第2章 第6节 第三课时 对数函数（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A培优版）

第三课时　对数函数 1．通过实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点．(重点) 2．知道指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数． [对应学生用书P44] 一、对数函数 一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞). 二、对数函数的图象与性质 y＝logax a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性质 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 三、反函数 一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，它们的图象关于直线y＝x对称． 1．如图给出4个对数函数的图象 则b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大． 2．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1，0)，(a，1)，(，－1). 一、“教考衔接”例证 高考真题 (2021·新高考Ⅱ卷)已知a＝log52，b＝log83，c＝，则下列判断正确的是(　　) A.c<b<a　　　　　　B．b<a<c C.a<c<b D．a<b<c 追根溯源 (人教A版必修第一册P141T13)比较下列各题中三个值的大小：(1)log0.26，log0.36，log0.46；(2)log23，log34，log45 发现感悟 高考题是对教材习题的拓展，由于a和b的底数不同，故不能直接利用单调性比较大小，需变形后进行比较，而变形的过程中应用了函数的单调性 二、教材典题改编 1．(湘教版必修第一册P123T19改编)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是(　　) A．y＝x B．y＝lg x C．y＝2x D．y＝ D　解析：利用对数恒等式，有y＝10lg x＝x(x>0)，其定义域为(0，＋∞)，值域为(0，＋∞)，结合选项知，D正确． 2．[人教A版必修第一册P160T5(2)改编]已知f(x)＝|lg x|，若a＝f()，b＝f()，c＝f(2)，则(　　) A．a<b<c B．b<c<a C．c<a<b D．c<b<a D　解析：∵f(x)＝|lg x|＝ ∴f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴f(2)＝lg 2＝－lg ＝f()，∵0<<<<1， ∴f()>f()>f()＝f(2)，∴c<b<a. 3．(苏教版必修第一册P158T4改编)函数y＝log(3x－1)的单调递减区间为________． 答案：(，＋∞) 三、易误易混澄清 1．(忽视对底数的讨论)若函数y＝logax(a>0，且a≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝________． 答案：2或 2．(忽视真数大于零)函数y＝的定义域是________． 答案：(，1]　解析：由log(2x－1)≥0，得0<2x－1≤1， ∴<x≤1，∴函数的定义域是(，1]. [对应学生用书P45] 考点一　对数函数的图象及应用 [例1] (1)(多选)(2025·辽宁模拟)已知ax＝b－x，则函数y＝loga(－x)与y＝bx在同一坐标系中的大致图象可能是(　　) (2)当0＜x≤时，4x＜logax，则实数a的取值范围是(　　) A．(0，) B．(，1) C．(1，) D．(，2) (1)AB　(2)B　解析：(1)因为ax＝b－x，即ax＝()x，所以a＝.当a>1时，0<b<1，则指数函数y＝bx在R上单调递减，且图象过点(0，1)，对数函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递增且图象过点(1，0)，将y＝logax的图象关于y轴对称得到y＝loga(－x)的图象，则y＝loga(－x)在(－∞，0)上单调递减且图象过点(－1，0)，故A符合题意；当0<a<1时，b>1，同理可得，指数函数y＝bx在R上单调递增，且图象过点(0，1)，y＝loga(－x)在(－∞，0)上单调递增且图象过点(－1，0)，故B符合题意． (2)易知0＜a＜1，函数y＝4x与y＝logax的大致图象如图，则由题意可知只需满足loga＞4，解得a＞，∴＜a＜1. 对数函数图象的识别及应用方法 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 训练1 (1)已知函数y＝loga(x＋c)(a，c是常数，其中a>0，且a≠1)的大致图象如图所示，下列关于a，c的表述，正确的是(　　) A．a>1，c>1 B．a>1，0<c<1 C．0<a<1，c>1 D．