第2章 第3节 函数的奇偶性与周期性（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A培优版）

第3节　函数的奇偶性与周期性 1．结合具体函数了解函数奇偶性的概念和几何意义，了解函数的周期性及其几何意义． 2．会判断函数的奇偶性并结合具体函数进行奇偶性与周期性的简单应用．(热点) [对应学生用书P28] 一、函数的奇偶性 1．函数的奇偶性 偶函数 奇函数 定义 条件 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D 结论 都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 图象特征 关于y轴对称 关于坐标原点对称 (1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件． (2)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|). 2．奇偶函数的等价形式 若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下： (1)f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔＝1⇔f(x)为偶函数； (2)f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔＝－1⇔f(x)为奇函数． 二、函数的周期性 周期函数 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期 最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期 1．函数奇偶性常用结论 奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性． 2．函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量x的值： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0). (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0). (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0). 一、“教考衔接”例证 高考真题 (2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)·ln 为偶函数，则a＝(　　) A.－1　　　B．0　　　C．　　　D．1 追根溯源 (人教B版必修第二册P53复习题T9)已知函数f(x)＝ln (ex＋1)－ax是偶函数，求a的值 发现感悟 函数的奇偶性是高考的重点考查内容，几乎每年都有一道利用函数奇偶性求参数的小题，解决此类问题关键是用好奇偶性定义 二、教材典题改编 1．(多选)(人教A版必修第一册P84例6改编)下列给出的函数是奇函数的是(　　) A．y＝ B．y＝ C．y＝x3＋1 D．y＝sin x 答案：ABD 2．(苏教版必修第一册P127T5改编)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________． 答案：　解析：由于f(x)是定义在[a－1，2a]上的偶函数，所以a－1＋2a＝0，且f(－x)＝f(x)，所以a＝，b＝0，所以a＋b＝. 3．(苏教版必修第一册P127T7改编)已知函数f(x)为奇函数，当x<0时，f(x)＝2x＋2，则f(1)＝________. 答案：－　解析：由题意，f(1)＝－f(－1)＝－2－1－2＝－. 4．(人教A版必修第一册P203练习4改编)已知函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，当x∈[0，2]时，f(x)＝x2＋4，则f(2 025)＝________． 答案：4　解析：因为f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)是以3为周期的周期函数，所以f(2 025)＝f(675×3＋0)＝f(0)＝4. 三、易误易混澄清 1．(忽视函数定义域)函数f(x)＝＋是________函数．(填“奇”“偶”或“非奇非偶”) 答案：非奇非偶　解析：由得即x＝1，故函数f(x)的定义域为{1}，因为函数f(x)的定义域不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数． 2．(不会构造奇、偶函数)已知函数f(x)＝ex－e－x＋x3＋3，若f(a)＝5，则f(－a)＝________． 答案：1　解析：设g(x)＝f(x)－3＝ex－e－x＋x3，则g(－x)＝e－x－ex－x3＝－(ex－e－x＋x3)＝－g(x)，所以g(x)是奇函数．因为g(a)＝f(a)－3＝2，所以g(－a)＝f(－a)－3＝－2，则f(－a)＝1. [对应学生用书P29] 考点一　判断函数的奇偶性 1．(2024·天津卷)下列函数是偶函数的是(　　) A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ B　解析：对于A，设f(x)＝，函数定义域为R，但f(－1)＝，f(1)＝，则f(－1)≠f(1)，故A错误；对于B，设g(x)＝，函数定义域为R，且g(－x)＝＝＝g(x)，则g(x)为偶函数，故B正确；对于C，设h(x)＝，函数定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，则h(x)不是偶函数，故C错误；对于D，设φ(x)＝，函数定义域为R，因为φ(1)＝，φ(－1)＝，则φ(－1)≠φ(1)，则φ(x)不是偶函数，故D错误． 