第2章 第1节 函数的概念与表示（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A培优版）

第1节　函数的概念与表示 1．能用集合语言和对应关系刻画函数，了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．(重点) 2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数． 3．了解简单的分段函数，并会简单的应用．(热点) [对应学生用书P21] 一、函数及其要素 非空性 两个非空实数集A，B 唯一性 对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，即f：A→B 记法 y＝f(x)，x∈A 三要素 对应法则 f 定义域 自变量x的取值范围，即x∈A 值域 函数值的集合{f(x)|x∈A}，其中与x的值相对应的y值叫做函数值 在函数的概念中集合B不一定是函数的值域，它包含了函数的值域，即值域是集合B的子集． 二、同一个函数 两个函数定义域相同，且对应关系完全一致． 三、函数的表示法 常用方法：解析法、列表法、图象法． 四、分段函数 两个不同：在定义域的不同子集上，函数的对应关系不同． 1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点． 2．在函数的定义中，非空实数集A，B中，A即为函数的定义域，值域为B的子集． 3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集． 一、教材典题改编 1．(苏教版必修第一册P115练习T4改编)在下列图形中，能表示函数关系y＝f(x)的是(　　) 答案：D 2．(人教A版必修第一册P66例3改编)下列函数中与函数y＝x是同一个函数的是(　　) A.y＝()2 B．u＝ C.y＝ D．m＝ B　解析：函数y＝()2与函数m＝和y＝x的定义域不同，不是同一个函数，函数y＝＝|x|与y＝x的解析式不同，也不是同一个函数． 3．[人教A版必修第一册P67练习T1(2)改编]函数f(x)＝＋－1的定义域为________． 答案：[－3，1]　解析： 解得－3≤x≤1，所以f(x)的定义域为[－3，1]. 4．(人教A版必修第一册P65例2改编)已知函数则f(f(－3))＝________． 答案：　解析：因为f(－3)＝＝0，所以f(f(－3))＝f(0)＝. 二、易误易混澄清 1．(忽视新元范围)已知f()＝x－1，则f(x)＝________. 答案：x2－1(x≥0)　解析：因为f()＝x－1，所以f()＝()2－1，即f(x)＝x2－1，x≥0. 2．(忽视自变量的范围)已知函数f(x)＝则使f(x)≥2的x的取值范围为____________． 答案：(－∞，－1]∪(0，1]　解析：当x≤0时，f(x)≥2即为x2＋1≥2，解得x≤－1或x≥1，所以x≤－1；当x>0时，f(x)≥2即为－x＋3≥2，解得x≤1，所以0<x≤1.综上所述，x的取值范围为(－∞，－1]∪(0，1]. [对应学生用书P22] 考点一　函数的定义域 1．(2025·广州模拟)若函数f(x)＝＋lg (2x－1)，则f(x)的定义域为(　　) A．{x|x>0} B．{x|x≤1} C．{x|0<x≤1} D．{x|－1≤x≤1} C　解析：由⇒⇒0<x≤1. 2．已知函数y＝f(x)的定义域是[－2，3]，则函数y＝f(2x－1)的定义域是(　　) A．[－5，5] B．[－，2] C．[－2，3] D．[，2] B　解析：函数y＝f(x)的定义域是[－2，3]，由－2≤2x－1≤3，解得－≤x≤2，所以函数y＝f(2x－1)的定义域是[－，2]. 3．(2025·武汉模拟)已知函数f(2x＋1)的定义域为[－1，1)，则函数f(1－x)的定义域为________． 答案：(－2，2]　解析：由函数f(2x＋1)的定义域为[－1，1)，则有2x＋1∈[－1，3)，所以函数f(x)的定义域是[－1，3)，令－1≤1－x<3，解得－2<x≤2.故函数f(1－x)的定义域为(－2，2]. 1．求具体函数的定义域的思路 根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可． 