第2章 第9节 函数模型及其应用（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A培优版）

第9节　函数模型及其应用 1．在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律．(重点) 2．结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义． [对应学生用书P58] 一、几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) “对勾”函数模型 f(x)＝x＋(a>0) 二、三种基本函数模型的性质 　　函数 性质　　 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞) 上的单调性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大，逐渐表现为与y轴平行 随x的增大，逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 (1)“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变； (2)“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容； (3)“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢． 一、教材典题改编 1．(人教A版必修第一册P53例4改编)某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y＝3 000＋20x－0.1x2(0<x<240，x∈N*)，若每台产品的售价为25万元，且销量等于产量，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是(　　) A．100台　B．120台　C．150台　D．180台 C　解析：设利润为f(x)万元，则f(x)＝25x－(3 000＋20x－0.1x2)＝0.1x2＋5x－3 000(0<x<240，x∈N*).令f(x)≥0，得x≥150，所以生产者不亏本时的最低产量是150台． 2．(人教A版必修第一册P161T10改编)把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1 ℃，空气的温度是θ0 ℃.那么t min后物体的温度θ(单位：℃)可由公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt求得，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数．现有46 ℃的物体，放在10 ℃的空气中冷却，1 min以后物体的温度是38 ℃，则k的值约为________.(参考数据：ln 3≈1.10，ln 7≈1.95) 答案：0.25 二、易误易混澄清 1．(混淆指、对、幂函数的图象)已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是(　　) A．f(x)>g(x)>h(x) B．g(x)>f(x)>h(x) C．g(x)>h(x)>f(x) D．f(x)>h(x)>g(x) B　解析：在同一平面直角坐标系内，根据函数图象变化趋势，当x∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次g(x)>f(x)>h(x). 2．(分段函数模型的分界把握不到位)已知A，B两地相距150 km，某人开汽车以60 km/h的速度从A地到达B地，在B地停留1 h后再以50 km/h的速度返回A地，则汽车与A地的距离s(km)关于时间t(h)的函数表达式是________________． 答案：s＝　解析：当0≤t≤2.5时，s＝60t；当2.5<t≤3.5时，s＝150；当3.5<t≤6.5时，s＝150－50(t－3.5)＝325－50t.故s关于t的函数表达式为s＝ [对应学生用书P59] 考点一　利用函数图象刻画变化过程 1．如图所示，输液瓶可以视为两个圆柱的组合体，开始输液时，滴管内匀速滴下液体(滴管内液体忽略不计)，设输液开始后x分钟，瓶内液面与进气管的距离为h厘米，已知当x＝0时，h＝13.如果瓶内的药液恰好156分钟滴完，则函数h＝f(x)的图象为(　　) C　解析：由题意知，瓶内药液的体积为156π cm3，所以每分钟滴下π cm3药液．当4≤h≤13时，xπ＝π·42·(13－h)，即h＝13－，此时0≤x≤144；当1≤h＜4时，xπ＝π·42·9＋π·22(4－h)，即h＝40－，此时144＜x≤156，所以函数h＝f(x)单调递减，且144＜x≤156时，递减速度变快． 2．(2022·北京卷)在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lg P的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar.下列结论中正确的是(　　) A．当T＝220，P＝1 026时，二氧化碳处于液态 B．当T＝270，P＝128时，二氧化碳处于气态 C．当T＝300，P＝9 987时，二氧化碳处于超临界状态 D．当T＝360，P＝729时，二氧化碳处于超临界状态 D　解析：结合图象逐一验证，当T＝220，lg P＝lg 1 026>3时，由图象可知二氧化碳处于固态，故A错误；当T＝270，lg P＝lg 128∈(2，3)时，由图象可知二氧化碳处于液态，故B错误；当T＝300，lg P＝lg 9 987≈4时，由图象可知二氧化碳处于固态，故C错误；当T＝360，lg P＝lg 729∈(2，3)时，由图象可知二氧化碳处于超临界状态，故D正确． 3．(多选)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示， 根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，正确的是(　　) A．首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用 B．每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒 C．每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用 D．首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒 ABC　解析：从图象中可以看出，首次服用该药物1单位约10分钟后药物发挥治疗作用，A正确；根据图象可知，首次服用该药物1单位约1小时后的血药浓度达到最大值，由图象可知，当两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒，B正确；服药5.5小时时，血药浓度等于最低有效浓度，此时再服药，血药浓度增加，可使药物持续发挥治疗作用，C正确；第一次服用该药物1单位3小时后与第2次服用该药物1单位1小时后，血药浓度之和大于最低中毒浓度，因此一定会发生药物中毒，D错误． 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的方法 (1)构建函数模型法：当根据题意构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象． (2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择符合实际情况的答案． 