第2章 第4节 函数性质的综合（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A培优版）

第4节　函数性质的综合 函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主． [对应学生用书P32] 考点一　函数单调性与奇偶性的综合 [例1] (1)(2024·广州花都区调研)已知函数f(x)＝e|x|＋log2|x|，设a＝f(log2)，b＝f(7－0.1)，c＝f(log25)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．b<a<c B．c<a<b C．c<b<a D．a<c<b (2)(2025·潮州模拟)已知奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(－2)＝0，则不等式<0的解集为________． 答案：(1)A　(2)(－2，0)∪(0，2)　解析：(1)已知f(x)的定义域为{x|x≠0}，且f(－x)＝e|－x|＋log2|－x|＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，当x∈(0，＋∞)时，函数f(x)＝ex＋log2x单调递增，a＝f(log2)＝f(－log23)＝f(log23)，c＝f(log25)＝f(－log425)＝f(log425)＝f(log25)，0<7－0.1<70＝1，所以log25>log23>1>7－0.1>0，所以f(log25)>f(log23)>f(7－0.1)，所以c>a>b. (2)因为函数f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)，则＝<0，即x和f(x)异号，故或由f(－2)＝0，可得f(2)＝0，因为函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)在(－∞，0)上也单调递增，画出函数f(x)的大致图象如图．由图可得原不等式的解集为(－2，0)∪(0，2). 奇偶性与单调性综合解决问题的思路 (1)对于奇偶性与单调性结合比较大小的问题，主要是通过奇偶性将待比较函数的自变量转化到同一单调区间上，这样才可以进行大小比较． (2)对于奇偶性与单调性结合求解抽象函数不等式的问题，应利用奇偶性将不等式变形为f(x1)>f(x2)(或f(x1)<f(x2))的形式，再结合单调性，脱去“f”变成常规不等式求解． 训练1 (1)定义在[－2，2]上的奇函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1＋m)＋f(m)<0，则实数m的取值范围为(　　) A．(－，＋∞) B．(－，2] C．(－，1] D．(－，] C　解析：因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(1＋m)＋f(m)<0等价于f(1＋m)<－f(m)＝f(－m).由题意，可得解得－＜m≤1. (2)(2025·绵阳模拟)已知定义在R上的函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，且f(x＋1)是偶函数，则满足f(2x)<f(x＋2)的x的取值范围为(　　) A．(－∞，－) B．(－∞，0)∪(2，＋∞) C．(0，2) D．(－∞，－)∪(2，＋∞) C　解析：因为函数f(x＋1)是偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，又f(x)在[1，＋∞)上单调递增，由f(2x)<f(x＋2)，得|2x－1|<|x＋2－1|，即|2x－1|<|x＋1|，平方并化简，得x2－2x<0，解得0<x<2，即x的取值范围为(0，2). 考点二　函数周期性与奇偶性的综合 [例2] (1)已知不恒为零的函数f(x)为定义在R上的奇函数，且函数f(x－1)为偶函数，则f(2 024)＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 (2)(2024·铜川三模)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x＋1)为奇函数，若f(0)＋f(3)＝3，则(　　) A．f(x－1)＝f(x＋1) B．f(2 025)＝3 C．函数f(x)的周期为2 D．f(2 024)＝3 (1)B　(2)D　解析：(1)由于函数f(x－1)为偶函数，则f(x－1)＝f(－x－1)，即f(x－2)＝f(－x)，又f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，且f(－x)＝－f(x)，所以f(x－2)＝－f(x)，则f(x－4)＝－f(x－2)＝－f(－x)＝f(x)，故f(x)的一个周期为4，则f(2 024)＝f(506×4＋0)＝f(0)＝0. (2)∵f(x＋1)为奇函数，∴f(－x＋1)＝－f(x＋1)，又f(x)为偶函数，∴f(－x＋1)＝f(x－1)，∴f(x－1)＝－f(x＋1)，故A项错误；即f(x)＝－f(x＋2)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)的周期为4，即C项错误；由f(－x＋1)＝－f(x＋1)，令x＝0，得f(1)＝0，f(3)＝－f(1)＝0，∴f(2 025)＝f(1＋506×4)＝f(1)＝0，即B项错误；又f(0)＋f(3)＝3，∴f(0)＝3，∴f(2 024)＝f(0＋506×4)＝f(0)＝3，所以D项正确． 