2．已知函数f(x)对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2，则函数f(x)＋2为________函数．(填“奇”“偶”或“非奇非偶”) 答案：奇　解析：由题意得函数f(x)的定义域为R，定义域关于原点对称，令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)＋2，故f(0)＝－2.令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)＋2，故f(x)＋2＝－f(－x)－2＝－[f(－x)＋2].故f(x)＋2为奇函数． 判断函数奇偶性的常用方法 (1)定义法，即根据奇、偶函数的定义来判断． (2)图象法，即利用奇、偶函数图象的对称性来判断． (3)性质法，即利用在公共定义域内奇函数、偶函数的和、差、积的奇偶性来判断． 考点二　函数奇偶性的应用 考向1　利用奇偶性求值(解析式) [例1] (1)(2025·昆明模拟)已知函数F(x)＝f(x)－x2是奇函数，且f(2)＝2，则f(－2)的值为(　　) A．2 B．－2 C．6 D．－6 (2)(2025·吕梁统考)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)＝e－x＋2x－1，则当x≥0时，f(x)＝________． 答案：(1)C　(2)－ex＋2x＋1　解析：(1)因为函数F(x)＝f(x)－x2是奇函数，所以F(－x)＝－F(x)，即f(－x)－x2＝－f(x)＋x2，所以f(x)＋f(－x)＝2x2，即f(2)＋f(－2)＝8，所以f(－2)＝6. (2)因为f(x)是定义在R上的奇函数，则当x＝0时，f(0)＝0.当x>0时，－x<0，f(x)＝－f(－x)＝－(ex－2x－1)＝－ex＋2x＋1，又f(0)＝－e0＋2×0＋1＝0，则当x≥0时，f(x)＝－ex＋2x＋1. 利用奇偶性求解析式或函数值的方法 (1)求函数值的方法：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． (2)求解析式的方法：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式． 训练1 已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，则f(2 023)＋f(2 025)的值为________． 答案：0　解析：∵f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，f(－x)＝f(x)，由题意得，f(－x－1)＝g(－x)＝－g(x)＝－f(x－1)，f(x＋1)＝f(－(x＋1))＝f(－x－1)，∴f(x－1)＝－f(x＋1)，即f(x－1)＋f(x＋1)＝0，∴f(2 023)＋f(2 025)＝f(2 024－1)＋f(2 024＋1)＝0. 考向2　利用奇偶性求参数的值 [例2] (2025·绵阳模拟)已知函数f(x)＝(ex－ae－x)cos x是奇函数，则实数a＝(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 A　解析：因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以(e－x－aex)cos (－x)＝－(ex－ae－x)·cos x，即(e－x－aex)cos x＝(－ex＋ae－x)cos x，所以a＝1. 利用奇偶性求参数的方法 (1)利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的方程(组)，进而得出参数的值． (2)对于选择、填空题，可以利用特值法验证求解． 训练2 (1)(2023·全国甲卷)若f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin (x＋)为偶函数，则a＝________． 答案：2　解析：因为f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin (x＋)＝(x－1)2＋ax＋cos x为偶函数，定义域为R，所以f(－)＝f()，即(－－1)2－a＋cos (－)＝(－1)2＋a＋cos ，则πa＝(＋1)2－(－1)2＝2π，故a＝2，此时f(x)＝(x－1)2＋ax＋cos x＝x2＋1＋cos x，所以f(－x)＝(－x)2＋1＋cos (－x)＝f(x)，又定义域为R，故f(x)为偶函数，所以a＝2. (2)(2022·全国乙卷)若f(x)＝ln |a＋|＋b是奇函数，则a＝________，b＝________. 答案：－　ln 2　解析：因为函数f(x)为奇函数，所以其定义域关于原点对称．由a＋≠0可得，(1－x)(a＋1－ax)≠0，所以令x＝＝－1，解得a＝－，即函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，＋∞)，再由f(0)＝0可得，b＝ln 2.即f(x)＝ln |－＋|＋ln 2＝ln ||，在定义域内满足f(－x)＝－f(x)，符合题意． 