第1章 第4节 第二课时 基本不等式的综合应用（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A培优版）

第二课时　基本不等式的综合应用 [对应学生用书P15] 考点一　与基本不等式有关的恒(能)成立问题 [例1] (1)(2025·杭州期末)若正实数x，y满足(x－1)(y－4)＝4，且x＋≥a2－3a恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|－1<a<4} B．{a|－1≤a≤4} C．{a|－4≤a≤1} D．{a|－4<a<1} (2)若x>0，不等式>m2－m有解，则实数m的取值范围是________． 答案：(1)B　(2)(－1，2)　解析：(1)因为正实数x，y满足(x－1)(y－4)＝4，即xy＝4x＋y，所以＋＝1，所以x＋＝(x＋)(＋)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，即y＝8，x＝2时，等号成立．因为正实数x，y满足(x－1)·(y－4)＝4，且x＋≥a2－3a恒成立，所以a2－3a≤4，解得－1≤a≤4，即实数a的取值范围是{a|－1≤a≤4}． (2)因为x>0，所以＝≤＝2，当且仅当x＝，即x＝2时，等号成立，所以()max＝2，所以m2－m<2，即(m＋1)(m－2)<0，解得－1<m<2，所以实数m的取值范围是(－1，2). 恒(能)成立问题的解题思路 (1)∃x∈M，使得f(x)≥a，等价于f(x)max≥a； (2)∃x∈M，使得f(x)≤a，等价于f(x)min≤a； (3)∀x∈M，使得f(x)≥a，等价于f(x)min≥a； (4)∀x∈M，使得f(x)≤a，等价于f(x)max≤a. 训练1 (2025·忻州模拟)已知a2＋b2＝k，若＋≥1恒成立，则k的最大值为(　　) A．4 B．5 C．24 D．25 C　解析：∵a2＋b2＝k，∴a2＋(b2＋1)＝k＋1，∴(k＋1)·(＋)＝[a2＋(b2＋1)](＋)＝＋＋13≥2＋13＝25，当且仅当＝，即3a2＝2(b2＋1)＝(k＋1)时，等号成立，即＋≥，由题意可得≥1，又k>0，解得0<k≤24，故k的最大值为24. 考点二　基本不等式的实际应用 [例2] 当下的电动汽车越来越普及，可以通过固定的充电桩进行充电．某商场计划在地下停车场安装公共充电桩，以满足顾客的需求．据市场分析，公共充电桩的历年总利润y(单位：万元)与运营年数x(x是正整数)成二次函数关系，运营三年时总利润为20万元，运营六年时总利润最大，为110万元． (1)求出y关于x的函数关系式； (2)求运营的年平均总利润的最大值(注：年平均总利润＝历年总利润/运营年数). 解：(1)因为投入运营六年时总利润最大，为110万元，即二次函数的图象开口向下，且顶点坐标为(6，110)， 所以可设函数为y＝a(x－6)2＋110(a<0). 又运营三年时总利润为20万元，即20＝a(3－6)2＋110，解得a＝－10，则y＝－10(x－6)2＋110，即y＝－10x2＋120x－250(x∈N*). (2)由(1)得年平均总利润为＝－10(x＋)＋120≤－20＋120＝20，当且仅当x＝，即x＝5时，等号成立， 所以运营的年平均总利润的最大值为20万元． 利用基本不等式解决实际问题的步骤 (1)理解题意，设变量．设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数． (2)建立相应的函数关系式．把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题． (3)变形函数，创造利用基本不等式的条件，求出函数的最大值或最小值． 训练2 一家物流公司计划建立仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月的土地占地费y1(单位：万元)与仓库到车站的距离x(单位：km)成反比，每月的库存货物费y2(单位：万元)与仓库到车站的距离x(单位：km)成正比．若在距离车站10 km处建立仓库，则每月的土地占地费和库存货物费分别为4万元和16万元，则要使两项费用之和最小，仓库到车站的距离应为________km. 答案：5　解析：根据题意，设y1＝(x>0，k1>0)，y2＝k2x(x>0，k2>0)，则解得所以y1＝(x>0)，y2＝(x>0)，所以y1＋y2＝＋≥2＝16，当且仅当＝，即x＝5时，等号成立，故要使两项费用之和最小，仓库到车站的距离应为5 km. 考点三　基本不等式与其他知识交汇的最值问题 [例3] (1)若直线ax－by－2＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2－2x＋2y＋1＝0截得的弦长为2，则＋的最小值为(　　) A． B．4 C． D．2 (2)已知向量a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)，且a∥b，若x，y均为正数，则＋的最小值是(　　) A． B． C．8 D．24 (1)D　(2)C　解析：(1)由题意，把圆的方程化为标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，可得圆心坐标为(1，－1)，半径r＝1，因为直线ax－by－2＝0被圆截得的弦长为2，所以直线ax－by－2＝0必过圆心(1，－1)，代入可得a＋b＝2，又a>0，b>0，则＋＝·(＋)·(a＋b)＝·(2＋＋)≥·(2＋2)＝2，当且仅当＝，即a＝b＝1时，等号成立，所以＋的最小值为2. (2)因为a∥b，所以3(y－1)＝－2x，整理得2x＋3y＝3，所以＋＝(2x＋3y)(＋)＝(12＋＋)≥(12＋2)＝8，当且仅当＝，即x＝，y＝时，等号成立，所以＋的最小值为8. 利用基本不等式解决知识交汇问题的关键点 基本不等式常作为工具，与函数、导数、数列、三角函数、向量、复数、简易逻辑问题、立体几何、解析几何、实际问题、新定义问题等考点交汇，解决问题的关键是发现和或积为定值这一前提条件． 训练3 (1)双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为，离心率为e，则的最小值为(　　) A． B． C．2 D． A　解析：因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为，所以＝tan ＝，所以b＝a，c＝＝2a.所以＝＝＋≥2＝，当且仅当＝，即a＝时，等号成立． (2)(2024·揭阳联考)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a＝2，a2＝2b2＋c2，则△ABC的面积的最大值是________． 答案：　解析：由余弦定理，可得b2＋c2－2bc cos A＝2b2＋c2，化简得cos A＝－，则sin A＝，则△ABC的面积S＝bc·sin A＝＝≤＝＝，当且仅当3b＝，即c2＝b2时，等号成立． [课时训练(5)见P345] 学科网（北京）股份有限公司 $$