第2章 第2节 函数的单调性与最值（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A培优版）

第2节　函数的单调性与最值 1．借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解它的作用和实际意义．(重点) 2．掌握函数单调性的判断及简单应用．(热点) [对应学生用书P24] 一、函数的单调性 1．单调函数的定义 对比 增函数 减函数 定义 当函数f(x)在它的定义域上单调递增(递减)时，我们就称它是增(减)函数 单调性 条件 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I 结论 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减 图示 特点 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 2.单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间． 关于函数单调区间需注意： (1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示． (2)求函数单调区间或讨论函数的单调性时，必须先求函数的定义域． (3)一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接． (4)“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N⊆M. 二、函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M 满足条件 (1)∀x∈D，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M (1)∀x∈D，都有f(x)≥M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时，最值一定在端点处取得． (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最小值或最大值． 1．∀x1，x2∈I且x1≠x2，有>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间I上单调递增(减). 2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数． 3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反． 4．复合函数的单调性：同增异减． 一、“教考衔接”例证 高考 真题 (2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝在R上单调递增，则a的取值范围是(　　) A.(－∞，0]　　　　　　B．[－1，0] C.[－1，1]　 D．[0，＋∞) 追根 溯源 (人教A版必修第一册P100复习参考题3T4)已知函数f(x)＝4x2－kx－8在[5，20]上具有单调性，求实数k的取值范围 发现 感悟 高考题考查由分段函数的单调性求参数范围，与教材习题相比较，高考题不但考查二次函数单调性，还考查指、对函数的单调性，综合性进一步加强 二、教材典题改编 1．(人教A版必修第一册P79练习T3改编)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是(　　) A．y＝－x B．y＝x2－x C．y＝x＋ D．y＝ex 答案：A 2．(苏教版必修第一册P121T2改编)函数f(x)＝x2－2x的单调递增区间是(　　) A．(1，＋∞) B．(－∞，1) C．(－1，＋∞) D．(－∞，－1) 答案：A 3．(人教A版必修第一册P81例5改编)函数f(x)＝(x∈[2，6])，则f(x)的最小值为______，最大值为________． 答案：　2 4．(人教B版必修第一册P107练习BT1改编)函数y＝f(x)是定义在[－2，2]上的减函数，且f(a＋1)＜f(2a)，则实数a的取值范围是________. 答案：[－1，1)　解析：由条件知解得－1≤a＜1. 三、易误易混澄清 1. (易忽略两个区间不能用“∪”连接)设定义在[－1，7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的增区间为________． 答案：[－1，1]，[5，7] 2．(混淆“单调区间”与“在区间上单调”)若函数f(x)＝x2－2mx＋1在[2，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围是________． 答案：(－∞，2]　解析：函数f(x)＝x2－2mx＋1的对称轴为直线x＝m，由题意知[2，＋∞)⊆[m，＋∞)，所以m≤2. 3．(忽略单调区间与定义域的关系)函数f(x)＝lg (9－x2)的定义域为________；其单调递增区间为________． 答案：(－3，3)　(－3，0]　解析：对于函数f(x)＝lg (9－x2)，令9－x2＞0，解得－3＜x＜3，可得函数的定义域为(－3，3).令g(x)＝9－x2，则函数f(x)＝lg (g(x))，又函数g(x)在定义域内的增区间为(－3，0]，所以函数f(x)＝lg (9－x2)在定义域内的单调递增区间为(－3，0]. 4．(易忽视x2的范围导致值域变大)函数y＝的值域为________． 