考点二　利用已知函数模型解决实际问题 [例1] 汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要依据．在一个限速为40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过6 m，乙车的刹车距离略超过10 m．已知甲车的刹车距离S m与车速v km/h之间的关系为S甲＝v2－v，乙车的刹车距离S m与车速v km/h之间的关系为S乙＝v2－v.请判断甲、乙两车哪辆车有超速现象(　　) A．甲、乙两车均超速 B．甲车超速但乙车未超速 C．乙车超速但甲车未超速 D．甲、乙两车均未超速 C　解析：对于甲车，令v2－v≈6，即v2－10v－600≈0，解得v≈－20 km/h(舍去)或v≈30 km/h，所以甲车未超速；对于乙车，令v2－v≈10，即v2－10v－2 000≈0，解得v≈－40 km/h(舍去)或v≈50 km/h，所以乙车超速． 求解所给函数模型解决实际问题的关注点 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该模型求解实际问题． 训练1 (1)香农威纳指数(H)是生态学中衡量群落中生物多样性的一个指数，其计算公式是H＝－i·log2pi，其中n是该群落中生物的种数，pi为第i个物种在群落中的比例，下表为某个只有甲、乙、丙三个种群的群落中各种群个体数量统计表，根据表中数据，该群落的香农威纳指数值为(　　) 物种 甲 乙 丙 合计 个体数量 300 150 150 600 A. B． C．－ D．－ A　解析：由题意知H＝－(×log2＋×log2＋×log2)＝－(log2＋log2＋log2)＝－(－－－)＝. (2)某医院在成为某流行病检测定点医院并开展检测工作的第n天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时t(n)(单位：时)大致服从的关系为t(n)＝(t0，N0为常数).已知第16天检测过程平均耗时为16小时，第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时，那么可得到第49天检测过程平均耗时大致为(　　) A．16小时 B．11小时 C．9小时 D．8小时 C　解析：由题知，16＜N0，所以＝16，得t0＝64.又由＝8，解得N0＝64，所以当n＝49时，t(49)＝＝≈9. 考点三　构建函数模型解决实际问题 考向1　构建二次函数模型 [例2] 某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R元)，若每年销售量为(30－R)万件，要使附加税不少于128万元，则R的取值范围是(　　) A．[4，8] B．[6，10] C．[4%，8%] D．[6%，10%] A　解析：根据题意，要使附加税不少于128万元，需(30－R)×160×R%≥128，整理得R2－12R＋32≤0，解得4≤R≤8，即R∈[4，8]. 构建二次函数模型解决最优解问题的注意点 (1)在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时，一定要注意自变量的取值范围，即函数的定义域； (2)解决函数最优解问题时，常常构建二次函数模型，利用二次函数求最值，最后还要还原到实际问题中． 考向2　构建指数、对数函数模型 [例3] 核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量Xn与扩增次数n满足lg Xn＝n lg (1＋p)＋lg X0，其中X0为DNA的初始数量，p为扩增效率．已知某被测标本DNA扩增12次后，数量变为原来的1 000倍，则扩增效率p约为(参考数据：100.25≈1.778，10－0.25≈0.562)(　　) A．22.2% B．43.8% C．56.2% D．77.8% D　解析：由题意知，Xn＝1 000X0，则lg (1 000X0)＝12lg (1＋p)＋lg X0，即lg 103＋lg X0＝12lg (1＋p)＋lg X0，即3＝12lg (1＋p)，所以1＋p＝100.25≈1.778，解得p≈0.778＝77.8%. 构建函数模型解决实际问题的思路 除了常见的增长率问题外，其他与指数函数、对数函数有关的实际问题，其模型都比较难以构建，所以对这类问题的考查一般都会给出相应的函数模型(一般含有参数)，可以根据条件确定参数的值，从而明确函数模型，再进行相应问题的解答． 考向3　构建分段函数模型 [例4] 某企业生产某款空调预计全年需投入固定成本260万元，生产x千台空调，需另投入资金R万元，且R＝经测算，当生产10千台空调时需另投入的资金为4 000万元．已知每台空调的售价为0.9万元，且当年生产的空调能全部销售完． (1)求该企业生产并销售该款空调所获年利润W(万元)关于年产量x(千台)的函数关系式； (2)当年产量为多少时，该企业所获年利润最大？最大年利润为多少？(注：利润＝销售额－成本) 解：(1)由题意知，当x＝10时，R＝10×102＋10a＝4 000，所以a＝300， 则当0≤x<40时， W＝900x－(10x2＋300x)－260＝－10x2＋600x－260； 当x≥40时， W＝900x－－260 ＝. 所以W＝ (2)当0≤x<40时，W＝－10(x－30)2＋8 740(万元)， 所以当x＝30时，W取得最大值，最大值为8 740； 当x≥40时，W＝－(x＋)＋9 190≤－2＋9 190＝8 990(万元)， 当且仅当x＝，即x＝100时，W有最大值，最大值为8 990. 因为8 740<8 990，所以当年产量为100千台时，该企业所获年利润最大，最大年利润为8 990万元． 构建分段函数模型的关注点 (1)某些实际问题中的变量关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，所以应建立分段函数模型； (2)构建分段函数时，要力求准确、简捷、合理、不重不漏； (3)分段函数的最大值(或最小值)是各段函数最大值(或最小值)中的最大值(或最小值). 训练2 (1)某自来水厂的蓄水池中存有水400吨，水厂每小时向蓄水池注水60吨，而蓄水池1小时内向居民小区供水总量为120吨(0≤t≤24).若蓄水池中的水量少于80吨，就会出现供水紧张，则在一天24小时内，出现供水紧张的时长约为(　　) A．6小时 B．7小时 C．8小时 D．9小时 C　解析：设蓄水池中的水量为y，则y＝400＋60t－120，0≤t≤24，设＝m∈[0，12]，t＝，则y＝400＋60·－120m＝10m2－120m＋400，令y<80，解得4<m<8，所以<t<，所以出现供水紧张的时长约为－＝8小时． (2)某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣；如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元部分享受一定的折扣优惠，并按下表折扣分别累计计算： 可以享受折扣优惠金额 折扣率 超额金额中不超过500元的部分 5% 超额金额中超过500元的部分 10% 若某顾客在此商场获得的折扣金额为50元，则此人购物实际所付金额为(　　) A．1 500元 B．1 550元 C．1 750元 D．1 800元 A　解析：设此人在此商场购物总金额为x元，可以获得的折扣金额为y元，由题设可知y＝因为y＝50>25，所以x>1 300，所以0.1×(x－1 300)＋25＝50，解得x＝1 550，故此人购物实际所付金额为1 550－50＝1 500(元). [课时训练(17)见P376] 学科网（北京）股份有限公司 $$