第3章 第1节 导数的概念及运算（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A培优版）

第1节　导数的概念及运算 1．理解导数的概念、掌握基本初等函数的导数． 2．通过函数图象直观理解导数的几何意义．(热点) 3．能利用导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数的导数． [对应学生用书P62] 一、导数的概念 1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作f′(x0)或y′|x＝x0. f′(x0)＝ ＝ . 2．函数y＝f(x)的导函数 f′(x)＝y′＝ . 二、导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者． 三、基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝ax ln a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 四、导数的运算法则 一般地，对于两个函数f(x)和g(x)的和(或差)、乘积(或商)的导数，我们有如下法则： (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x). (2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x). (3)[]′＝(g(x)≠0). 五、复合函数的导数 一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导函数间的关系为y′x＝y′u·u′x. 在复合函数求导中要分清每一步求导是哪个变量对哪个变量的求导，不能混淆． 巧记4个常用结论 (1)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数．周期函数的导数还是周期函数． (2)[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x). (3)①注意[]′≠. ②(特殊化)当f(x)＝1，g(x)≠0时，＝，[]′＝－. (4)函数y＝f(x)的导函数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡峭”． 一、“教考衔接”例证 高考真题 (2022·新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln |x|过坐标原点的两条切线的方程为________，________ 追根溯源 (人教B版选择性必修第三册P91T6)求满足下列条件的直线l的方程． (1)过原点且与曲线y＝ln x相切； (2)斜率为e且与曲线y＝ex相切 发现感悟 从条件看，两题均是求曲线y＝ln x过原点的切线方程，只不过高考题又结合了分段函数及函数性质求解，阐释了教材的本位作用 二、教材典题改编 1．(北师版选择性必修第二册P66T1改编)设f(x)＝e＋ln 2的导函数为f′(x)，则f′(1)的值为(　　) A．0 B．e C． D． 答案：D 2．(多选)(人教A版选择性必修第二册P81T1改编)下列导数的运算，正确的是(　　) A．(3x)′＝3xln 3 B．(x2ln x)′＝2x ln x＋x C．()′＝ D．(sin x cos x)′＝cos 2x 答案：ABD 3．(人教A版选择性必修第二册P81T3改编)已知函数f(x)＝x(2 024＋ln x)，若f′(x0)＝2 025，则x0等于(　　) A．e2 B．1 C．ln 2 D．e 答案：B 4．(人教B版选择性必修第三册P81T2改编)曲线y＝cos x－在点(0，1)处的切线方程为________． 答案：x＋2y－2＝0 三、易误易混澄清 1．(错用复合函数的求导法则)设函数f(x)＝cos (x＋φ)，其中常数φ满足－π<φ<0，若函数g(x)＝f(x)＋f′(x)(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)是偶函数，则φ＝________． 答案：－　解析：由题意得g(x)＝f(x)＋f′(x)＝cos (x＋φ)－sin (x＋φ)＝2cos (x＋φ＋)，因为函数g(x)为偶函数，所以φ＋＝kπ，k∈Z，解得φ＝kπ－，k∈Z，又－π<φ<0，所以φ＝－. 2．(不理解瞬时变化率的意义)已知曲线f(x)＝2x2＋1在点M(x0，f(x0))处的瞬时变化率为－8，则点M的坐标为________． 答案：(－2，9)　解析：∵f(x)＝2x2＋1， ∴f′(x)＝4x，令4x0＝－8，则x0＝－2， ∴f(x0)＝9，∴点M的坐标是(－2，9). 3．(混淆在点P处的切线和过点P的切线)已知曲线y＝aex＋x ln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则a的值为________；b的值为________． 答案：　－1　解析：y′＝aex＋ln x＋1，所以解得 [对应学生用书P63] 考点一　导数的运算 1．下列求导运算正确的是(　　) A．()′＝－ B．(x2ex)′＝2x＋ex C．(x cos x)′＝－sin x D．(x－)′＝1－ A　解析：对于A，()′＝＝－，正确；对于B，(x2ex)′＝(x2)′ex＋x2(ex)′＝2xex＋x2ex＝(2x＋x2)ex，错误；对于C，(x cos x)′＝cos x－x sin x，错误；对于D，(x－)′＝1－()′＝1＋，错误． 