考点三　函数的周期性及其应用 [例3] (1)(2025·淄博检测)函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13，且f(3)＝2，则f(2 025)＝________． (2)设f(x)是定义在R上周期为4的偶函数，且当x∈[0，2]时，f(x)＝log2(x＋1)，则函数f(x)在[2，4]上的解析式为____________________． 答案：(1)　(2)f(x)＝log2(5－x)，x∈[2，4]　 解析：(1)∵f(x)f(x＋2)＝13，∴f(x＋2)＝，∴f(x＋4)＝＝＝f(x)， ∴f(x)的周期为4， ∴f(2 025)＝f(1)＝＝. (2)根据题意，设x∈[2，4]，则x－4∈[－2，0]，则有4－x∈[0，2]，又当x∈[0，2]时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(4－x)＝log2[(4－x)＋1]＝log2(5－x)，又f(x)为周期为4的偶函数，所以f(x)＝f(x－4)＝f(4－x)＝log2(5－x)，x∈[2，4]，则有f(x)＝log2(5－x)，x∈[2，4]. 函数周期性的判定与应用的解题策略 (1)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题． (2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期. 训练3 (1)已知函数f(x)满足对于任意的实数x，都有f(x＋2)＝－，且f(1)＝，则f(2 025)＝(　　) A．－ B． C．－1 D．1 B　解析：由f(x＋2)＝－，得f(x)的周期T＝4，f(2 025)＝f(506×4＋1)＝f(1)＝. (2)(2025·安康统考)设f(x)是定义域为R的偶函数，且f(2＋x)＝f(－x)，f(－)＝，则f()等于(　　) A.－ B．－ C． D． C　解析：因为f(x)是定义域为R的偶函数，所以f(－x)＝f(x)，故f(2＋x)＝f(－x)＝f(x)，所以f(x)的一个周期为2，故f()＝f(－4)＝f()＝f(－)＝. [对应学生用书P30] 抽象函数主要研究赋值求值、证明函数的性质、解不等式等，一般通过代入特殊值求值、通过f(x1)－f(x2)的变换判定单调性、出现f(x)及f(－x)判定抽象函数的奇偶性、换x为x＋T确定周期性． (1)判断抽象函数单调性的方法 ①若给出的是“和型”抽象函数f(x＋y)＝…，判断符号时要变形为f(x2)－f(x1)＝f((x2－x1)＋x1)－f(x1)或f(x2)－f(x1)＝f(x2)－f((x1－x2)＋x2)； ②若给出的是“积型”抽象函数f(xy)＝…，判断符号时要变形为f(x2)－f(x1)＝f(x1·)－f(x1)或f(x2)－f(x1)＝f(x2)－f(x2·). (2)常见的抽象函数模型 ①正比例函数f(x)＝kx(k≠0)，对应f(x±y)＝f(x)±f(y)； ②幂函数f(x)＝xa，对应f(xy)＝f(x)f(y)或f()＝； ③指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，对应f(x＋y)＝f(x)f(y)或f(x－y)＝； ④对数函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，对应f(xy)＝f(x)＋f(y)或f()＝f(x)－f(y)或f(xn)＝nf(x)； ⑤正弦函数f(x)＝sin x，对应f(x＋y)f(x－y)＝f2(x)－f2(y)，来源于sin2α－sin2β＝sin(α＋β)·sin (α－β)； ⑥余弦函数f(x)＝cos x，对应f(x)＋f(y)＝2f()f()，来源于cos α＋cos β＝2cos ·cos ； ⑦正切函数f(x)＝tan x(x≠＋kπ，k∈Z)，对应f(x±y)＝，来源于tan (α±β)＝. [例] (多选)(2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)，则(　　) A．f(0)＝0 B．f(1)＝0 C．f(x)是偶函数 D．x＝0为f(x)的极小值点 ABC　解析：方法一　因为f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)，对于A，令x＝y＝0，f(0)＝0f(0)＋0f(0)＝0，故A正确；对于B，令x＝y＝1，f(1)＝f(1)＋f(1)，则f(1)＝0，故B正确；对于C，令x＝y＝－1，f(1)＝f(－1)＋f(－1)＝2f(－1)，则f(－1)＝0，令y＝－1，f(－x)＝f(x)＋x2f(－1)＝f(x)，又函数f(x)的定义域为R，所以f(x)为偶函数，故C正确；对于D，不妨令f(x)＝0，显然符合题设条件，此时f(x)无极值，故D错误． 方法二　因为f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)，对于A，令x＝y＝0，f(0)＝0f(0)＋0f(0)＝0，故A正确；对于B，令x＝y＝1，f(1)＝f(1)＋f(1)，则f(1)＝0，故B正确；对于C，令x＝y＝－1，f(1)＝f(－1)＋f(－1)＝2f(－1)，则f(－1)＝0，令y＝－1，f(－x)＝f(x)＋x2f(－1)＝f(x)，又函数f(x)的定义域为R，所以f(x)为偶函数，故C正确；对于D，当x2y2≠0时，对f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)两边同时除以x2y2，得到＝＋，故可以设＝ln |x|(x≠0)，则f(x)＝当x>0时，f(x)＝x2ln x，则f′(x)＝2x ln x＋x2·＝x(2ln x＋1)，令f′(x)<0，得0<x<e－；令f′(x)>0，得x>e－；故f(x)在(0，e－)上单调递减，在(e－，＋∞)上单调递增，因为f(x)为偶函数，所以f(x)在(－e－，0)上单调递增，在(－∞，－e－)上单调递减， 显然，此时x＝0是f(x)的极大值点，故D错误． 