2．求抽象函数的定义域的策略 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出； (2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域． 考点二　函数的解析式 [例1] (1)已知函数f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x＋8，则f(x)＝__________． (2)已知f(＋1)＝x－2，则f(x)＝______． (3)已知f(x)满足2f(x)＋f()＝3x－1，则f(x)＝________． 答案：(1)－2x－8或2x＋　(2)x2－4x＋3(x≥1)　(3)2x－－(x≠0)　解析：(1)设函数f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋(a＋1)b，又f(f(x))＝4x＋8，所以a2x＋(a＋1)b＝4x＋8，即解得或所以f(x)＝－2x－8或f(x)＝2x＋. (2)方法一(换元法)　令t＝＋1(t≥1)，则x＝(t－1)2，则f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，所以f(x)＝x2－4x＋3(x≥1). 方法二(配凑法)　因为f(＋1)＝(＋1)2－4(＋1)＋3，且＋1≥1，所以f(x)＝x2－4x＋3(x≥1). (3)在2f(x)＋f()＝3x－1中，将x(x≠0)换成，得2f()＋f(x)＝－1，由消去f()得f(x)＝2x－－(x≠0). 函数解析式的求法 (1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，得f(x)的表达式． (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法． (3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围． (4)方程思想：根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x). 训练1 若f()＝，则f(x)＝________． 答案：(x≠0且x≠1)　解析：f(x)＝＝(x≠0且x≠1). 考点三　分段函数 考向1　分段函数求值问题 [例2] (1)已知函数f(x)＝则f()的值为(　　) A． B． C．－15 D．18 (2)(2025·武汉模拟)已知f(x)＝则f()＝(　　) A．2 B． C． D．1 (1)B　(2)D　解析：(1)f(x)＝ ∴f(2)＝(2＋2)×(2－1)＝4，∴f()＝f()＝1－()2＝. (2)函数f(x)＝所以f()＝2f()＝2＝1. [变式探究] 本例变为：已知函数f(x)＝若f(m)＝－1，则实数m的值为________. 答案：1　解析：因为函数f(x)＝f(m)＝－1，所以或解得m＝1. 考向2　分段函数与不等式(方程) [例3] (2025·嘉兴模拟)设函数f(x)＝若f(a)≥0，则实数a的取值范围是________． 答案：(－∞，－2]∪[0，＋∞)　解析：当a≤0时，f(a)＝a2＋2a，由f(a)≥0得a2＋2a≥0，解得a≥0或a≤－2，又a≤0，所以得a＝0或a≤－2；当a>0时，f(a)＝lg (a2＋1)，由f(a)≥0得lg (a2＋1)≥0，解得a∈R.又a>0，所以得a>0.综上可得，实数a的取值范围是(－∞，－2]∪[0，＋∞). 分段函数问题的求解 (1)求值问题：先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入对应的解析式求解． (2)与方程、不等式的交汇问题： 要对不同定义区间进行分类讨论，最后注意检验结果是否适合相应的分段区间． 训练2 (1)已知函数f(x)＝若f(f(1))＝f(－1)，则实数a的值为(　　) A．－ B．－4或－ C．－4 D．不存在 B　解析：由题意知，f(1)＝a＋3，f(－1)＝，即f(a＋3)＝.当a＋3≥0，即a≥－3时，f(a＋3)＝a＋3(a＋3)＝4a＋9＝，解得a＝－，满足题意；当a＋3<0，即a<－3时，f(a＋3)＝2a＋3＝，解得a＝－4，满足题意．