答案：[－1，1)　解析：由y＝＝＝1＋，令t＝x2＋1，则t≥1，∴∈[－2，0)，∴y＝1＋∈[－1，1)，∴所求函数的值域为[－1，1). [对应学生用书P25] 考点一　确定函数的单调性 考向1　求具体函数的单调区间 [例1] (1)设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递增区间是________． (2)函数y＝－的单调增区间为_______． 答案：(1)(－∞，0]，[1，＋∞)　(2)(－∞，－2] 解析：(1)由题意知g(x)＝该函数图象如图所示， 其单调递增区间是(－∞，0]，[1，＋∞). (2)由x2＋2x≥0，得x≤－2或x≥0，则函数的定义域为(－∞，－2]∪[0，＋∞)，令t＝x2＋2x，则y＝－，因为t＝x2＋2x在(－∞，－2]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，y＝－在定义域内为减函数，所以y＝－在(－∞，－2]上单调递增，在[0，＋∞)上单调递减，所以y＝－的单调增区间为(－∞，－2]. 求函数的单调区间的方法 (1)图象法：如果f(x)是以图象给出的，或者f(x)的图象易作出，可由函数图象直观地写出它的单调区间． (2)复合函数法：①求函数的定义域；②求简单函数的单调区间；③求复合函数的单调区间，依据是“同增异减”． 考向2　判断函数的单调性 [例2] 试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性． 解：方法一(定义法)　设∀x1，x2∈(－1，1)且x1<x2， f(x)＝a()＝a(1＋)， 则f(x1)－f(x2)＝a(1＋)－a(1＋)＝. 因为－1<x1<x2<1，所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0. 故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0， 即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递减； 当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递增． 方法二(导数法)　f′(x)＝＝－. 当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1，1)上单调递减； 当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1，1)上单调递增． 判断函数单调性常用的方法 (1)定义法：一般步骤为取值→作差→变形→判断符号→得出结论． (2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性． (3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调性(或单调区间). 训练1 (多选)下列函数在其定义域内是增函数的为(　　) A．y＝|x2－2x| B．y＝ex－e－x C．y＝log0.5(x＋1) D．y＝x＋cos x BD　解析：对于A，作出函数y＝|x2－2x|的图象如图所示， 易知函数y＝|x2－2x|在其定义域内不是增函数，故A错误；对于B，因为函数y＝ex是增函数，y＝e－x是减函数，所以y＝ex－e－x是R上的增函数，故B正确；对于C，函数y＝log0.5x是减函数，而y＝x＋1为增函数，所以函数y＝log0.5(x＋1)在定义域(－1，＋∞)上为减函数，故C错误；对于D，y＝x＋cos x的定义域为R，y′＝1－sin x≥0在R上恒成立，故y＝x＋cos x是R上的增函数，故D正确． 考点二　函数单调性的应用 考向1　比较大小问题 [例3] 已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f(－)，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c>a>b B．c>b>a C．a>c>b D．b>a>c D　解析：因为f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(－)＝f().当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，知f(x)在(1，＋∞)上单调递减．因为1<2<<e，所以f(2)>f()>f(e)，即b>a>c. 考向2　求函数的最值 [例4] (2025·临沂模拟)函数f(x)＝x－＋1在[1，4]上的值域为(　　) A．[1，] B．[0，1] C．[0，] D．[，] C　解析：由y＝x在[1，4]上单调递增，且y＝在[1，4]上单调递减，可得f(x)＝x－＋1在[1，4]上单调递增，又f(1)＝0，f(4)＝，故值域为[0，]. 求函数的值域(最值)的常用方法 (1)配方法：主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题． (2)单调性法：利用函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域． (3)数形结合法． (4)换元法：引进一个(几个)新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”． (5)分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式． [例] (多选)下列函数中，值域正确的是(　　) A．当x∈[0，3)时，函数y＝x2－2x＋3的值域为[2，6) B．函数y＝的值域为R C．函数y＝2x－的值域为[，＋∞) D．