第2章 第8节 函数与方程（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A培优版）

第8节　函数与方程 1．结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系． 2．了解函数零点存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路，了解二分法求方程近似解具有一般性． [对应学生用书P53] 一、函数的零点 1．函数零点的定义 对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 2．几个等价关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点⇔函数y＝f(x)有零点． 3．函数零点的判定(函数零点存在定理) 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件． 二、二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 三、二次函数的图象与零点的关系 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 与x轴的交点 (x1，0)，(x2，0) (x1，0) 无 零点个数 2 1 0 有关函数零点的三个结论 (1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点． (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号． 一、“教考衔接”例证 高考真题 (2024·全国甲卷)当x>0时，曲线y＝x3－3x与y＝－(x－1)2＋a有两个交点，则a的取值范围是________________ 追根溯源 (苏教版必修第一册P254T15)设函数f(x)＝|x－a|，g(x)＝ax，其中a∈R. (1)若函数y＝f(x)是R上的偶函数，求a的值； (2)若关于x的方程f(x)＝g(x)有两个解，求a的取值范围 发现感悟 高考题将问题转化为由方程解的个数，求参数问题，两题虽条件不同，但殊途同归．解决此类问题可以数形结合，也可以直接求解确定参数的范围 二、教材典题改编 1．(人教A版必修第一册P143例1改编)函数f(x)＝的零点个数为(　　) A．3 B．2 C．7 D．0 B　解析：由或解得x＝－2或x＝e，故f(x)有2个零点． 2．(人教A版必修第一册P144T2改编)函数f(x)＝log2x＋x－2的零点所在的区间为(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) B　解析：函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则f(x)＝0在(0，＋∞)上只有一个根，且f(1)＝－1，f(2)＝1，则f(1)f(2)＜0，故f(x)的零点所在的区间为(1，2). 3．(人教B版必修第一册P126T3改编)函数f(x)＝＋a的零点为1，则实数a的值为(　　) A．－2 B．－ C． D．2 B　解析：由题意知，f(1)＝＋a＝0，解得a＝－. 三、易误易混澄清 1．(忽略函数零点存在定理的条件)设f(x)＝lg x＋x－3，用二分法求方程lg x＋x－3＝0在(2，3)内近似解的过程中得到f(2.25)<0，f(2.75)>0，f(2.5)<0，f(3)>0，则方程的根所在区间为(　　) A．(2，2.25) B．(2.25，2.5) C．(2.5，2.75) D．(2.75，3) C　解析：因为f(2.5)<0，f(2.75)>0，由函数零点存在定理知，方程的根所在区间为(2.5，2.75). 2．(忽视区间端点值)函数f(x)＝kx＋1在[1，2]上有零点，则k的取值范围是________． 答案：[－1，－]　解析：依题意函数f(x)＝kx＋1在[1，2]上有零点，所以k≠0，函数f(x)在定义域上是单调函数，所以f(1)·f(2)≤0，即(k＋1)·(2k＋1)≤0，解得－1≤k≤－. [对应学生用书P55] 考点一　函数零点所在区间的判定 [例1] (1)(多选)(2025·菏泽质检)函数f(x)＝ex－x－2在下列哪个区间内必有零点(　　) A．(－2，－1) B．(－1，0) C．(0，1) D．(1，2) (2)(2025·广州质检)定义开区间(a，b)的长度为b－a.经过估算，函数f(x)＝－x的零点属于开区间________(只需写出一个符合条件，且长度不超过的开区间即可). 答案：(1)AD　(2)(，)(答案不唯一)　 解析：(1)f(－2)＝>0，f(－1)＝－1<0，f(0)＝－1<0，f(1)＝e－3<0， f(2)＝e2－4>0，因为f(－2)·f(－1)<0，f(1)·f(2)<0，所以f(x)在(－2，－1)和(1，2)内存在零点． (2)因为y＝，y＝－x都是减函数，所以f(x)＝－x是减函数，且函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，又f(1)＝－<0，f()＝()－()<0，f()＝()－()>0，即f()·f()<0，所以函数f(x)在(，)上有零点，且－＝，符合题意，所以函数f(x)＝－x的零点属于(，)(答案不唯一). 确定函数零点所在区间的常用方法 利用零点存在定理 首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点 数形结合法 通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断 训练1 (1)根据表格中的数据可以判定方程ln x－x＋2＝0的一个根所在的区间为(　　) x 1 2 3 4 5 ln x 0 0.693 1.099 1.386 1.609 x－2 －1 0 1 2 3 A.(1，2) B．(2，3) C．(3，4) D．