0<a<1，0<c<1 D　解析：由题图可以看出0<a<1，logac>0，loga(1＋c)<0，故得0<c<1，0<a<1. (2)已知函数f(x)＝关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________． 答案：(1，＋∞)　解析：问题等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a>1. 考点二　对数函数的性质 考向1　比较对数值的大小 [例2] (1)(2025·武汉质检)已知a＝log30.5，b＝log3π，c＝log43，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a<b<c B．b<a<c C．a<c<b D．c<a<b (2)已知a＝log315，b＝log420，2c＝1.9，则(　　) A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c (1)C　(2)D　解析：(1)a＝log30.5<log31＝0，即a<0；b＝log3π>log33＝1，即b>1；0＝log41<log43<log44＝1，即0<c<1，∴a<c<b. (2)a＝log315＝log3(3×5)＝1＋log35＞1，b＝log420＝log4(4×5)＝1＋log45＞1，c＝log21.9＜1.因为log35＝＞＝log45，所以a＞b＞c. 比较对数值大小的常见类型及解题方法 常见类型 解题方法 底数为同一常数 可由对数函数的单调性直接进行判断 底数为同一字母 需对底数进行分类讨论 底数不同，真数相同 可以先用换底公式化为同底后，再进行比较 底数与真数都不同 常借助1，0等中间量进行比较 考向2　解简单的对数方程或不等式 [例3] (1)若1＋lg x－lg y＝lg y2，则＝______． (2)已知a>0，a≠1，则关于x的不等式|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|的解集为________. 答案：(1)10　(2)(0，1)　解析：(1)因为1＋lg x－lg y＝lg y2，所以lg 10＋lg x＝lg y2＋lg y，所以lg (10x)＝lg y3(x>0，y>0)，则10x＝y3，所以＝10. (2)易知－1<x<1，且x≠0，原不等式可化为||>||，即|lg (1－x)|>|lg (1＋x)|，两边同时平方得[lg (1－x)]2>[lg (1＋x)]2，即[lg (1－x)＋lg (1＋x)]·[lg (1－x)－lg (1＋x)]>0，所以lg (1－x2)·lg >0.又－1<x<1，且x≠0，所以0<1－x2<1，所以lg (1－x2)<0，从而lg <0，解得0<x<1. 对数不等式的常见类型与求解方法 (1)对于形如logaf(x)>b的不等式，一般转化为logaf(x)>logaab的形式，再根据底数的范围转化为f(x)>ab或0<f(x)<ab. (2)而对于形如logaf(x)>logbg(x)的不等式，通过用图象法或转化法来解． 考向3　对数函数性质的综合 [例4] (多选)(2025·蚌埠模拟)已知函数f(x)＝log4(1＋4x)－x，则下列说法中正确的是(　　) A.函数f(x)的图象关于原点对称 B.函数f(x)的图象关于y轴对称 C.函数f(x)在[0，＋∞)上是减函数 D.函数f(x)的值域为[，＋∞) BD　解析：易知f(x)的定义域为R，f(x)＝log4(1＋4x)－log44＝log4＝log4(2－x＋2x)，由于f(－x)＝log4(2x＋2－x)＝f(x)，因此f(x)为偶函数，故A选项错误，B选项正确；令t＝2x，则f(x)＝log4(t＋)，令s＝t＋，则f(x)＝log4s，当x∈[0，＋∞)时，t∈[1，＋∞)，所以s＝t＋为增函数，又y＝log4s为增函数，所以y＝log4(t＋)为增函数，又t＝2x为增函数，所以f(x)在[0，＋∞)上是增函数，故选项C错误；因为f(x)为R上的偶函数，所以f(x)≥f(0)＝，所以f(x)的值域为[，＋∞)，故选项D正确． 解决对数函数性质综合问题的注意点 (1)要分清函数的底数的范围是(0，1)，还是(1，＋∞). (2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行． (3)转化时一定要注意对数问题转化的等价性． 训练2 (1)已知a＝3，b＝log2，c＝log，则(　　) A.a>c>b B．c>a>b C.a>b>c D．c>b>a A　解析：因为函数y＝3x为增函数，所以a＝3>30＝1，即a>1；因为y＝log2x为增函数，所以b＝log2<log21＝0，即b<0；因为y＝logx为减函数，所以log1<log<log，即0<c<1，故a>c>b. (2)已知函数f(x)＝lg (x2－4x－5)在(a，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　) A.(2，＋∞) B．[2，＋∞) C.(5，＋∞) D．