周期性与奇偶性综合常见问题与思路 函数周期性与奇偶性的综合多是求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转换到已知函数解析式的定义域内求解． 训练2 (1)(2025·三明模拟)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x＋1)＝－f(x－1)，若f(－1)＞1，f(5)＝a2－2a－4，则实数a的取值范围是(　　) A．(－1，3) B．(－∞，－1)∪(3，＋∞) C．(－3，1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞) A　解析：由f(x＋1)＝－f(x－1)，可得f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝f(x)，故函数f(x)的周期为4，则f(5)＝f(1)＝a2－2a－4，又f(x)是定义在R上的奇函数，f(－1)＞1，所以f(1)＜－1，所以a2－2a－4＜－1，解得－1＜a＜3. (2)(多选)(2025·唐山模拟)已知函数f(x)的定义域为R，f(2x－1)是周期为2的奇函数，则(　　) A．f(1)＝0 B．f(2)＝0 C．f(3)＝0 D．f(4)＝0 AC　解析：因为f(2x－1)是周期为2的奇函数，所以f[2(x＋2)－1]＝f(2x－1)，即f(2x＋3)＝f(2x－1)，所以f(x)的周期为4，又f(2x－1)为R上的奇函数，所以f(－1)＝0，且f(2x－1)＋f(－2x－1)＝0，所以f(2x＋3)＋f(－2x－1)＝0，令x＝－1，得f(1)＝0，因为f(x)是周期为4的函数，且f(－1)＝0，所以f(3)＝0，所以A，C正确；根据题意，可设f(x)＝cos x，此时f(2)＝cos π＝－1，f(4)＝cos 2π＝1，所以B，D错误． 考点三　函数的奇偶性与周期性、对称性相结合 [例3] (1)设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b.若f(0)＋f(3)＝6，则f()＝(　　) A．－ B．－ C． D． (2)设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)的图象关于直线x＝对称，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝________． 答案：(1)D　(2)0　解析：(1)因为f(x＋1)是奇函数，所以f(x)的图象关于(1，0)中心对称，所以f(1)＝0，又f(x＋2)是偶函数，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，周期为4，所以f(0)＝－f(2)，f(3)＝f(1)，即f(1)－f(2)＝6，f(2)＝－6，代入可得解得因此f()＝f()＝－f()＝－(－2×＋2)＝. (2)由f(x)是R上的奇函数，得f(0)＝0.∵f(x)的图象关于直线x＝对称，∴f(x)＝f(1－x)，∴f(1)＝f(0)＝0，f(2)＝f(－1)＝－f(1)＝0，f(3)＝f(－2)＝－f(2)＝0，f(4)＝f(－3)＝－f(3)＝0，f(5)＝f(－4)＝－f(4)＝0，从而f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝0. 奇偶性与周期性、对称性相结合解题的关注点 (1)解决函数奇偶性与对称性的综合问题时要注意把已知函数的奇偶性按定义转化，再利用适合的式子判断函数图象的对称轴或对称中心．也可利用图象变换关系得出函数图象的对称轴或对称中心．总之，要充分利用条件进行适当转化． (2)函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题． 训练3 (2024·长沙阶段练习)已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(3x－2)为偶函数，f(2x－1)为奇函数，则下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)的周期为2 B．函数f(x)关于直线x＝－1对称 C．函数f(x)关于点(－1，0)中心对称 D．f(2 023)＝1 C　解析：∵f(3x－2)为偶函数，∴f(－3x－2)＝f(3x－2)，∴f(－x－2)＝f(x－2)，故f[－(－x－2)－2]＝f(－x－2－2)，即f(x)＝f(－x－4)，∴函数f(x)的图象关于直线x＝－2对称．∵f(2x－1)为奇函数，∴f(－2x－1)＝－f(2x－1)，∴f(x－1)＝－f(－x－1)，所以函数f(x)的图象关于点(－1，0)对称，故B错误，C正确；由f(x)＝f(－x－4)及f(x－1)＝－f(－x－1)知，f(x)＝f(－x－4)＝－f(－x－2)，∴f(x－4)＝－f(x－2)，∴f(x＋4－4)＝－f(x＋4－2)，即f(x)＝－f(x＋2)，∴f(x＋2)＝－f(x＋4)，故f(x)＝f(x＋4)，∴函数f(x)的周期为4，A错误；f(2 023)＝f(506×4－1)＝f(－1)＝0，故D错误． 