(0，). (1)求cos α的值； (2)若tan (α＋β)＝，β∈(0，)，求β的值． 解：(1)因为α∈(0，)，所以α＋∈(，)， 又cos (α＋)＝，所以sin (α＋)＝， 所以cos α＝cos (α＋－)＝cos (α＋)cos ＋sin (α＋)sin ＝×＋×＝. (2)由(1)可知sin α＝，所以tan α＝， 所以tan β＝tan (α＋β－α)＝＝＝， 因为β∈(0，)，所以β＝. 给角求值选取函数时有以下原则 (1)已知正切函数值，则选正切函数． (2)已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是(0，)，则正、余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦函数较好；若角的范围为(－，)，则选正弦函数较好． 训练2 (1)2＋等于(　　) A．2cos 2 B．2sin 2 C．4sin 2＋2cos 2 D．2sin 2＋4cos 2 B　解析：2＋＝2＋＝2＋＝2|sin2＋cos 2|＋2|cos 2|.∵＜2＜π，∴cos 2＜0.∵sin 2＋cos 2＝sin (2＋)，＜2＋＜π，∴sin 2＋cos 2＞0.∴原式＝2(sin 2＋cos 2)－2cos 2＝2sin 2. (2)已知 sin α＝，cos β＝，且α，β为锐角，则α＋2β＝________． 答案：　解析：因为sin α＝，且α为锐角，所以cos α＝＝＝.因为cosβ＝，且β为锐角，所以sin β＝＝＝，则sin2β＝2sin βcos β＝2××＝，cos 2β＝1－2sin2β＝1－2×()2＝，所以cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β＝×－×＝.因为α∈(0，)，β∈(0，)，所以α＋2β∈(0，)，故α＋2β＝. 考点三　三角恒等变换的综合应用 [例5] 已知向量m＝(－，)，n＝(2cos α，2sin α)，0<α<π. (1)若m∥n，求的值； (2)若|m＋n|＝|n|，求sin (α＋)的值． 解：(1)因为m∥n，所以－×2sin α＝×2cos α， 所以sin α＝－cos α，由题易知，cos α≠0，所以tan α＝－， 则原式＝＝＝＝＝3＋. (2)因为|m＋n|＝|n|，且m＋n＝(2cos α－，2sin α＋)， 所以 ＝， 整理得2sin α－2cos α＋1＝0， 所以4sin (α－)＝－1，即sin (α－)＝－. 因为0<α<π，所以α－∈(－，)， 又sin (α－)<0，所以α－∈(－，0)， 所以cos (α－)＝＝， 所以sin (α＋)＝sin [(α－)＋]＝cos (α－)＋sin (α－)＝×＋×(－)＝. 三角恒等变换的策略 (1)进行三角恒等变换时要抓住变角、变函数名称、变结构，尤其要注意角之间的关系，注意公式的逆用和变形使用． (2)把y＝a sin x＋b cos x化为y＝sin (x＋φ)的形式，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值等． 训练3 已知f(x)＝sin (2x－)＋2sin (x－)·cos (x＋). (1)求f()的值； (2)若锐角α满足f(α)＝，求sin 2α的值． 解：(1)由题意得 f(x)＝sin (2x－)＋2sin (x－)·cos (x＋)＝sin (2x－)＋2sin (x－)·cos [x＋(π－)] ＝sin (2x－)－2sin (x－)·cos (x－) ＝sin (2x－)－sin (2x－) ＝sin 2x cos －cos 2x sin ＋cos 2x ＝sin 2x＋cos 2x＝sin (2x＋)， 故f()＝sin (2×＋)＝0. (2)∵α∈(0，)，∴2α＋∈(，). 又f(α)＝，∴f(α)＝sin (2α＋)＝. ∵0<sin (2α＋)＝<，∴2α＋∈(，π)， ∴cos (2α＋)＝－＝－. ∴sin 2α＝sin [(2α＋)－] ＝sin (2α＋)cos －cos (2α＋)sin ＝×＋×＝. 万能公式及应用 sin α＝，cosα＝，tanα＝. (1)上述三个公式统称为万能公式，即角的任何一个三角函数都可以用这个角的半角的正切来表示． (2)上述公式左右两边定义域发生了变化，由左向右定义域缩小了． [例]已知α，β∈(0，π)，tan ＝，sin (α－β)＝，则cos β＝________． 答案：　解析：∵tan ＝，∴sin α＝＝＝，cosα＝＝＝. ∵α，β∈(0，π)，cosα＞0，∴α∈(0，)，∴α－β∈(－π，).∵sin (α－β)＝＞0， ∴α－β∈(0，)，∴cos (α－β)＝， ∴cos β＝cos (－β)＝cos (α－β－α)＝cos (α－β)·cos α＋sin (α－β)sin α＝×＋×＝. 训练 (1)已知6sin2α＋sinαcos α－2cos2α＝0，α∈(，π).则tanα＝________，sin (2α＋)＝________． 答案：－　　解析：∵6sin2α＋sinα·cos α－2cos2α＝＝＝0，即6tan2α＋tanα－2＝0，解得tan α＝－或tan α＝.又α∈(，π)，∴tan α＝－.∵sin 2α＝＝－，cos2α＝＝，∴sin(2α＋)＝sin 2αcos ＋cos 2αsin ＝－×＋×＝. (2)已知tan ＝，tan αtan β＝，求cos (α－β)的值． 解：cos (α＋β)＝＝＝－， 则有cosαcos β－sin αsin β＝－　①， 又已知·＝，从而有7sin αsin β－13cos αcos β＝0　②， 联立①②可得cos αcos β＝，sin αsin β＝， 所以cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝. [课时训练(27)见P398] 学科网（北京）股份有限公司 $$