2．一个质点做直线运动，其位移s(单位：米)与时间t(单位：秒)满足关系式s＝t4＋(3t－1)3，则当t＝1时，该质点的瞬时速度为(　　) A．16米/秒 B．40米/秒 C．9米/秒 D．36米/秒 B　解析：s′＝4t3＋3(3t－1)2×3，当t＝1时，s′＝4＋9×4＝40，故当t＝1时，该质点的瞬时速度为40米/秒. 3．已知函数f(x)＝ln (2x－3)＋axe－x，若f′(2)＝1，则a＝________． 答案：e2　解析：∵f′(x)＝·(2x－3)′＋ae－x＋ax·(e－x)′＝＋ae－x－axe－x，∴f′(2)＝2＋ae－2－2ae－2＝2－ae－2＝1，则a＝e2. 4．函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)＝x2＋f′()sin x，则f()＝________． 答案：＋　解析：∵f′(x)＝2x＋f′()cos x，∴f′()＝＋f′()， ∴f′()＝，∴f()＝＋. 导数运算的策略 (1)求导之前，应利用代数运算、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，尽量避免不必要的商的求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错． (2)①若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导． ②复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元． 考点二　导数的几何意义 考向1　求切线方程 [例1] (1)曲线f(x)＝x6＋3x－1在(0，－1)处的切线与坐标轴围成的面积为(　　) A． B． C． D．－ (2)(2024·全国甲卷)设函数f(x)＝，则曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) A． B． C． D． (1)A　(2)A　解析：(1)因为f′(x)＝6x5＋3，所以f′(0)＝3，故切线方程为y＋1＝3(x－0)＝3x，即y＝3x－1，故切线的横截距为，纵截距为－1，故切线与坐标轴围成的面积为×1×＝. (2)f′(x)＝，则f′(0)＝＝3，即该切线方程为y－1＝3x，即y＝3x＋1，令x＝0，则y＝1；令y＝0，则x＝－，故该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为S＝×1×|－|＝. 求切线方程的方法与注意点 (1)首先要明确求是“在”还是“过”某点的切线方程，“在”某点的切线至多有一条，“过”某点的切线一般有两条； (2)“在”某点的切线方程，求出斜率代入点斜式即可；“过”某点的切线方程，有两种方法：一是设出斜率并写出点斜式，然后与已知函数式联立，在方程组只有一解的前提下，求斜率即可，如果只求出一解，此时不要忽略斜率不存在的情况；二是设出切点的坐标，利用切点既在直线上又在曲线上，联立方程组求解即可． 训练1 已知函数f(x)＝x ln x．若直线l过点(0，－1)，且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为________． 答案：x－y－1＝0　解析：点(0，－1)不在曲线f(x)＝x ln x上，设切点坐标为(x0，y0).因为f′(x)＝1＋ln x，所以直线l的方程为y＋1＝(1＋ln x0)x.由解得所以直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0. 考向2　求切点坐标或参数的值(范围) [例2] (1)(2024·宜宾三模)若曲线y＝ex＋a的一条切线方程是y＝x－1，则a＝(　　) A．－2 B．1 C．－1 D．e (2)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________． (1)A　(2)(－∞，－4)∪(0，＋∞)　解析：(1)由y＝ex＋a，得y′＝ex，设切点坐标为(t，et＋a)，由et＝1，得t＝0，∴切点坐标为(0，1＋a)，代入y＝x－1，得1＋a＝－1，即a＝－2. (2)∵y＝(x＋a)ex，∴y′＝(x＋1＋a)ex，设切点坐标为(x0，(x0＋a)ex0)，切线斜率k＝(x0＋1＋a)ex0，切线方程为y－(x0＋a)ex0＝(x0＋1＋a)·ex0(x－x0)，∵切线过原点，∴－(x0＋a)ex0＝(x0＋1＋a)·ex0(－x0)，整理得x＋ax0－a＝0.∵切线有两条，∴Δ＝a2＋4a>0，解得a<－4或a>0，∴a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞). 利用导数的几何意义求参数的基本方法 利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围． 训练2 已知f(x)＝x3－3x2＋ax－1，若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线经过坐标原点，则x0＝________． 答案：1或－　解析：由题意，f′(x)＝3x2－6x＋a，则切线在x0处的斜率k＝3x－6x0＋a，因为切线过原点，所以切线方程为y＝(3x－6x0＋a)x.