(4，5) C　解析：设f(x)＝ln x－x＋2＝ln x－(x－2)，易知函数f(x)在(1，＋∞)上的图象连续，由表格数据得f(1)＞0，f(2)＞0，f(3)＝ln 3－(3－2)＝1.099－1＝0.099＞0，f(4)＝ln 4－2＝1.386－2＜0，f(5)＜0，则f(3)·f(4)＜0，即在区间(3，4)上，函数f(x)存在一个零点，即方程ln x－x＋2＝0的一个根所在的区间为(3，4). (2)(2025·滨州模拟)[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.5]＝3，[－0.5]＝－1.已知x0是方程ln x＋3x－15＝0的根，则[x0]＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 C　解析：设f(x)＝ln x＋3x－15，显然f(x)在定义域(0，＋∞)上单调递增，故f(x)＝0只有一个根，又f(4)＝ln 4－3＝2ln 2－3＜2(ln 2－1)＜0，f(5)＝ln 5＞0，所以x0∈(4，5)，故[x0]＝4. 考点二　函数零点个数问题 [例2] (1)已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)－3的零点个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 (2)若函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋4)＝f(x)，且x∈(－2，2]时，f(x)＝|x|，则函数y＝f(x)的图象与函数y＝lg |x|的图象交点个数为(　　) A．4 B．6 C．8 D．10 (1)B　(2)C　解析：(1)方法一(直接法)　由y＝f(x)－3＝0得f(x)＝3.当x＞0时，得ln x＝3或ln x＝－3，解得x＝e3或x＝e－3；当x≤0时，得－2x(x＋2)＝3，无解．所以函数y＝f(x)－3的零点个数是2. 方法二(图象法)　作出函数f(x)的图象，如图，函数y＝f(x)－3的零点个数即y＝f(x)的图象与直线y＝3的交点个数，作出直线y＝3，由图知y＝f(x)的图象与直线y＝3有2个交点，故函数y＝f(x)－3的零点个数是2. (2)∵f(x＋4)＝f(x)，∴函数f(x)是周期为4的周期函数．又x∈(－2，2]时，f(x)＝|x|，∴作出函数f(x)与y＝lg |x|的图象如图所示． ∵x＝±10时，y＝lg |±10|＝1，∴由图数形结合可得函数y＝f(x)的图象与函数y＝lg |x|的图象交点个数为8. 函数零点个数的判定方法 (1)方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点． (2)定理法：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点． (3)图象法：画出两个函数的图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 训练2 (1)(2025·海南质检)函数y＝ex＋x2＋2x－1的零点个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 C　解析：函数y＝ex＋x2＋2x－1的零点个数即函数f(x)＝ex与g(x)＝－x2－2x＋1的图象的交点个数，在同一直角坐标系中，分别作出f(x)＝ex与g(x)＝－x2－2x＋1的图象，如图所示， 由图可知，两图象有2个交点，故原函数有2个零点． (2)函数f(x)是定义在R上最小正周期为2的周期函数，当0≤x<2时f(x)＝x2－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[－3，3]上与x轴的交点个数为(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 B　解析：令f(x)＝x2－x＝0，所以x＝0或x＝1，所以f(0)＝0，f(1)＝0.因为函数的最小正周期为2，所以f(2)＝0，f(3)＝0，f(－2)＝0，f(－1)＝0，f(－3)＝0.所以函数y＝f(x)的图象在区间[－3，3]上与x轴的交点个数为7. 考点三　函数零点的应用 考向1　根据函数零点个数求参数值或范围 [例3] (2024·宜昌模拟)已知f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－k有两个零点，则实数k的取值范围是________． 答案：(－2，0)∪{2}　解析：g(x)＝f(x)－k有两个零点，即f(x)＝k有两个根，即函数y＝f(x)与y＝k的图象有两个交点，如图所示，显然，当k＝2或－2<k<0时，函数y＝f(x)的图象与y＝k的图象有两个交点，符合题意． 考向2　利用零点范围求参数的范围 [例4] 已知函数f(x)＝3x－.若存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，) B．(0，) C．(－∞，0) D．(，＋∞) B　解析：由f(x)＝3x－＝0，可得a＝3x－，令g(x)＝3x－，其中x∈(－∞，－1)，由于存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围即为函数g(x)在(－∞，－1)上的值域．由于函数y＝3x，y＝－在区间(－∞，－1)上均单调递增，所以函数g(x)在(－∞，－1)上单调递增．当x∈(－∞，－1)时，g(x)＝3x－<g(－1)＝3－1＋1＝，又g(x)＝3x－>0，所以函数g(x)在(－∞，－1)上的值域为(0，).因此，实数a的取值范围是(0，). 