第2章 第6节 第二课时 指数函数（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A培优版）

第二课时　指数函数 1．通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念． 2．能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点．(重点) [对应学生用书P41] 一、指数函数 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. 当指数函数的底数a的大小不确定时，需分a>1和0<a<1两种情况进行讨论． 二、指数函数的图象与性质 y＝ax 0<a<1 a>1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 减函数 增函数 画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点(0，1)，(1，a)，(－1，). (1)任意两个指数函数的图象都是相交的，过定点(0，1)，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称． (2)指数函数在同一平面直角坐标系中的图象的相对位置与底数的大小关系如图所示，其中0<c<d<1<a<b. 一、“教考衔接”例证 高考真题 (2023·天津卷)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为(　　) A.c>a>b　　　 B．c>b>a C.a>b>c D．b>a>c 追根溯源 (人教A版必修第一册P119T6)比较下列各题中两个值的大小： (1)30.8，30.7； (2)0.75－0.1，0.750.1； (3)1.012.7，1.013.5； (4)0.993.3，0.994.5 发现感悟 两题的命题角度完全相同，都是考查利用指数函数的单调性比较大小，只不过高考题综合性更强，同时考查了幂函数的单调性 二、教材典题改编 1．(人教A版必修第一册P115T2改编)已知指数函数y＝f(x)的图象经过点(－1，2)，那么这个函数也必定经过点(　　) A．(－2，) B．(－1，) C．(1，2) D．(3，) 答案：D 2. [人教A版必修第一册P159T1(2)]如图，①②③④中不属于函数y＝2x，y＝6x，y＝()x的一个是(　　) A．① B．② C．③ D．④ 答案：B 3．(苏教版必修第一册P165T5改编)若函数y＝ax(a>0，且a≠1)在区间[0，1]上的最大值与最小值之和为3，则a的值为(　　) A．2 B．3 C．4 D． 答案：A 三、易误易混澄清 1．(对指数函数的概念理解不透彻)若函数f(x)＝(a2－3)·ax为指数函数，则a＝________． 答案：2 2．(忽视对底数a的讨论)若函数f(x)＝ax在[－1，1]上的最大值为2，则a＝________． 答案：2或 [对应学生用书P42] 考点一　指数函数的图象及应用 [例1] (1)(2025·黄山检测)函数y＝的图象的大致形状是(　　) (2)若函数y＝|3x－1|在(－∞，k]上单调递减，则实数k的取值范围为________． 答案：(1)C　(2)(－∞，0]　解析：(1)∵y＝＝∴根据指数函数图象即可判断选项C符合． (2)函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移1个单位长度后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以实数k的取值范围为(－∞，0]. [变式探究] 若本例(2)的条件变为：若函数y＝|3x－1|－k有一个零点，则实数k的取值范围为________． 答案：{0}∪[1，＋∞)　解析：函数y＝|3x－1|－k有一个零点，即y＝|3x－1|与y＝k的图象有一个交点．由本例得y＝|3x－1|的图象如图所示．故当k＝0或k≥1时，直线y＝k与y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，即函数y＝|3x－1|－k有一个零点． 指数型函数图象问题的解题思路 (1)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到． (2)当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． 