[5，＋∞) D　解析：由x2－4x－5>0得x>5或x<－1，所以f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(5，＋∞)，因为y＝x2－4x－5在(5，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝lg (x2－4x－5)在(5，＋∞)上单调递增，所以a≥5. (3)(多选)关于函数f(x)＝ln (e2x＋1)－x，下列说法正确的有(　　) A.f(x)在R上是增函数 B.f(x)为偶函数 C.f(x)的最小值为ln 2，无最大值 D.f(x)的最大值为ln 2，无最小值 BC　解析：由题易知f(x)＝ln (ex＋)，令t＝ex>0，在R上单调递增，则g(t)＝t＋在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以u＝ex＋在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，又y＝ln u在定义域上单调递增，所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故A错误；f(－x)＝ln (e－x＋)＝ln (ex＋)＝f(x)，即f(x)为偶函数，故B正确；由u＝ex＋≥2，当且仅当ex＝，即x＝0时，等号成立，可知f(x)min＝f(0)＝ln 2，无最大值，故C正确，D错误． (4)已知loga<logaa2(a>0且a≠1)，则实数a的取值范围为________． 答案：(0，)∪(1，＋∞)　解析：当0<a<1时，a2<，可得0<a<；当a>1时，a2>，可得a>1.综上所述，实数a的取值范围为(0，)∪(1，＋∞). 对数函数中的新定义问题举例 [例] 定义方程f(x)＝f′(x)的实数根x叫做函数f(x)的“躺平点”．若函数g(x)＝ex－x，h(x)＝ln x，φ(x)＝2 025x＋2 025的“躺平点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a＞b＞c B．b＞a＞c C.c＞a＞b D．c＞b＞a B　解析：根据“躺平点”定义可得g(a)＝g′(a)，又g′(x)＝ex－1，所以ea－a＝ea－1，解得a＝1；同理h′(x)＝，即ln b＝.令m(x)＝ln x－，则m′(x)＝＋＞0，即m(x)为(0，＋∞)上的单调递增函数，又m(1)＝－1＜0，m(e)＝1－＞0，所以m(x)在(1，e)有唯一零点，即b∈(1，e)；易知φ′(x)＝2 025，即φ(c)＝2 025c＋2 025＝φ′(c)＝2 025，解得c＝0.因此可得b＞a＞c. 训练 (2025·滨州期末)已知[a]表示不超过实数a的最大整数，例如：[－3.5]＝－4，[2.1]＝2，若函数y＝，其中x∈(1，＋∞)，则y＝[f(x)]的值域为(　　) A.(－2，1) B．{－2，1} C.{－1，0，1} D．{－2，－1，0} D　解析：f(x)＝＝＝1－，x>1，ln x＋1>1，0<<3，所以－2<1－<1，当－2<1－<－1时，[f(x)]＝－2，当－1≤1－<0时，[f(x)]＝－1，当0≤1－<1时，[f(x)]＝0，所以y＝[f(x)]的值域为{－2，－1，0}． [对应学生用书P47] 指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，其中指数、对数及幂的大小比较是近几年的高考热点，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的性质，一般以选择题或填空题的形式出现． 类型一　直接利用单调性比较大小 [例1] (1)已知a＝log47，b＝log930，c＝eln ，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a<b<c B．c<a<b C.a<c<b D．c<b<a (2)(2025·天津模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，若a＝f(log20.2)，b＝f(20.2)，c＝f(0.20.3)，则a，b，c大小关系为(　　) A.a＜b＜c B．c＜a＜b C.a＜c＜b D．b＜a＜c (1)C　(2)A　解析：(1)由题可得c＝eln ＝，a＝log47＝log2<log2＝log22＝＝c，b＝log930＝log3>log3＝log33＝c，则a<c<b. (2)log20.2＝log2＝－log25，因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以a＝f(log20.2)＝f(－log25)＝f(log25).因为log25＞log24＝2，1＝20＜20.2＜21＝2，0＜0.20.3＜0.20＝1，且f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(log25)＜f(20.2)＜f(0.20.3)，即a＜b＜c. 当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较大小． 训练1 (2025·岳阳模拟)已知a＝30.5，b＝log30.5，c＝0.53，则a，b，c的大小关系是(　　) A.a＜b＜c B．b＜a＜c C.a＜c＜b D．b＜c＜a D　解析：根据指数函数y＝3x在R上单调递增可得，a＝30.5＞30＝1；根据对数函数y＝log3x在(0，＋∞)上单调递增可得，b＝log30.5＜log31＝0；根据指数函数y＝0.5x在R上单调递减和值域可得，0＜c＝0.53＜0.50＝1，∴b＜c＜a. 