第1章 第5节 一元二次函数、方程和不等式（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A培优版）

第5节　一元二次函数、方程和不等式 1．会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系． 2．了解一元二次不等式的现实意义，能借助一元二次函数求解一元二次不等式．(重点) 3．了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． [对应学生用书P16] 一、一元二次不等式 把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 二、三个“二次”间的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 {x|x＞x2或x＜x1} {x|x≠－} R ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 三、分式不等式与整式不等式 1.＞0(＜0)⇔f(x)·g(x)＞0(＜0)． 2.≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0． 四、(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集 不等式 解集 a<b a＝b a>b (x－a)·(x－b)>0 {x|x<a或x>b} {x|x≠a} {x|x<b或x>a} (x－a)·(x－b)<0 {x|a<x<b} ∅ {x|b<x<a} 1．解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)时不要忘记当a＝0时的情形． 2．不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定． (1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔ (2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔ 一、教材典题改编 1．(人教B版必修第一册P75练习B T1改编)已知集合A＝{0，1，2，4}，B＝{x|x2－6x＋5<0}，则A∩B＝(　　) A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，4} C．{0，1} D．{2，4} D　解析：由题意得B＝{x|x2－6x＋5<0}＝{x|1<x<5}，∴A∩B＝{2，4}． 2．(苏教版必修第一册P69T9改编)设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)·(n＋x)>0的解集是(　　) A．{x|x<－n或x>m} B．{x|－n<x<m} C．{x|x<－m或x>n} D．{x|－m<x<n} B　解析：不等式变形为(x－m)(x＋n)<0，方程(x－m)·(x＋n)＝0的两根为m，－n，显然由m＋n>0得m>－n，所以不等式的解为－n<x<m. 3．(人教A版必修第一册P58复习参考题2T6改编)若不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为________． 答案：(－3，0]　解析：当k＝0时，满足题意；当k≠0时，解得－3<k<0，所以－3<k≤0. 二、易误易混澄清 1．(忽视二次项的符号)不等式(x－2)(3－2x)≥0的解集为(　　) A．(，＋∞) B．[，2] C．[2，＋∞) D．(－∞，] B　解析：由(x－2)(3－2x)≥0得(x－2)·(2x－3)≤0，解得≤x≤2，故不等式的解集为[，2]. 2．(忽视对含参二次项系数的讨论)若不等式mx2＋2mx－4＜2x2＋4x对任意x都成立，则实数m的取值范围是(　　) A．(－2，2) B．(2，＋∞) C．(－2，2] D．[－2，2] C　解析：原不等式可整理为(2－m)x2＋(4－2m)x＋4＞0.当m＝2时，不等式为4＞0，该不等式恒成立；当m≠2时，必须满足 解得－2＜m＜2.综上可知，实数m的取值范围是(－2，2]. [对应学生用书P18] 考点一　不含参数的一元二次不等式的解法 1．不等式x(2x＋7)≥－3的解集为(　　) A.(－∞，－3]∪[－，＋∞) B.[－3，－] C.(－∞，－2]∪[－，＋∞) D.[－2，－] A　解析：x(2x＋7)≥－3可化为2x2＋7x＋3≥0，令2x2＋7x＋3＝0，得x1＝－3，x2＝－，所以x≤－3或x≥－，即不等式的解集为(－∞，－3]∪[－，＋∞). 2．不等式0<x2－x－2≤4的解集为________． 答案：{x|－2≤x<－1或2<x≤3}　解析：原不等式等价于解得借助数轴，如图所示， 故原不等式的解集为{x|－2≤x<－1或2<x≤3}. 3．(2025·北京海淀区模拟)不等式>0的解集为________． 答案：{x|x>1或x<－2}　解析：不等式>0等价于(x－1)·(x＋2)>0，解得x>1或x<－2，所以不等式>0的解集为{x|x>1或x<－2}． 解一元二次不等式的步骤 (1)将二次项系数化为正数； (2)计算判别式； (3)求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有根； (4)根据解的情况，结合不等号的方向画图； (5)写出不等式的解集． 