训练1 (1)函数f(x)＝()|x＋2|的部分图象大致为(　　) B　解析：由题意得，f(x)的值域为(0，＋∞)，排除C，D；当x≥－2时，f(x)＝()|x＋2|，因为0<<1，所以f(x)在[－2，＋∞)上单调递减，排除A. (2)(2025·武汉开学考试)设函数f(x)＝3x＋b，函数f(x)的图象经过第一、三、四象限，则g(b)＝f(b)－f(b－1)的取值范围为(　　) A．(0，) B．(－∞，) C．(－∞，) D．(0，) A　解析：由函数f(x)＝3x＋b的图象经过第一、三、四象限，可得b<－1，所以g(b)＝f(b)－f(b－1)＝3b－3b－1＝3b·(1－)＝·3b<·3－1＝，又·3b>0，所以g(b)＝f(b)－f(b－1)的取值范围为(0，). 考点二　指数函数的性质 考向1　比较指数幂的大小 [例2] (1)(2025·淮南模拟)设a＝()，b＝()，c＝()，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>c>b B．a>b>c C．b>c>a D．b>a>c (2)已知a＝0.30.6，b＝0.30.5，c＝0.40.5，则(　　) A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．c>b>a (1)A　(2)D　解析：(1)因为函数y＝x是(0，＋∞)上的增函数，<，所以b<c.因为函数y＝()x是R上的减函数，<，所以()>()，即a>c，则a，b，c的大小关系为a>c>b. (2)方法一　由指数函数y＝0.3x在定义域内单调递减，得a<b，由幂函数y＝x0.5在定义域内单调递增，得c>b，所以c>b>a. 方法二　因为＝0.30.6－0.5<1，且＝()0.5<1，又a，b，c都为正数，所以c>b>a. 比较指数幂值大小的方法 (1)能化成同底数的，先化成同底数幂，再利用单调性比较大小； (2)不能化成同底数的，一般引入“中介值”比较大小． 考向2　解简单的指数方程或不等式 [例3] (1)已知y＝4x－3·2x＋3的值域为[1，7]，则x的取值范围是(　　) A．[2，4] B．(－∞，0) C．(0，1)∪[2，4] D．(－∞，0]∪[1，2] (2)(2025·邯郸质检)不等式10x－6x－3x≥1的解集为________． 答案：(1)D　(2)[1，＋∞)　解析：(1)∵y＝4x－3·2x＋3的值域为[1，7]，∴1≤4x－3·2x＋3≤7，且2x＞0，∴0＜2x≤1或2≤2x≤4，∴x≤0或1≤x≤2. (2)由10x－6x－3x≥1，两边同除以10x，可得()x＋()x＋()x≤1，令f(x)＝()x＋()x＋()x，则f(x)在R上单调递减，且f(1)＝1，∴f(x)≤f(1)，∴x≥1，故不等式10x－6x－3x≥1的解集为[1，＋∞). 简单的指数方程或不等式的求解方法 解决此类问题的基本思路是转化，即利用指数函数的单调性转化为简单方程或不等式；注意x的取值范围，必要时进行分类讨论． 考向3　指数函数性质的综合 [例4] (1)(多选)设函数f(x)＝3x2－2x＋3，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)的定义域为R B．f(x)的单调递增区间为[1，＋∞) C．f(x)的最小值为3 D．f(x)的图象关于直线x＝1对称 (2)(2025·江苏部分重点中学联考)若f(x)＝e－x－aex为奇函数，则f(x)≤－e的解集为(　　) A．(－∞，2] B．(－∞，1] C．[2，＋∞) D．[1，＋∞) (1)ABD　(2)D　解析：(1)易知函数f(x)＝3x2－2x＋3的定义域为R，故选项A正确；f(x)＝3x2－2x＋3可看作由y＝3u与u＝x2－2x＋3复合而成，而y＝3u为增函数，所以函数f(x)＝3x2－2x＋3的单调递减区间为u＝x2－2x＋3的单调递减区间(－∞，1]，函数f(x)＝3x2－2x＋3的单调递增区间为u＝x2－2x＋3的单调递增区间[1，＋∞)，故选项B正确；由选项B可知f(x)min＝f(1)＝31－2＋3＝9，故选项C错误；因为f(2－x)＝3(2－x)2－2(2－x)＋3＝3x2－2x＋3＝f(x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，故选项D正确． (2)由f(x)＝e－x－aex为奇函数，得f(－x)＋f(x)＝(ex＋e－x)－a(e－x＋ex)＝0，解得a＝1，于是f(x)＝e－x－ex.