训练1 函数f(x)满足3f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)(x，y∈R)，且f(1)＝，则f(2 029)＝(　　) A． B．－ C．－ D． D　解析：由题意，取y＝1，则3f(x)f(1)＝f(x＋1)＋f(x－1)，即f(x)＝f(x＋1)＋f(x－1)①，所以f(x＋1)＝f(x＋2)＋f(x)②，联立①②得f(x＋2)＝－f(x－1)，所以f(x)＝－f(x＋3)＝f(x＋6)，所以函数f(x)的周期为6，所以f(2 029)＝f(6×338＋1)＝f(1)＝. 训练2 已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)是偶函数，f(2x＋1)是奇函数，则(　　) A．f(－)＝0 B．f(－1)＝0 C．f(2)＝0 D．f(4)＝0 B　解析：方法一(常规方法推导)　∵f(x＋2)是偶函数，∴f(－x＋2)＝f(x＋2).∵f(2x＋1)是奇函数，∴f(－2x＋1)＝－f(2x＋1).由F(x)＝f(2x＋1)是奇函数，可得F(0)＝f(1)＝0，∴f(－1)＝－f(3)＝－f(1)＝0，其他几个选项不一定成立． 方法二(特殊函数秒杀)　由f(x＋2)是偶函数，f(2x＋1)是奇函数，可取f(x)＝cos (x－π)，可得f(－1)＝0，其他几个选项均不成立． 训练3 (2022·新高考Ⅱ卷)若函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则(k)＝(　　) A．－3 B．－2 C．0 D．1 A　解析：方法一　令x＝1，y＝0，得2f(1)＝f(1)f(0)，所以f(0)＝2.令y＝1，得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)，所以f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)，即f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，所以f(x＋2)＝f(x＋1)－f(x)，所以f(x＋2)＝－f(x－1)，即f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(x＋3)＝f(x＋6)，即f(x)是周期为6的周期函数．因为f(0)＝2，f(1)＝1，f(2)＝f(1)－f(0)＝－1，f(3)＝－f(0)＝－2，f(4)＝－f(1)＝－1，f(5)＝－f(2)＝1，f(6)＝f(0)＝2，所以(k)＝[f(1)＋f(2)＋…＋f(18)]＋[f(19)＋f(20)＋f(21)＋f(22)]＝f(19)＋f(20)＋f(21)＋f(22)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝－3. 方法二　取f(x)＝2cos x符合条件，则T＝6，计算可得f(2)＝－1，f(3)＝－2，f(4)＝－1，f(5)＝1，f(6)＝2，所以(k)＝1－1－2－1＋1＋2＝0，所以(k)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3. 训练4 函数f(x)和g(x)的定义域均为R，且y＝f(4＋x)为偶函数，y＝g(x＋4)＋1为奇函数，对任意x∈R，均有f(x)＋g(x)＝x2＋1，则f(7)·g(7)＝(　　) A．575 B．598 C．621 D．624 C　解析：∵y＝f(4＋x)为偶函数，即f(4＋x)＝f(4－x)，∴y＝f(x)的图象关于直线x＝4对称．∵y＝g(x＋4)＋1为奇函数，即g(4－x)＋1＝－g(4＋x)－1，∴y＝g(x)的图象关于点(4，－1)对称．∵对任意x∈R，均有f(x)＋g(x)＝x2＋1，∴f(1)＋g(1)＝2.∵y＝f(x)的图象关于直线x＝4对称，∴f(1)＝f(7).∵y＝g(x)的图象关于点(4，－1)对称，∴g(1)＝－2－g(7)，∴f(7)－g(7)＝4.又f(7)＋g(7)＝1＋72＝50，∴f(7)＝27，g(7)＝23，∴f(7)g(7)＝621. 训练5 (2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(x)>f(x－1)＋f(x－2)，且当x<3时，f(x)＝x，则下列结论中一定正确的是(　　) A．f(10)>100 B．f(20)>1 000 C．f(10)<1 000 D．f(20)<10 000 B　解析：因为当x<3时f(x)＝x，所以f(1)＝1，f(2)＝2，又f(x)>f(x－1)＋f(x－2)，则f(3)>f(2)＋f(1)＝3，f(4)>f(3)＋f(2)>5，f(5)>f(4)＋f(3)>8，f(6)>f(5)＋f(4)>13，f(7)>f(6)＋f(5)>21，f(8)>f(7)＋f(6)>34，f(9)>f(8)＋f(7)>55，f(10)>f(9)＋f(8)>89，f(11)>f(10)＋f(9)>144，f(12)>f(11)＋f(10)>233，f(13)>f(12)＋f(11)>377，f(14)>f(13)＋f(12)>610，f(15)>f(14)＋f(13)>987，f(16)>f(15)＋f(14)>1 597>1 000，则依次下去可知f(20)>1 000，则B正确；且无证据表明A，C，D一定正确． [课时训练(9)见P355] 学科网（北京）股份有限公司 $$