考点二　含参数的一元二次不等式的解法 [例1] 若a>0，解关于x的不等式ax2－2(a＋1)·x＋4<0. 解：ax2－2(a＋1)x＋4<0，即(ax－2)(x－2)<0. 因为a>0，所以不等式可化为a(x－)(x－2)<0，即(x－)(x－2)<0. (1)当>2，即0<a<1时，解不等式得2<x<； (2)当＝2，即a＝1时，不等式即为(x－2)2<0，无解，即x∈∅； (3)当<2，即a>1时，解不等式得<x<2. 综上所述，当0<a<1时，不等式的解集为{x|2<x<}；当a＝1时，不等式的解集为∅；当a>1时，不等式的解集为{x|<x<2}. [变式探究] 本例中，若“a>0”改为“a∈R”，再解不等式． 解：ax2－2(a＋1)x＋4<0⇒(ax－2)(x－2)<0. (1)当a＝0时，不等式可化为－2(x－2)<0，解不等式得x>2； (2)当a≠0时，不等式可化为a(x－)(x－2)<0. 若a<0，则(x－)(x－2)>0，解不等式得x<或x>2；若a>0，则(x－)(x－2)<0. ①当>2，即0<a<1时，解不等式得2<x<； ②当＝2，即a＝1时，不等式即为(x－2)2<0，无解，即x∈∅； ③当<2，即a>1时，解不等式得<x<2. 综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x>2}；当a<0时，不等式的解集为{x|x<或x>2}；当0<a<1时，不等式的解集为{x|2<x<}；当a＝1时，不等式的解集为∅；当a>1时，不等式的解集为{x|<x<2}． 含参不等式求解的策略 对于含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有： (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类． (2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数． (3)有两个根时，有时还需对两根的大小进行讨论． 训练1 设m∈R，解关于x的不等式m2x2＋2mx－3<0. 解：(1)当m＝0时，－3<0恒成立； (2)当m>0时，不等式可化为(mx＋3)(mx－1)<0，即(x＋)(x－)<0，而－<，此时不等式的解集为{x|－<x<}； (3)当m<0时，不等式可化为(mx＋3)(mx－1)<0，即(x＋)(x－)<0，而－>，此时不等式的解集为{x|<x<－}. 综上所述，当m<0时，不等式的解集为{x|<x<－}；当m＝0时，不等式的解集为R；当m>0时，不等式的解集为{x|－<x<}． 考点三　三个“二次”之间的关系 [例2] (多选)已知不等式ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x<－1或x>3}，则下列结论正确的是(　　) A.a<0 B.a＋b＋c>0 C.c>0 D.cx2－bx＋a<0的解集为{x|x<－或x>1} ABC　解析：根据二次函数的图象开口方向与二次不等式之间的关系可知a<0，故A正确；ax2＋bx＋c＝0的根为－1和3，则即∴a＋b＋c＝－4a>0，故B正确；c＝－3a>0，故C正确；cx2－bx＋a<0，即－3ax2＋2ax＋a<0，则3x2－2x－1<0，解得－<x<1，∴cx2－bx＋a<0的解集为{x|－<x<1}，故D错误． 三个“二次”关系解题的策略 (1)一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值． (2)给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数图象的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或利用根与系数的关系求解． 训练2 (2025·哈尔滨模拟)已知不等式ax2＋bx－2<0的解集为{x|－1<x<2}，则不等式ax2＋(b－1)x－3>0的解集为(　　) A.R B．∅ C.{x|－1<x<3} D．{x|x<－1或x>3} D　解析：因为不等式ax2＋bx－2<0的解集为{x|－1<x<2}，故a>0，且x＝－1与x＝2为方程ax2＋bx－2＝0的两根，故解得 故不等式ax2＋(b－1)x－3>0，即x2－2x－3>0，故(x－3)·(x＋1)>0，解得x<－1或x>3. [对应学生用书P19] 类型一　在R上的恒成立问题 [例1] (2024·济南模拟)不等式(a－2)x2＋4(a－2)x－12<0的解集为R，则实数a的取值范围是(　　) A.{a|－1≤a<2} B．{a|－1<a≤2} C.{a|－1<a<2} D．{a|－1≤a≤2} B　解析：当a＝2时，原不等式为－12<0，满足解集为R；当a≠2时，根据题意得a－2<0，且Δ＝16(a－2)2－4(a－2)×(－12)<0，解得－1<a<2.综上所述，实数a的取值范围为{a|－1<a≤2}． 一元二次不等式在R上恒成立的条件 不等式类型 恒成立条件 ax2＋bx＋c>0 a>0，Δ<0 ax2＋bx＋c≥0 a>0，Δ≤0 ax2＋bx＋c<0 a<0，Δ<0 ax2＋bx＋c≤0 a<0，Δ≤0 训练1 (1)若关于x的一元二次不等式2x2－kx＋>0对于一切实数x都成立，则实数k满足(　　) A.{k|k<} B.{k|k<－} C.{k|－<k<} D.