因为y＝e－x是R上的减函数，y＝ex是R上的增函数，所以函数f(x)是R上的减函数，不等式f(x)≤－e，即为f(x)≤f(1)，可得x≥1，所以f(x)≤－e的解集为[1，＋∞). 指数函数综合问题的解题思路 指数函数性质的综合问题主要涉及单调性、奇偶性、最值等，应结合题目条件合理利用这些性质进行解题．指数函数性质的重点是单调性，注意利用单调性实现问题的转化． 训练2 (1)设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝()－1.5，则(　　) A．y3>y1>y2 B．y2>y1>y3 C．y1>y2>y3 D．y1>y3>y2 D　解析：y1＝21.8，y2＝21.44，y3＝21.5，因为y＝2x在定义域内为增函数，所以y1>y3>y2. (2)若ea＋πb≥e－b＋π－a，下列结论一定成立的是(　　) A．a＋b≤0 B．a－b≥0 C．a－b≤0 D．a＋b≥0 D　解析：∵ea＋πb≥e－b＋π－a，∴ea－π－a≥e－b－πb(*)，令f(x)＝ex－π－x，则f(x)是R上的增函数，(*)式即为f(a)≥f(－b)，∴a≥－b，即a＋b≥0. (3)(2025·潍坊模拟)已知函数f(x)＝()x－3x，则f(x)(　　) A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数 C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数 C　解析：函数f(x)的定义域为R，因为f(－x)＝3x－()x＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，又函数y＝()x，y＝－3x在R上都是减函数，所以函数f(x)＝()x－3x在R上是减函数． (4)(2025·大庆模拟)已知函数f(x)＝，则(　　) A．f(0.1)>f(0.2) B．函数f(x)有一个零点 C．函数f(x)是偶函数 D．函数f(x)的图象关于点(，)对称 D　解析：函数f(x)＝的定义域为R，对于A，函数f(x)＝＝1－，函数y＝4x在R上为增函数，易得f(x)在R上为增函数，则有f(0.1)<f(0.2)，故A错误；对于B，由于4x>0，则f(x)>0，因此f(x)没有零点，故B错误；对于C，f(1)＝＝，f(－1)＝＝，所以f(1)≠f(－1)，因此f(x)不是偶函数，故C错误；对于D，因为f(x)＝，所以f(1－x)＝＝＝，所以f(x)＋f(1－x)＝1，所以函数f(x)的图象关于点(，)对称，故D正确． 指数函数中的创新问题举例 [例] 华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义．由此发展的混沌理论在生物学、经济学和社会学领域都有重要作用，在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设f(x)是定义在R上的函数，对于x0∈R，令xn＝f(xn－1)(n＝1，2，3，…)，若存在正整数k使得xk＝x0，且当0<j<k时，xj≠x0，则称x0是f(x)的一个周期为k的周期点．若f(x)＝ex－1，写出一个f(x)周期为1的周期点________． 答案：1　解析：若f(x)＝ex－1，x∈R，当k＝1时，x1＝f(x0)＝ex0－1，因为直线y＝x与y＝f(x)只有一个交点(1，1)，所以x0＝1是f(x)的一个周期为1的周期点． 训练 能说明“已知f(x)＝2|x－1|，若f(x)≥g(x)对任意的x∈[0，2]恒成立，则在[0，2]上，f(x)min≥g(x)max”为假命题的一个函数g(x)＝________．(填出一个函数即可) 答案：x－(答案不唯一)　解析：易知函数f(x)＝2|x－1|在x∈[0，2]上的最小值是1，取g(x)＝x－，作出f(x)，g(x)在[0，2]上的图象如图所示， 满足f(x)≥g(x)对任意的x∈[0，2]恒成立，但g(x)＝x－在[0，2]上的最大值是，不满足f(x)min≥g(x)max，所以g(x)＝x－能说明题中命题是假命题． [课时训练(13)见P365] 学科网（北京）股份有限公司 $$