第2章 第5节 二次函数与幂函数（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A培优版）

第5节　二次函数与幂函数 1．通过具体实例，结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数． 2．运用二次函数或幂函数建立模型，解决简单的实际问题． [对应学生用书P34] 一、幂函数 1．定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 幂函数的特征：(1)自变量x处在幂底数的位置，幂指数α为常数；(2)xα的系数为1；(3)解析式只有一项． 2．常见的五种幂函数的图象 3．幂函数的性质 (1)幂函数在(0，＋∞)上都有定义． (2)当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增． (3)当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 二、二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质 a>0 a<0 图象 定义域 R 值域 [，＋∞) (－∞，] 单调性 在(－∞，－]上单调递减，在[－，＋∞)上单调递增 在(－∞，－]上单调递增，在[－，＋∞)上单调递减 最值 当x＝－时，ymin＝ 当x＝－时，ymax＝ (1)二次函数的单调性、最值与二次函数的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关． (2)若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时，恒有f(x)>0；当时，恒有f(x)<0. 巧识幂函数的图象和性质 一、教材典题改编 1．(人教A版必修第一册P91T1改编)已知幂函数f(x)的图象过点(2，)，则f(4)的值是(　　) A．64 B．4 C． D． 答案：D 2．(多选)(人教A版必修第一册P91习题3.3T1改编)已知α∈{－1，1，2，3}，则使函数y＝xα的值域为R，且为奇函数的α的值为(　　) A．－1 B．1 C．2 D．3 BD　解析：当α＝－1时，y＝x－1＝为奇函数，但值域为{y|y≠0}，不满足条件；当α＝1时，y＝x为奇函数，值域为R，满足条件；当α＝2时，y＝x2为偶函数，值域为{y|y≥0}，不满足条件；当α＝3时，y＝x3为奇函数，值域为R，满足条件． 3．(人教A版必修第一册P91T2改编)已知a＝0.40.3，b＝0.30.3，c＝0.30.4，则a，b，c的大小关系是________．(用“<”连接) 答案：c<b<a　解析：由指数函数，幂函数的单调性可知0.30.4<0.30.3，0.40.3>0.30.3，即c<b<a. 4．(人教A版必修第一册P100复习参考题3T4改编)已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，－3]上单调递减，则实数a的取值范围是________. 答案：(－∞，4]　解析：由函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，－3]上单调递减，可得－≥－3，即a≤4，故实数a的取值范围是(－∞，4]. 5．(北师版必修第一册P34T2改编)已知函数y＝－x2＋4x＋2在区间[3，m]上的最大值为10，则实数m的取值范围是________． 答案：[4，＋∞)　解析：y＝－x2＋4x＋2＝－(x－4)2＋10，对称轴x＝4，且当x＝4时，函数取得最大值10，所以m≥4. 二、易误易混澄清 1．(忽视对二次项系数的讨论)若函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在[－1，2]上有最大值4，则a的值为(　　) A． B．－3 C．或－3 D．4 C　解析：由题意得f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.①当a＝0时，函数f(x)在区间[－1，2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；②当a>0时，函数f(x)在区间[－1，2]上是增函数，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝；③当a<0时，函数f(x)在区间[－1，2]上是减函数，最大值为f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3.综上可知，a的值为或－3. 2．(忽视幂函数的定义域)已知幂函数f(x)＝x－，若f(a＋1)<f(10－2a)，则实数a的取值范围为________． 答案：(3，5)　解析：∵f(x)＝x－＝(x＞0)，且在(0，＋∞)上是减函数，∴解得3＜a＜5. [对应学生用书P36] 考点一　幂函数的图象与性质 1．若幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则(　　) A．－1<n<0<m<1 B．n<－1，0<m<1 C．－1<n<0，m>1 D．n<－1，m>1 B　解析：由图象知，y＝xm在(0，＋∞)上单调递增，所以m>0，又y＝xm的图象增长得越来越慢，所以m<1，y＝xn在(0，＋∞)上单调递减，所以n<0，又当x>1时，y＝xn的图象在y＝x－1的下方，所以n<－1.综上所述，n<－1，0<m<1. 2．(2025·无锡模拟)“n＝1”是“幂函数f(x)＝(n2－3n＋3)x2n－3在(0，＋∞)上单调递减”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 C　解析：因为f(x)＝(n2－3n＋3)x2n－3是幂函数，所以n2－3n＋3＝1，即n2－3n＋2＝0，解得n＝1或n＝2，当n＝1时，f(x)＝x－1＝在(0，＋∞)上单调递减；当n＝2时，f(x)＝x在(0，＋∞)上单调递增．所以“n＝1”是“幂函数f(x)＝(n2－3n＋3)x2n－3在(0，＋∞)上单调递减”的充要条件． 3．若a＝()，b＝()，c＝()，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a B　解析：因为y＝x在第一象限内单调递增，所以a＝()＞c＝()，因为y＝()x是减函数，所以c＝()＞b＝()，所以a＞c＞b. 4．若(a＋1)<(3－2a)，则实数a的取值范围是________. 答案：[－1，)　解析：因为函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，且在定义域内为增函数，所以解得－1≤a<. 幂函数图象性质的关注点 (1)在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴． (2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键． 考点二　二次函数的解析式 [例1] 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，求f(x)的解析式． 解：方法一(利用二次函数的一般式) 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 由题意得解得 故所求二次函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 方法二(利用二次函数的顶点式) 设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0). ∵f(2)＝f(－1)，∴二次函数图象的对称轴为x＝＝. ∴m＝，又根据题意函数有最大值8，∴n＝8， ∴f(x)＝a(x－)2＋8. ∵f(2)＝－1，∴a(2－)2＋8＝－1，解得a＝－4， ∴f(x)＝－4(x－)2＋8＝－4x2＋4x＋7. 方法三(利用二次函数的零点式) 由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1， 故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)， 即f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函数有最大值ymax＝8，即＝8. 解得a＝－4或a＝0(舍去)， 故所求二次函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 求二次函数解析式的方法 训练1 已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0，0)和(－2，0)且有最小值－1，则f(x)＝________． 答案：x2＋2x　解析：方法一　设函数的解析式为f(x)＝ax(x＋2)(a≠0)，所以f(x)＝ax2＋2ax，由＝－1，得a＝1，所以f(x)＝x2＋2x. 方法二　由二次函数f(x)与x轴交于(0，0)，(－2，0)，知f(x)的图象关于直线x＝－1对称．设f(x)＝a(x＋1)2－1(a>0)，又f(0)＝0，得a＝1，所以f(x)＝(x＋1)2－1＝x2＋2x. 考点三　二次函数的图象与性质 考向1　二次函数的图象 [例2] (多选)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，图象过点A(－3，0)，且对称轴为直线x＝－1，则以下选项正确的为(　　) A．b2＞4ac B．2a－b＝1 C．a－b＋c＝0 D．5a＜b AD　解析：∵二次函数的图象与x轴有两个交点，∴b2－4ac＞0，即b2＞4ac，故A正确；∵对称轴为直线x＝－＝－1，∴b＝2a，即2a－b＝0，故B错误；由图象可知，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，故C错误；把x＝1，x＝－3代入解析式可得a＋b＋c＝0，9a－3b＋c＝0，两式相加整理可得5a－b＝－c.