{k|k>－} C　解析：由题意得Δ＝(－k)2－4×2×<0，整理可得k2－3<0，解得－<k<. (2)(2025·常州模拟)已知不等式>2对任意的x∈R恒成立，则实数k的取值范围是________. 答案：[2，10)　解析：因为x2＋x＋2＝(x＋)2＋>0，所以原不等式等价于kx2＋kx＋6>2x2＋2x＋4，即(k－2)x2＋(k－2)x＋2>0恒成立．当k＝2时，2>0，显然成立；当k≠2时，k满足不等式组解得2<k<10.综上所述，实数k的取值范围是[2，10). 类型二　在给定区间上的恒成立问题 [例2] 已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1，3]，f(x)<5－m恒成立，则实数m的取值范围为________． 答案：(－∞，)　解析：要使f(x)<5－m在x∈[1，3]上恒成立，即m(x2－x＋1)－6<0在x∈[1，3]上恒成立．因为x2－x＋1＝(x－)2＋>0，又m(x2－x＋1)－6<0在x∈[1，3]上恒成立，所以m<在x∈[1，3]上恒成立．令y＝，因为函数y＝＝在[1，3]上的最小值为，所以只需m<即可．所以m的取值范围是(－∞，). 一元二次不等式在给定区间上的 恒成立问题的两种解法 (1)讨论参数的范围或分离参数转化为最值问题． (2)结合图象进行分类讨论，转化为根的分布问题． 训练2 (1)若不等式x2＋ax－1≤0对于一切x∈[1，4]恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A.{a|a>－} B．{a|－≤a≤0} C.{a|a>0} D．{a|a≤－} D　解析：x2＋ax－1≤0，x∈[1，4]，则a≤－x＋，y1＝－x和y2＝在[1，4]上单调递减，故f(x)＝－x＋在[1，4]上单调递减，f(x)min＝f(4)＝－4＋＝－，即a≤－. (2)(2024·荆宜三校联考)设函数f(x)＝mx2－mx－1，命题“∃x∈[1，3]，f(x)≤－m＋2”是假命题，则实数m的取值范围为(　　) A.(－∞，] B．(－∞，3] C.(，＋∞) D．(3，＋∞) D　解析：方法一　因为命题“∃x∈[1，3]，f(x)≤－m＋2”是假命题，所以∀x∈[1，3]，f(x)>－m＋2为真命题，又f(x)>－m＋2，即mx2－mx－1>－m＋2，即m(x2－x＋1)>3.当x∈[1，3]时，x2－x＋1∈[1，7]，所以m>在x∈[1，3]上恒成立，所以m>()max，因为x∈[1，3]，当x＝1时，x2－x＋1有最小值1，此时有最大值3，所以m>3，故实数m的取值范围是(3，＋∞). 方法二　因为命题“∃x∈[1，3]，f(x)≤－m＋2”是假命题，所以∀x∈[1，3]，f(x)>－m＋2为真命题，即mx2－mx＋m－3>0在x∈[1，3]上恒成立．当m＝0时，－3>0，不符合题意；当m≠0时，设g(x)＝mx2－mx＋m－3，因为g(x)图象的对称轴方程为x＝，所以只需解得m>3，故实数m的取值范围是(3，＋∞). 类型三　给定参数范围的恒成立问题 [例3] (2025·宿迁模拟)若不等式x2＋px>4x＋p－3在0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是(　　) A.[－1，3] B.(－∞，－1] C.[3，＋∞) D.(－∞，－1)∪(3，＋∞) D　解析：不等式x2＋px>4x＋p－3，可化为(x－1)p＋x2－4x＋3>0，由已知可得[(x－1)p＋x2－4x＋3]min>0，0≤p≤4，令f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3，0≤p≤4，可得∴x<－1或x>3. 含参不等式恒成立问题的思路 (1)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数； (2)对于给定参数范围的恒成立问题，一般是把参数看作变量，把自变量看作参数，把不等式看作关于参数的函数解决问题． 训练3 已知a∈[－1，2]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，则x的取值范围为____________． 答案：(－∞，0)∪(3，＋∞)　解析：设f(a)＝(x－2)·a＋x2－4x＋4，则 即 解得x<0或x>3. 类型四　不等式能成立或有解问题 [例4] (2025·武汉模拟)若∃x∈[，2]，使2x2－λx＋1<0成立，则实数λ的取值范围为________． 答案：(2，＋∞)　解析：由2x2－λx＋1<0，可得λx>2x2＋1，因为x∈[，2]，所以λ>2x＋，根据题意，λ>(2x＋)min即可，设f(x)＝2x＋，易知f(x)在(，)上单调递减，在(，2)上单调递增，所以f(x)min＝f()＝2，所以λ>2. 不等式能成立问题的策略 解决不等式能成立问题的策略一般是转化为函数的最值问题： (1)若a＞f(x)能成立，则a＞f(x)min. (2)若a≤f(x)能成立，则a≤f(x)max. 训练4 设a∈R，若关于x的不等式x2－ax＋1≥0在区间[1，2]上有解，则a的取值范围是(　　) A.(－∞，2] B.[2，＋∞) C.[，＋∞) D.(－∞，] D　解析：因为关于x的不等式x2－ax＋1≥0在区间[1，2]上有解，所以a≤x＋在x∈[1，2]上有解，即a≤(x＋)max，x∈[1，2]，因为函数f(x)＝x＋在[1，2]上单调递增， 所以f(x)max＝f(2)＝，故a≤. [课时训练(6)见P348] 学科网（北京）股份有限公司 $$