第2章 第6节 第一课时 指数与对数（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A培优版）

第6节　指数函数、对数函数 第一课时　指数与对数 1．了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．(重点) 2．理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数． [对应学生用书P38] 一、指数 1．根式的性质 (1)()n＝a(a使有意义)； (2)当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|＝． 2．分数指数幂的意义 (1)a＝(a>0，m，n∈N*，n>1)； (2)a－＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1)； (3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． 分数指数幂的意义是解决根式与分数指数幂互化问题的关键！ 3．有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)； (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q). 二、对数 1．对数的概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①loga1＝0；②logaa＝1；③alogaN＝N；④logaan＝n．(a>0，且a≠1，n∈R，N>0). (2)对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R). (3)对数的换底公式 logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1). 1．换底公式的变形 (1)logab·logba＝1，即logab＝(a，b均大于0且不等于1)； (2)logambn＝logab(a，b均大于0且不等于1，m≠0，n∈R)； (3)logNM＝＝(a，b，N均大于0且不等于1，M>0). 2．换底公式的推广：logab·logbc·logcd＝logad(a，b，c均大于0且不等于1，d>0). 3．对数恒等式：alog aN＝N(a>0，且a≠1，N>0). 一、教材典题改编 1．[人教A版必修第一册P110习题4.1T7(1)改编]已知5m＝10，5n＝2，则5＝(　　) A．2 B．3 C．20 D．5 D　解析：5＝＝＝＝＝5. 2．(人教A版必修第一册P109T1改编)下列运算中正确的是(　　) A．＝2－π B．a＝ C．(mn－)8＝ D．(x3－)3＋＝x9 C　解析：对于A，2－π<0，所以＝π－2，A错误；对于B，因为－>0，所以a<0，则a＝－(－a)·＝－，B错误；对于C，(mn－)8＝(m)8·(n－)8＝，C正确；对于D，(x3－)3＋＝x9－2＝x7，D错误． 3．(人教A版必修第一册P126T1改编)下列各式中正确的是(　　) A．log3(27×92)＝5 B．lg 5＋lg 2＝1 C．ln 3＋ln ＝1 D．log35－log315＝ B　解析：对于A，log3(27×92)＝log3(33×34)＝7log33＝7，故A错误；对于B，lg 5＋lg 2＝lg 10＝1，故B正确；对于C，ln 3＋ln ＝ln 1＝0，故C错误；对于D，log35－log315＝log3＝－1，故D错误． 4．(人教A版必修第一册P127T5改编)设a＝lg 2，b＝lg 3，则log1210＝(　　) A． B． C．2a＋b D．2b＋a A　解析：log1210＝＝＝. 二、易误易混澄清 1．[化简(a∈R)时忽略n的范围]计算＋＝________． 答案：2 2．(不熟悉对数的运算性质)有下列结论：①lg (lg 10)＝0；②lg (ln e)＝0；③若lg x＝1，则x＝10；④若log22＝x，则x＝1；⑤若logmn·log3m＝2，则n＝9.其中正确结论是________．(填序号) 答案：①②③④⑤ 3．(忽视真数大于零)已知lg x＋lg y＝2lg (x－2y)，则＝________． 答案：4 [对应学生用书P39] 考点一　指数式的化简与求值 1．计算：27－－(－)－2＋256－3－1＋(－1)0＝________． 答案：16　解析：27－－(－)－2＋256－3－1＋(－1)0＝(33)－－(－7)2＋(44)－＋1＝－49＋64－＋1＝16. 2．已知a2x＝5，则＝________． 答案：　解析：＝＝a2x＋1＋a－2x＝5＋1＋＝. 3．化简与求值： (1)()－－(2)0.5＋(0.027)； (2)÷()－(a＞0，b＞0). 解：(1)原式＝()－()0.5＋(0.3)3×＝－＋0.09＝－0.16. (2)原式＝÷()－＝÷(a－1－b－－1)－＝a＋b－÷(a－b－)－＝ab÷(ab)＝a－1b－1＝ab－. 指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． 考点二　对数式的化简与运算 [例1] (1)(2024·广州高三统考)计算27×7log72－log4＋ln e2－2lg 2－lg 25＝(　　) A．20 B．21 C．9 D．11 (2)(2025·盐城模拟)已知2m＝9n＝6，则＋的值等于(　　) A． B．3 C．1 D．2 (3)(2024·全国甲卷)已知a>1且－＝－，则a＝________． 答案：(1)B　(2)C　(3)64　解析：(1)原式＝(33)×2－log44－3＋2－2(lg 2＋lg 5)＝9×2＋3＋2－2＝21. (2)因为2m＝9n＝6，则m＝log26，n＝log96，所以＝log62，＝log69，因此＋＝log62＋log69＝log6(2×9)＝1. (3)根据题意有－＝－，即3loga2－＝－，设t＝loga2(a>1)，则t>0，故3t－＝－，得t＝(t＝－1舍去)，所以loga2＝，所以a＝2，所以a＝64. 解决对数运算的常用方法 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行运算． (2)将同底对数的和、差、积合并． (3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用． (4)利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1. 训练1 计算下列各式： (1)log225·log3(2)·log59； (2)； (3)log23·log38＋()log34. 解：(1)方法一　log225·log3(2)·log59 ＝log252·log32·log532＝6log25·log32·log53＝6. 方法二　log225·log3(2)·log59＝·· ＝··＝6. (2)原式＝＝＝1. (3)原式＝·＋3log34＝3＋3log32＝3＋2＝5. 考点三　指数、对数运算的应用 [例2] (2024·龙岩三模)声音的等级f(x)(单位：dB)与声音强度x(单位：W/m2)满足f(x)＝10×lg .喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140 dB.若喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的108倍，则一般说话时声音的等级约为(　　) A．120 dB B．100 dB C．80 dB D．60 dB D　解析：设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为x1，x2，由题意可得f(x1)＝10×lg ＝140，解得x1＝102，因为＝＝108，所以x2＝10－6，所以f(10－6)＝10×lg ＝60，所以一般说话时声音的等级约为60 dB. 指数、对数应用问题的思路 (1)列出指数关系式x＝ay，并根据实际问题确定变量的范围； (2)利用指对互化转化为y＝logax； (3)代入自变量的值后，利用对数的运算性质、换底公式计算． 训练2 (1)青少年的视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)(　　) A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6 C　解析：由题意，得L＝5＋lg V＝4.9，所以lg V＝－0.1，所以V＝10－0.1＝≈≈0.8. (2)(2025·内蒙古兴安盟期中)内蒙古某地引进了先进的污水、雨水过滤系统．已知过滤过程中废水的污染物浓度N(单位：mg/L)与时长t(单位：h)的关系为N＝N0e－kt(N0为最初污染物浓度).如果前2 h消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的51.2%还需要(　　) A．3 h B．4 h C．5 h D．6 h B　解析：由题意知，t＝2时，N0e－2k＝N0，可得e－2k＝.设N0e－kt＝0.512N0＝()3N0，则e－kt＝(e－2k)3＝e－6k，解得t＝6，因此，污染物消除至最初的51.2%还需要4 h． [课时训练(12)见P362] 学科网（北京）股份有限公司 $$