又当x＝0时，y＝c＞0，所以5a－b＜0，即5a<b，故D正确． 识别二次函数图象应学会“三看” 训练2 设函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，已知f(m)<0，则(　　) A．f(m＋1)≥0 B．f(m＋1)≤0 C．f(m＋1)>0 D．f(m＋1)<0 C　解析：因为f(x)图象的对称轴为x＝－，f(0)＝a>0，所以f(x)的大致图象如图所示．由f(m)<0，得－1<m<0，所以m＋1>0，所以f(m＋1)>f(0)>0. 考向2　二次函数的单调性 [例3] (1)(2024·济南二模)若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)满足f(1)＝f(3)，则下列不等式成立的是(　　) A．f(1)<f(4)<f(2) B．f(4)<f(1)<f(2) C．f(4)<f(2)<f(1) D．f(2)<f(4)<f(1) (2)(2025·宜宾模拟)若函数f(x)＝x2＋a|x|在区间[3，4]和[－2，－1]上均为增函数，则实数a的取值范围是(　　) A．[4，6] B．[－6，－4] C．[2，3] D．[－3，－2] (1)B　(2)D　解析：(1)因为f(1)＝f(3)，所以二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝2，又a<0，所以f(4)<f(3)<f(2)，又f(1)＝f(3)，所以f(4)<f(1)<f(2). (2)f(x)＝x2＋a|x|，因为f(－x)＝×(－x)2＋a|－x|＝x2＋a|x|＝f(x)，所以f(x)为R上的偶函数，因为f(x)在区间[3，4]和[－2，－1]上均为增函数，所以f(x)在[3，4]上单调递增，在[1，2]上单调递减，所以函数f(x)＝x2＋ax，x>0的对称轴x＝－a∈[2，3]，得a∈[－3，－2]. 决定二次函数单调性的两个关键因素 训练3 (多选)(2025·济南一中调研)定义在R上的函数f(x)＝－x3＋m与函数g(x)＝f(x)＋x3＋x2－kx在[－1，1]上具有相同的单调性，则k的取值可以是(　　) A．1 B． C．2 D．3 CD　解析：易知f(x)＝－x3＋m在R上是减函数．依题意得函数g(x)＝x2－kx＋m在[－1，1]上单调递减，所以函数g(x)图象的对称轴为直线x＝≥1，则k≥2.故k的取值可以是2，3. [对应学生用书P37] [例] 已知函数f(x)＝x2－tx－1. (1)若f(x)在区间(－1，2)上不单调，求实数t的取值范围； (2)若x∈[－1，2]，求f(x)的最小值g(t). 解：(1)f(x)＝x2－tx－1＝(x－)2－1－. 依题意，－1<<2，解得－2<t<4， 所以实数t的取值范围是(－2，4). (2)①当≥2，即t≥4时，f(x)在[－1，2]上单调递减， 所以f(x)min＝f(2)＝3－2t. ②当－1<<2，即－2<t<4时，f(x)min＝f()＝－1－. ③当≤－1，即t≤－2时，f(x)在[－1，2]上单调递增，所以f(x)min＝f(－1)＝t. 综上可知，有g(t)＝ [变式探究] 本例条件不变，求当x∈[－1，2]时，f(x)的最大值G(t). 解：f(－1)＝t，f(2)＝3－2t，f(2)－f(－1)＝3－3t， 当t≥1时，f(2)－f(－1)≤0，所以f(2)≤f(－1)， 所以f(x)max＝f(－1)＝t； 当t<1时，f(2)－f(－1)>0，所以f(2)>f(－1)， 所以f(x)max＝f(2)＝3－2t， 综上可知，有G(t)＝ 二次函数最值问题的类型及求解策略 (1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动，区间固定；③对称轴定，区间变动． (2)求解策略：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合对称轴与区间的位置关系，分类讨论的思想即可解决． 训练 设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值． 解：f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为直线x＝1.当t＋1≤1，即t≤0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，所以f(x)min＝f(t＋1)＝t2＋1；当t<1<t＋1，即0<t<1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x＝1处取得最小值，最小值为f(1)＝1； 当t≥1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，所以最小值为f(t)＝t2－2t＋2.综上可知，当t≤0时，f(x)min＝t2＋1；当0<t<1时，f(x)min＝1；当t≥1时，f(x)min＝t2－2t＋2. [课时训练(11)见P360] 学科网（北京）股份有限公司 $$