考点四　函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性的综合 [例4] (2025·渭南模拟)已知函数f(x)满足：①定义域为R；②f(x＋1)为偶函数；③f(x＋2)为奇函数；④对任意的x1，x2∈[0，1]，且x1≠x2，都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则f(－)，f()，f()的大小关系是(　　) A．f(－)<f()<f() B．f(－)<f()<f() C．f()<f(－)<f() D．f()<f()<f(－) C　解析：∵f(x＋1)在R上为偶函数，∴f(x＋1)＝f(－x＋1)，∴f(x)的图象关于x＝1对称．∵f(x＋2)在R上为奇函数，∴f(x＋2)＋f(－x＋2)＝0，∴f(x)的图象关于(2，0)对称，且f(2)＝0.又f(x＋1)＝f(－x＋1)，∴f(x)＝f(－x＋2)(将上式中的x换成x－1)①，又f(x＋2)＋f(－x＋2)＝0，∴f(－x＋2)＝－f(x＋2)②，∴由①②得f(x)＝－f(x＋2)③，∴由③得f(x＋2)＝－f(x＋4)④(将③中的x换成x＋2)，∴由③④得f(x)＝f(x＋4)，∴f(x)的一个周期为T＝4，且f(0)＝0，f(x)的图象关于(0，0)对称．又对任意x1，x2∈[0，1]，都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，∴f(x)在[0，1]上单调递增，∴f(x)在一个周期内的草图如下图所示． ∴f(－)＝f(－＋4)＝f()＝f(2－)＝f()，f()＝f(－4)＝f(－)，因此f(－)<f()<f()，故f()<f(－)<f(). 综合运用函数的性质解题的策略 函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性是函数的四大性质，它们往往综合在一起命题，通常要借助函数的奇偶性及对称性获得函数的周期，通过奇偶性、对称性及周期性将单调区间进行转化，从而研究函数在整个定义域上的相关性质． 训练4 (多选)(2025·洛阳模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f(x＋2)＝－f(x)，且f(x)在(－1，0]上是增函数，则下列结论中正确的是(　　) A．f(x)是周期函数 B．f(x)的图象关于直线x＝1对称 C．f(x)在(1，2]上是增函数 D．f(2)＝f(0) ABD　解析：由于f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，取x＝y＝0得f(0)＝0；取y＝－x，则有f(x)＋f(－x)＝f(x－x)＝f(0)＝0，即函数f(x)是R上的奇函数，由f(x＋2)＝－f(x)得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，因此函数f(x)是以4为周期的周期函数，故A选项正确；f(x＋2)＝－f(x)＝f(－x)，因此f(x)的图象关于直线x＝1对称，故B选项正确；因为f(x)在(－1，0]上是增函数，则f(x)在[0，1)上是增函数，于是得f(x)在(1，2]上是减函数，故选项C错误；由f(x＋2)＝－f(x)得f(2)＝－f(0)＝0＝f(0)，故选项D正确． 函数奇偶性的判定与应用 [例] (2024·聊城三模)设函数f(x)的定义域为R，导数为f′(x)，若当x≥0时，f′(x)>2x－1，且对于任意的实数x，f(－x)＝f(x)＋2x，则不等式f(2x－1)－f(x)<3x2－5x＋2的解集为(　　) A．(－∞，1) B．(，1) C．(－，＋∞) D．(－∞，－)∪(1，＋∞) 审题指导：由f(－x)＝f(x)＋2x得f(－x)－x＝f(x)＋x，即y＝f(x)＋x为偶函数，但该函数和待解不等式不配套，结合偶函数的定义可知y＝f(x)－x2＋x依然为偶函数，据此结合f′(x)>2x－1求解． B　解析：因为f(－x)＝f(x)＋2x，设g(x)＝f(x)－x2＋x，则g(－x)＝f(－x)－x2－x＝f(x)＋2x－x2－x＝g(x)，即g(x)为R上的偶函数，又当x≥0时，f′(x)>2x－1，则g′(x)＝f′(x)－2x＋1>0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，因为f(2x－1)－f(x)<3x2－5x＋2，所以f(2x－1)－(2x－1)2＋(2x－1)<f(x)－x2＋x，即g(2x－1)<g(x)，所以|2x－1|<|x|，即(2x－1)2<x2，解得<x<1. 训练 已知f(x)是定义域为R的奇函数，满足f(1)＝2，且对任意0≤x1<x2，都有>－1，则不等式f(2x－1)<4－2x的解集为(　　) A．(－∞，0) B．(0，＋∞) C．(－∞，1) D．(0，1) C　解析：由对任意0≤x1<x2，都有>－1，可得f(x1)＋x1<f(x2)＋x2，令g(x)＝f(x)＋x，则函数g(x)＝f(x)＋x在[0，＋∞)上单调递增，又x∈R，g(－x)＝－g(x)，所以g(x)为R上的奇函数，所以g(x)在R上是增函数．不等式f(2x－1)<4－2x，且f(1)＝2，得f(2x－1)＋(2x－1)<3＝f(1)＋1，所以g(2x－1)<g(1)，所以2x－1<1，即x<1. [课时训练(10)见P357] 学科网（北京）股份有限公司 $$