所以a＝－4或a＝－. (2)已知函数f(x)＝若f(a)－f(－a)>0，则实数a的取值范围为____________． 答案：(－2，0)∪(2，＋∞)　解析：当a＝0时，显然不成立．当a>0时，不等式f(a)－f(－a)>0可化为a2＋a－3a>0，解得a>2.当a<0时，不等式f(a)－f(－a)>0可化为－a2－2a>0，解得－2<a<0.综上所述，实数a的取值范围为(－2，0)∪(2，＋∞). (3)(2024·北京东城二模)设函数f(x)＝则f(f())＝________，不等式f(x)<f(2x)的解集是________． 答案：1　(－∞，－)∪(，＋∞)　解析：由题意可知：f(f())＝f(1)＝1；因为f(x)<f(2x)，当|2x|<1，即－<x<时，则|x|<<1，可得1<1，不合题意；当即x∈(－1，－]∪[，1)时，可得1<(2x)2，解得x>或x<－，所以x∈(－1，－)∪(，1)；当|x|≥1，即x≥1或x≤－1时，则|2x|＝2|x|≥2>1，可得x2<(2x)2＝4x2，符合题意；综上所述，不等式f(x)<f(2x)的解集是(－∞，－)∪(，＋∞). 函数的新定义问题 [例] 设函数f(x)，若存在常数m>0，使|f(x)|≤m|x|，对一切定义域内x均成立，则称f(x)为F函数．下列函数中不是F函数的是(　　) A．f(x)＝0 B．f(x)＝2x C．f(x)＝x2－3x＋1，x≥2 D．f(x)＝ C　解析：A选项，若f(x)＝0，则|f(x)|＝0，所以当m>0时，恒有|f(x)|≤m|x|成立，所以满足条件；B选项，若f(x)＝2x，则|f(x)|＝2|x|，当m≥2时，|f(x)|≤m|x|成立，所以满足条件；C选项，若f(x)＝x2－3x＋1，x≥2，则||＝||＝|x＋－3|，因为x≥2时，函数y＝x＋单调递增，所以y＝x＋≥2＋＝.则不存在常数m>0，使|f(x)|≤m|x|对一切定义域内x均成立，所以不满足条件；D选项，若f(x)＝，则||＝||＝||≤，当m＝时，|f(x)|≤m|x|对一切定义域内x均成立，所以满足条件． 函数新定义问题的求解策略 (1)新定义问题是先给出一个新的概念，或给出一个抽象函数的性质，然后根据这种新定义解决相关的问题． (2)解决问题的关键是破译题目的信息，转化为熟悉的问题便可获解． 训练 (1)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数f(x)的图象恰好通过n(n∈N*)个整点，则称函数f(x)为n阶整点函数．有下列函数： ①f(x)＝sin 2x；②g(x)＝x3；③h(x)＝()x；④φ(x)＝ln x. 其中是一阶整点函数的是(　　) A．①②③④ B．①③④ C．①④ D．④ C　解析：对于函数f(x)＝sin 2x，它只通过一个整点(0，0)，故它是一阶整点函数；对于函数g(x)＝x3，当x∈Z时，一定有g(x)＝x3∈Z，即函数g(x)＝x3通过无数个整点，它不是一阶整点函数；对于函数h(x)＝()x，当x＝0，－1，－2，等等时，h(x)都是整数，易知函数h(x)通过无数个整点，它不是一阶整点函数；对于函数φ(x)＝ln x，它只通过一个整点(1，0)，故它是一阶整点函数． (2)(2024·上海模拟)已知函数y＝f(x)具有以下的性质：对于任意实数a和b，都有f(a＋b)＋f(a－b)＝2f(a)f(b)，则以下选项中，不可能是f(1)值的是(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．1 A　解析：因为函数y＝f(x)对于任意实数a和b，都有f(a＋b)＋f(a－b)＝2f(a)f(b)，所以令a＝b＝0，有f(0)＋f(0)＝2f(0)f(0)，即2f(0)·[f(0)－1]＝0，所以f(0)＝0或f(0)＝1；令a＝b＝，x为任意实数，有f(x)＋f(0)＝2f()f()，即f(x)＝2f()f()－f(0)；因为f()f()≥0，所以f(x)≥－f(0)，当f(0)＝0时，f(x)≥0；当f(0)＝1时，f(x)≥－1；所以f(x)的值不可能是－2. [课时训练(7)见P350] 学科网（北京）股份有限公司 $$