函数y＝＋的值域为[，＋∞) ACD　解析：对于A，(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0，3)，再结合函数的图象(如图①所示)，可得函数的值域为[2，6)； 对于B，(分离常数法)y＝＝＝2＋，显然≠0，∴y≠2，故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)；对于C，(换元法)设t＝，则x＝t2＋1，且t≥0，∴y＝2(t2＋1)－t＝2(t－)2＋，由t≥0，再结合函数的图象(如图②所示)，可得函数的值域为[，＋∞)；对于D，函数的定义域为[1，＋∞)，∵y＝与y＝在[1，＋∞)上均单调递增，∴y＝＋在[1，＋∞)上为增函数，∴当x＝1时，ymin＝，即函数的值域为[，＋∞). 考向3　利用单调性解函数不等式 [例5] 已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(x2－4)<2，则实数x的取值范围是________________． 答案：(－，－2)∪(2，)　解析：因为函数f(x)＝ln x＋2x在(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝ln 1＋2＝2.由f(x2－4)<2得f(x2－4)<f(1).所以0<x2－4<1，解得－<x<－2或2<x<. 考向4　利用函数单调性求参数问题 [例6] 设函数f(x)＝若函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，1] B．[1，4] C．[4，＋∞) D．(－∞，1]∪[4，＋∞) D　解析：作出函数f(x)的图象如图所示， 由图象可知f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4. 单调性应用的基本思路 (1)比较函数值的大小时，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． (2)求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域． (3)利用单调性求参数的取值(范围).根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值． 训练2 (1)(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2] B．[－2，0) C．(0，2] D．[2，＋∞) D　解析：通解(复合函数法)　由题意得y＝x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，所以x＝≥1，解得a≥2. 光速解(特值法)　取a＝3，则y＝x(x－3)＝(x－)2－在(0，1)上单调递减，所以f(x)＝2x(x－3)在(0，1)上单调递减，所以a＝3符合题意，排除A，B，C. (2)已知函数f(x)＝lg x－()x，f(m)＝1，且0<p<m<n，则(　　) A．f(n)<1且f(p)>1 B．f(n)>1且f(p)>1 C．f(n)>1且f(p)<1 D．f(n)<1且f(p)<1 C　解析：∵函数y＝lg x，y＝－()x在(0，＋∞)上均单调递增，∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∵0<p<m<n，且f(m)＝1，∴f(p)<f(m)＝1<f(n). (3)已知函数f(x)＝则不等式f(x＋2)<f(x2＋2x)的解集是(　　) A．(－2，1) B．(0，1) C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(1，＋∞) C　解析：由函数f(x)＝的图象(图略)可得f(x)在R上是增函数，则不等式f(x＋2)<f(x2＋2x)等价于x＋2<x2＋2x，即x2＋x－2>0，解得x>1或x<－2，则原不等式的解集为(－∞，－2)∪(1，＋∞). 函数单调性的应用——衔接高等数学 [例] (2025·邢台期末)保定的府河发源于保定市西郊，止于白洋淀藻杂淀，全长26千米．府河作为保定城区主要的河网水系，是城区内主要的排沥河道．府河桥其桥拱曲线形似悬链线，桥型优美，是该市的标志性建筑之一，悬链线函数形式为y＝(e＋e－)，当其中参数a＝1时，该函数就是双曲余弦函数cos hx＝，类似的有双曲正弦函数sin hx＝.设函数f(x)＝sin hx·cos hx，若实数x满足不等式f(3x－4)＋f(x2)<0，则x的取值范围为(　　) A．(－4，1) B．(－1，4) C．(－4，－1) D．(1，4) 审题指导：根据题意，写出函数解析式，由奇偶性和单调性，解不等式即可． A　解析：由题意，f(x)＝sin hx·cos hx＝·＝，函数定义域为R，且为增函数，由f(－x)＝＝－＝－f(x)，则函数f(x)为奇函数，由f(3x－4)＋f(x2)<0，即f(x2)<－f(3x－4)＝f(4－3x)，所以x2<4－3x，解得－4<x<1，所以x的取值范围为(－4，1). 训练 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，也称取整函数．例如：[－3.7]＝－4，[2.3]＝2.已知f(x)＝－，则函数y＝[f(x)]的值域为(　　) A．{0} B．{－1，0} C．{－2，－1，0} D．{－1，0，1} B　解析：由函数f(x)＝－＝1－－＝－，因为ex＋1>1，所以－1<－<0，－<－<，所以－<f(x)<，所以[f(x)]＝－1或0，所以y＝[f(x)]的值域为{－1，0}． [课时训练(8)见P352] 学科网（北京）股份有限公司 $$