已知函数有零点求参数值或取值范围常用的 方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围． (2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决． (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 训练3 (1)(多选)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m恰有2个零点，则实数m可以是(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 ABC　解析：令g(x)＝f(x)－m＝0，则f(x)＝m，在同一直角坐标系中作出y＝f(x)与y＝m的图象如图所示，只需两函数图象有两个交点即可． 由图可知当m＝－1，0，1时，两函数图象均有两个交点． (2)函数f(x)＝x2－ax＋1在区间(，3)上有零点，则实数a的取值范围是(　　) A．(2，＋∞) B．[2，＋∞) C．[2，) D．[2，) D　解析：由题意知，方程ax＝x2＋1在(，3)上有解，即a＝x＋在(，3)上有解，则实数a的取值范围是[2，). 与函数零点有关的新定义问题举例 [例] 已知M＝{α|f(α)＝0}，N＝{β|g(β)＝0}，若存在α∈M，β∈N，使得|α－β|<n，则称函数f(x)与g(x)互为“n度零点函数”．若f(x)＝32－x－1与g(x)＝x2－aex互为“1度零点函数”，则实数a的取值范围为________． 答案：(，]　解析：由题意可知f(2)＝0，且f(x)在R上单调递减，所以函数f(x)只有一个零点2，由f(x)与g(x)互为“1度零点函数”，得|2－β|<1.由|2－β|<1，得1<β<3，所以函数g(x)＝x2－aex在区间(1，3)上存在零点．由g(x)＝x2－aex＝0，得a＝.令h(x)＝，则h′(x)＝＝，所以h(x)在区间(1，2)上单调递增，在区间(2，3)上单调递减，且h(1)＝，h(2)＝，h(3)＝>，要使函数g(x)在区间(1，3)上存在零点，只需a∈(，]. 训练 对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝函数f(x)＝－ex＋2e，g(x)＝ex，h(x)＝min{f(x)，g(x)}，若函数Q(x)＝h(x)－k有两个零点，则实数k的取值范围为________． 答案：(0，e)　解析：因为f(x)＝－ex＋2e单调递减，g(x)＝ex单调递增，且f(1)＝e＝g(1)，故h(x)＝min{f(x)，g(x)}＝作出函数h(x)的图象如图所示． 函数Q(x)＝h(x)－k有两个零点等价于函数h(x)的图象与直线y＝k有2个交点，由图可知，k∈(0，e). [对应学生用书P57] 函数的零点是命题的热点，常与函数的性质等相关问题交汇．对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，设中间函数为t，通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解． 类型一　判断嵌套函数的零点个数 [例1] 已知函数f(x)＝函数y＝f(f(x))的零点个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 C　解析：令f(x)＝t，当f(t)＝0时，解得t＝或t＝－1.在同一直角坐标系中分别作出y＝f(x)，y＝－1，y＝的图象如图所示，观察可知，y＝f(x)与y＝－1有1个交点，y＝f(x)与y＝有2个交点，则y＝f(f(x))的零点个数为3. 求解嵌套函数零点问题的主要步骤 (1)换元解套，转化为t＝g(x)与y＝f(t)的零点． (2)依次解方程，令f(t)＝0，求t，代入t＝g(x)求出x的值或判断图象交点个数． 训练1 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝则函数g(x)＝f(f(x))－的零点个数为________. 答案：2　解析：画出函数f(x)的图象，如图所示． g(x)＝f(f(x))－的零点即为方程f(f(x))－＝0的解，令t＝f(x)，则f(t)－＝0，当t＞1时，无解，当0≤t≤1时，sin (t)＝，解得t＝，结合图象可知函数g(x)有2个零点． 类型二　由嵌套函数零点的情况求参数 [例2] 已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝ (1)则g(f(1))＝________； (2)若方程g(f(x))－a＝0有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是________． 答案：(1)－2　(2)[1，)　解析：(1)利用解析式直接求解得g(f(1))＝g(－3)＝－3＋1＝－2. (2)令f(x)＝t，t∈(－∞，1)，则原方程化为g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在(－∞，1)上有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t＜1)与y＝a的图象有2个不同的交点，作出函数y＝g(t)(t＜1)的图象如图， 由图象可知，当1≤a＜时，函数y＝g(t)(t＜1)与y＝a有2个不同的交点，即所求实数a的取值范围是[1，). 嵌套函数零点问题中求参数范围的思路 (1)求嵌套函数零点中的参数范围可抓住分段函数的图象性质，由y＝a与y＝f(t)的图象，确定t1，t2的取值范围，进而由t＝f(x)的图象确定参数的取值范围． (2)含参数的嵌套函数方程，还应注意让参数的取值“动起来”，抓临界位置，动静结合． 训练2 已知函数f(x)＝若关于x的方程[f(x)]2＋(2a－1)f(x)＋a2－a＝0有5个不同的实数根，则实数a的取值范围为(　　) A．(－1，1] B．(－1，0] C．[0，1] D．[－1，1] A　解析：由题意得[f(x)＋a－1][f(x)＋a]＝0，则f(x)＝1－a或f(x)＝－a.作出函数f(x)的图象如图所示， 因为关于x的方程[f(x)]2＋(2a－1)f(x)＋a2－a＝0有5个不同的实数根，所以或解得－1<a≤1，所以实数a的取值范围为(－1，1]. [课时训练(16)见P373] 学科网（北京）股份有限公司 $$