又切线经过切点(x0，f(x0))，所以x－3x＋ax0－1＝(3x－6x0＋a)x0，整理可得2x－3x＋1＝0，即2(x－x)－(x－1)＝0，则2x(x0－1)＝(x0－1)·(x0＋1)，可得(x0－1)(2x－x0－1)＝0，即(x0－1)2(2x0＋1)＝0，故x0＝1或x0＝－. 考向3　公切线问题 [例3] (1)(2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln (x＋1)＋a的切线，则a＝________． (2)若曲线C1：f(x)＝x2＋a和曲线C2：g(x)＝4ln x－2x存在有公共切点的公切线，则该公切线的方程为__________． 答案：(1)ln 2　(2)y＝2x－4　解析：(1)由y＝ex＋x得y′＝ex＋1，y′|x＝0＝e0＋1＝2，故曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线方程为y＝2x＋1；由y＝ln (x＋1)＋a得y′＝，设切线与曲线y＝ln (x＋1)＋a相切的切点为(x0，ln (x0＋1)＋a)，由两曲线有公切线得y′＝＝2，解得x0＝－，则切点为(－，a＋ln )，切线方程为y＝2(x＋)＋a＋ln ＝2x＋1＋a－ln 2，根据两切线重合，所以a－ln 2＝0，解得a＝ln 2. (2)f(x)＝x2＋a，g(x)＝4ln x－2x，则有f′(x)＝2x，g′(x)＝－2.设公共切点的坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝2x0，g′(x0)＝－2，f(x0)＝x＋a，g(x0)＝4ln x0－2x0.根据题意，有解得∴公切线的切点坐标为(1，－2)，切线斜率为2，∴公切线的方程为y＋2＝2(x－1)，即y＝2x－4. 解决两曲线的公切线问题的两种方法 (1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解． (2)设公切线l在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，则f′(x1)＝g′(x2)＝. 训练3 (1)(2025·海南开学考试)函数f(x)＝1＋ln x与函数g(x)＝ex－1公切线的纵截距为(　　) A．1或0 B．－1或0 C．1或e D．－1或e B　解析：设切点分别为(x1，f(x1))，(x2，g(x2))，x1>0，且导数为f′(x)＝，g′(x)＝ex，所以切线方程既为y－(1＋ln x1)＝(x－x1)，也为y－(ex2－1)＝ex2(x－x2)，所以所以ln ()＝ln ex2⇒－ln x1＝x2，所以－x2＝(1－x2)ex2－1⇒(1－x2)(ex2－1)＝0，所以x2＝1或x2＝0，所以公切线的纵截距为(1－1)e1－1＝－1或(1－0)e0－1＝0. (2)已知直线y＝kx＋b(k∈R，b≠0)是f(x)＝ex－1的图象与g(x)＝1＋ln x的图象的公切线，则k＋b＝________． 答案：e－1　解析：因为函数f(x)＝ex－1，所以f′(x)＝ex，设点(t，et－1)是f(x)的图象与公切线的切点，则公切线的方程为y－et＋1＝et(x－t)，即y＝etx＋(1－t)et－1.因为函数g(x)＝1＋ln x，所以g′(x)＝，令g′(x)＝＝et，解得x＝e－t，可得g(e－t)＝1－t，可知g(x)的图象与公切线的切点坐标为(e－t，1－t)，则公切线的方程为y－(1－t)＝et(x－e－t)，即y＝etx－t，所以(1－t)et－1＝－t，整理得(t－1)(et－1)＝0，解得t＝0或t＝1.当t＝0时，公切线的方程为y＝x，此时b＝0，不符合题意，舍去；当t＝1时，公切线的方程为y＝ex－1，故k＝e，b＝－1.综上所述，k＋b＝e－1. 利用导数进行近似计算 [例] (2025·通州期中)函数y＝kx＋b，其中k，b(k≠0)是常数，其图象是一条直线，称这个函数为线性函数，对于非线性可导函数f(x)，在点x0附近一点x的函数值f(x)，可以用如下方法求其近似代替值：f(x)≈f(x0)＋f′(x0)·(x－x0).利用这一方法，m＝的近似代替值(　　) A．一定大于m B．一定小于m C．等于m D．与m的大小关系不确定 审题指导：根据题意可构造函数f(x)＝，利用求近似代替值的方法即可得近似代替值一定大于m. A　解析：令函数f(x)＝，则f′(x)＝；根据题意可得m＝＝f(1.002)≈f(1)＋f′(1)(1.002－1)＝1＋×0.002＝1.001；又1.0012＝1.002 001>m2＝1.002，因此近似代替值1.001>m，近似代替值一定大于m. 训练 (2024·潍坊三模)牛顿迭代法是求方程近似解的一种方法．如图，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的零点r，取初始值x0，f(x)的图象在点(x0，f(x0))处的切线与x轴的交点的横坐标为x1，f(x)的图象在点(x1，f(x1))处的切线与x轴的交点的横坐标为x2，一直继续下去，得到x1，x2，…，xn，它们越来越接近r.设函数f(x)＝x2＋bx，x0＝2，用牛顿迭代法得到x1＝，则实数b＝(　　) A．1 B． C． D． D　解析：f′(x)＝2x＋b，f′(2)＝4＋b，f(2)＝4＋2b，则f(x)在(2，f(2))处的切线方程为y－(4＋2b)＝(4＋b)(x－2)，由题意得，切线过点(，0)，代入得－(4＋2b)＝(4＋b)·(－2)，解得b＝. [课时训练(18)见P379] 学科网（北京）股份有限公司 $$