类型二　引入中间值比较大小 [例2] (2025·上饶模拟)已知a＝log53，b＝2，c＝7－0.5，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a＞b＞c B．a＞c＞b C.b＞a＞c D．c＞b＞a C　解析：因为1＝log55＞log53＞log5＝log55＝，所以＜a＜1.因为7－0.5＝()＜()＝，所以0＜c＜.又b＝2＞20＝1，所以b＞a＞c. 在指数、对数中通常可优先选择“－1，0，，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如log23，可知1＝log22<log23<log24＝2，进而可估计log23是一个1～2之间的小数，从而便于比较． 训练2 已知a＝，b＝log34，c＝3－0.1，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a>b>c B．c>b>a C.b>a>c D．a>c>b A　解析：因为a＝＝log33，(3)3＝34＝81>43＝64，且函数y＝log3x在(0，＋∞)上单调递增，所以log33>log34，即a>b.又b＝log34>log33＝1，c＝3－0.1<30＝1，即b>c，所以a>b>c. 类型三　作差(商)法比较大小 [例3] 若a＝sin 4，b＝log53，c＝lg 6，d＝e0.01，则(　　) A.a＜b＜c＜d B.a＜c＜b＜d C.b＜c＜d＜a D.a＜d＜b＜c A　解析：由题意，a＝sin 4＜0，d＝e0.01＞1，0＜b＝log53＜1，0＜c＝lg 6＜1，只需比较b，c的大小，而log53－lg 6＝－lg 6＝＝＝＜0，∴b＜c，综上可得，a＜b＜c＜d. (1)一般情况下，作差或者作商可处理底数不一样的对数比较大小问题． (2)作差或者作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧和方法． 训练3 (2025·沈阳月考)已知正实数x，y满足x<y，设a＝xex＋y，b＝yey＋x，c＝yex＋x，则a，b，c的大小关系是(　　) A.a<c<b B．c<a<b C.c<b<a D．b<c<a A　解析：因为a＝xex＋y，b＝yey＋x，c＝yex＋x，所以b－c＝y(ey－ex)，又y>x>0，e>1，所以ey>ex，所以b>c.因为c－a＝(x－y)＋(y－x)ex＝(x－y)(1－ex)，又y>x>0，ex>1，所以c－a>0，得c>a.综上可得，a<c<b. 类型四　构造函数比较大小 [例4] 已知ex－2y>ln y－x＋ln 2，则(　　) A.x>2y B．x<2y C.x>ln (2y) D．x<ln (2y) C　解析：由ex－2y>ln y－x＋ln 2，得ex＋x>2y＋ln (2y)，即ex＋x>eln (2y)＋ln (2y).令f(x)＝ex＋x，易知f(x)在R上单调递增，所以x>ln (2y). 某些数或式子的大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小． 训练4 已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a<b<c B．b<a<c C.a<c<b D．b<c<a B　解析：a＝＝，c＝＝，令f(x)＝(x>0)，∴a＝f()，b＝f(2)，c＝f(e).∵f′(x)＝，∴当x∈(0，e)时，f′(x)>0，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，∴f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，∴f(x)max＝f(e)＝＝c，∴a<c，b<c.又b＝＝＝＝f(4)，且4>，∴f(4)<f()，∴b<a，∴b<a<c. 类型五　利用函数图象比较大小 [例5] 若log3x＝log4y＝log5z<－1，则(　　) A.3x<4y<5z B．4y<3x<5z C.4y<5z<3x D．5z<4y<3x D　解析：令log3x＝log4y＝log5z＝m<－1，则x＝3m，y＝4m，z＝5m，3x＝3m＋1，4y＝4m＋1，5z＝5m＋1，其中m＋1<0，在同一坐标系内画出y＝3x，y＝4x，y＝5x的图象，如图所示，由图可知5m＋1<4m＋1<3m＋1，故5z<4y<3x. 涉及某些由指数式、对数式给出的几个数的大小比较问题，可以把这几个数视为对应的指数函数、对数函数与另外某个函数图象交点的横坐标，利用图象的直观性解决． 训练5 已知a，b，c均大于1，满足＝2＋log2a，＝3＋log3b，＝4＋log4c，则下列不等式成立的是(　　) A.c<b<a B．a<b<c C.a<c<b D．c<a<b B　解析：由＝2＋log2a，得＝log2a，由＝3＋log3b，得＝log3b，由＝4＋log4c，得＝log4c，所以考虑y＝(x>1)和y＝logmx(m＝2，3，4)的图象相交时，交点的横坐标的大小．在同一平面直角坐标系中，画出y＝log2x，y＝log3x，y＝log4x与y＝(x>1)的图象，如图所示，根据图象可知a<b<c. [课时训练(14)见P367] 学科网（北京）股份有限公司 $$